01 Нерівності та системи нерівностей -- 01 Властивості числових нерівностей

Question 1

Нерівності виду a > b і c > d або a < b і c < d , (тобто нерівності з однаковими знаками) називають

Answer 1

нерівностями однакового змісту.

Нерівності x > −5 і y > 17 є нерівностями однакового змісту,

Question 2

Нерівності виду a > b і c < d або a < b і c > d , (тобто нерівності з різними, протилежними знаками) називають

Answer 2

нерівностями протилежного змісту.

Нерівності х < −5 і y > 17 нерівностями протилежного змісту

Question 3

Якщо одночасно виконуються дві умови x > a ( ≥ ) та x < b ( ≤ ),
тоді можна записати замість двох нерівностей

Answer 3

одну подвійну нерівність a < x < b .

Question 4

Подвійна нерівність (a < x < b)читається

Answer 4

з середини: x більше a , але менше b .

47,2 < x < 47,3 читається, як x більше 47,2, але менше 47,3.

Question 5

Властивість 1. Якщо a > b і b > c , тоді

Answer 5

a > c .
Перевіримо на прикладі.
Нехай a=6,b=0,c=−4, тоді, якщо 6>0 і 0>−4, тоді 6>−4.

Question 6

Властивість 2. Якщо a>b , тоді a+c ? b+c .

Answer 6

тоді a+c>b+c .
або
тоді a- c>b-c .
Якщо, до обох частин правильної нерівності додати (відняти) одне і те ж число, тоді отримаємо правильну нерівність.

Question 7

Властивість 3. Якщо a>b і k>0 , тоді

Answer 7

ak>bk .

Якщо обидві частини нерівності помножити на одне і те ж додатне число - знак нерівності не зміниться

Question 8

Властивість 4. Якщо a>b і k<0 , тоді

Answer 8

тоді ak < bk .

Якщо обидві частини нерівності помножити на одне і те ж від’ємне число - знак нерівності зміниться.

Question 9

Додавання і віднімання нерівностей:

Якщо a>b і c>d , тоді

Answer 9

a+c>b+d .
Нерівності одного змісту можна додавати.
При додаванні подвійних нерівностей однакового змісту, отримаємо нерівність того ж змісту (тобто знаки не зміняться).

Question 10

Множення нерівностей однакового змісту:

Якщо a,b,c,d — додатні числа і a>b , c>d , тоді

Answer 10

ac>bd .
При множенні нерівностей одного змісту, у яких ліві і праві частини — додатні числа, виходить нерівність того ж змісту.
Приклад:
Відомо, що  x<5  і  y<11 . Оцінити  xy .
x < 5
×
y < 11
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x⋅y<5⋅11
xy<55

Question 11

Піднесення нерівності до степеня:

Якщо a і b — додатні числа і a < b , тоді

Answer 11

a^n < b^n ,  n  — натуральне число.
Якщо обидві частини нерівності — додатні числа, тоді їх можна піднести до одного і того ж натурального степеня, при цьому виходить нерівність того ж змісту.
Приклад:
Порівняти числа  √13 і  √11.
Піднесемо до кадрату числа.
(√13)^2 = 13
(√11)^2 = 11
13 > 11
Отже, √13 > √11

Question 12

При множенні нерівностей на від’ємне число,

Answer 12

знак нерівності змінюється на протилежний.
Приклад:
Відомо, що b>c.
−8,08b < -8,08c