Variáveis Aleatórias Contínuas Flashcards
Qual a integral da seguinte função?
É só pegar o expoente de x (que é -2) e adicionar uma unidade (-1), então fica x elevado a -1. Esse mesmo -1 joga para baixo dividindo. É SÓ ISSO!
Resolvendo a expressão: quando o expoente é negativo, se coloca o 1 em cima e multiplica o de baixo com o de cima, retirando o valor negativo do expoente. (ou seja, -1 que multiplica x¹, que é mesma coisa que x)
Os resultados das variáveis aleatórias contínuas:
não são enumeráveis.
ao contrário da variável discreta
A variável aleatória contínua podem assumir ________ _______ dentro de um intervalo (ou conjunto de intervalos).
A variável aleatória contínua podem assumir quaisquer valores dentro de um intervalo (ou conjunto de intervalos).
ex: a quantidade de água que uma pessoa ingere por dia pode assumir qualquer valor não negativo.
São exemplos de variável aleatória contínua:
peso, comprimento, área, volume, distância, tempo, etc.
Não é possível contar o resultado de uma variável contínua, apenas ________ o seu valor.
Não é possível contar o resultado de uma variável contínua, apenas mensurar o seu valor.
Em vez de termos uma função de probabilidade da forma f (x) = P (X = x), como no caso de variáveis discretas, para as variáveis contínuas, temos uma:
função densidade de probabilidade. simplesmente f.d.p.
Uma função densidade de probabilidade qualquer satisfaz às seguintes condições:
i) Uma probabilidade qualquer nunca é negativa, logo: f (x) ≥ 0.
ii) A probabilidade associada a todo o Espaço Amostral, isto é, ao conjunto de todos os resultados possíveis da variável, é igual a 100% = 1.
Quando f (x) = 0 para determinado intervalo, a probabilidade associada a esse intervalo será:
zero.
Qual a integral da seguinte função?
É só pegar o expoente de x (que é -3) e diminuir uma unidade, então fica x elevado a -2. Esse mesmo -2 joga para baixo. É SÓ ISSO!
Resolvendo a essa expressão: quando o expoente é negativo, se coloca o 1 em cima e multiplica o de baixo com o de cima, retirando o valor negativo do expoente. (ou seja, -2 que multiplica x²)
Qual a integral da seguinte função?
É só pegar o expoente de x (que é -4) e diminuir uma unidade, então fica x elevado a -3. Esse mesmo -3 joga para baixo. É SÓ ISSO!
Resolvendo a essa expressão: quando o expoente é negativo, se coloca o 1 em cima e multiplica o de baixo com o de cima, retirando o valor negativo do expoente (ou seja, -3 que multiplica x³)
PARA FIXAR
A expressão da imagem se lê da seguinte forma:
Integral (f alongado) de 1/x em relação (d) à variável x.
ATENÇÃO!!
A regra da integral de número elevado à -1 não segue a regra tradicional que vimos nos flashs anteriores. Se fôssemos seguir a regra que aprendemos antes, x ficaria elevado a 0 e dividido por 0, que é impossível na matemática.
A imagem mostra como ficaria se seguíssemos o método tradicional.
Como se calcula a integral de 1/x?
A integral de 1/x é igual à LN da variável, que quer dizer Logaritmo Neperiano.
O logaritmo Neperiano é igual ao logaritmo de x na base “e” (número de Euler).
mas calma que se cair na prova a integral de 1/x , bastará saber que a integral de 1/x é LN, e ele dará o valor de LN
Calcule a integral da imagem.
Observação do círculo vermelho: toda vez que tiver uma constante multiplicando uma integral, a constante pode ser tirada da integral.
Calcule a integral da seguinte função:
Qual é a integral da função da imagem?
FÁCIL! A integral da função de “e” (Euler) elevado a x é o próprio “e” elevado a x.
Qual a integral da função da imagem?
FÁCIL! A integral da função de “e” (Euler) elevado a x+3 segue o mesmo raciocínio da função de “e” elevado a x, ou seja, a integral de e elevado a x+3 é “e” elevado a x+3.
o mesmo valeria se fosse subtração: x-3, por exemplo
Qual a integral da função da imagem?
SIMPLES TAMBÉM! Quando for multiplicação, a integral da função será o valor inverso da constante (que é 2 e ficou 1/2) multiplicado pela própria função (e elevado a 2x).
Qual a integral da função da imagem?
Quando for multiplicação, a integral da função será o valor inverso da constante (que é 3 e ficou 1/3) multiplicado pela própria função (e elevado a 3x).
Qual a integral da função da imagem?
Quando for multiplicação, a integral da função será o valor inverso da constante (que é 4 e ficou 1/4) multiplicado pela própria função (e elevado a 4x).
Qual a integral da função da imagem?
1) Primeira bolinha vermelha: Observe que x/2 é igual a 1/2 que multiplica x.
2) Segunda bolinha vermelha: Perceba que na divisão é o mesmo raciocínio da integral de multiplicação. Será o inverso do expoente (1/2 que vira 2) multiplicado pela própria função (e elevado a 1/2 de x).
RESUMINDO: Na integral com divisão, é só pegar o divisor e colocar como multiplicador da função.
Qual a integral da função da imagem?
Perceba que na divisão é o mesmo raciocínio da integral de multiplicação. Será o inverso do expoente (1/3 que vira 3) multiplicado pela própria função (e elevado a 1/3 de x).
RESUMINDO: Na integral da função expoente dividindo, é só pegar o divisor e colocar como multiplicador da função.
Qual a integral da função da imagem?
Perceba que na divisão é o mesmo raciocínio da integral de multiplicação. Será o inverso do expoente (2/3 de x que vira 3/2 de x) multiplicado pela própria função (e elevado a 2/3 de x).
RESUMINDO: Na integral da função expoente dividindo, é só pegar o divisor e colocar como multiplicador da função.
A integral definida também é chamada de:
integral de Riemann.
A integral definida é o cálculo de uma ____ em um ________ ___-__________.
A integral definida é o cálculo de uma área em um intervalo pré-definido.
Como podemos ler e deduzir o que significa a expressão da imagem?
A integral definida começando pelo ponto a (ou seja, a parte que começa é a parte de baixo), indo até o ponto b, da função f(x) em relação a variável x é igual a F(b)- F(a).
Resumindo: a fórmula quer achar o valor da área em amarelo.
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão.
1) O 5x quer dizer que f(x) = 5x e quanto maior for esse número mais inclinada será a reta.
2) Perceba que faremos a integral da função 5x normalmente como aprendemos, aumento um número no expoente e colocando esse mesmo número do expoente no divisor
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão.
é uma função quadrática (x²), então o eixo será simétrico com o eixo y, ou seja, as duas vértices (para a esquerda e para a direita) serão simétricas.
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão.
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão.
1) Perceba que f(x) = 3x²
2) Como se trata de uma multiplicação, é só fazer o que aprendemos da integral com multiplicação, aumenta um número no expoente e o mesmo número do expoente vai pra baixo dividindo
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão.
1) Perceba que f(x) = 4x
20) Como se trata de uma multiplicação, é só fazer o que aprendemos da integral com multiplicação, aumenta um número no expoente e o mesmo número do expoente vai pra baixo dividindo
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão.
1) Perceba que o raciocínio se mantém em relação à integral de multiplicação, os outros elementos também ganham um expoente (no caso do último elemento, ele ganha só o x)
Como é representado o gráfico da função abaixo?
O gráfico e (Euler) com expoente x é representado por uma curva crescente e NUNCA toca o eixo x do plano cartesiano.
ATENÇÃO: É MUITO IMPORTANTE SABER ESSE GRÁFICO
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão, sendo e³ = 20.
O valor de Euler é igual a:
APROXIMADAMENTE 2,7.
Calcule a integral de Riemann da seguinte expressão, sendo Ln5 ≅ 1,6 e Ln2 ≅ 0,7
1) lembrar que função de 1/x é igual a Lnx
2) Esse gráfico é o reflexo do comportamento da função f(x) = 1/x
Como podemos fazer a leitura e o entendimento dessa integral?
- Integral definida do número 1 até o número 4 de certa constante k que multiplica a variável x é igual a 3 (ou seja, o valor da área será 3).
- k nesse caso é uma constante e possui número fixo e não variável
Calcule o valor da constante k da integral da função da imagem.
- Lembrar o procedimento básico da integral, adiciona um número no expoente e esse mesmo expoente passa para o divisor. MAS ATENÇÃO que isso é só para a função (no caso, x) e não para a constante (no caso, k)
Calcule o valor da constante k da integral da função da imagem.
- Lembrar o procedimento básico da integral, adiciona um número no expoente e esse mesmo expoente passa para o divisor. MAS ATENÇÃO que isso é só para a função (no caso, x) e não para a constante (no caso, k)
Calcule o valor da constante k da integral da função da imagem.
- Lembrar o procedimento básico da integral, adiciona um número no expoente e esse mesmo expoente passa para o divisor. MAS ATENÇÃO que isso é só para a função (no caso, x) e não para a constante (no caso, k)
no caso, A é igual a 0
Calcule o valor da constante k da integral da função da imagem.
- Lembrar o procedimento básico da integral, adiciona um número no expoente e esse mesmo expoente passa para o divisor. MAS ATENÇÃO que isso é só para a função e não para a constante (no caso, k)
no caso, A = 0
Calcule o valor da constante k da integral da função da imagem.
- Lembrar o procedimento básico da integral, adiciona um número no expoente e esse mesmo expoente passa para o divisor. MAS ATENÇÃO que isso é só para a função (o 9 ée função e recebe mais um x também) e não para a constante (no caso, k)
no caso, A = 0
Para que possamos afirmar que uma função é uma função densidade de probabilidade, é necessário que cumpra três requisitos.
Quais são?
Lendo:
a) o RESULTADO da função tem que ser maior ou igual a 0 (ou seja, x pode até ser menor que zero, mas o resultado da função não. ou seja também, a linha do gráfico nunca ficará abaixo do eixo x).
b) a integral do +∞ e do -∞ da função densidade tem que ser igual a 1 (ou seja, a área tem que ser igual a 1)
c) A área de um intervalo é a probabilidade é a própria probabilidade do intervalo. P (a < x < x) é a probabilidade de sortear um número e ele cair no intervalo entre a e b.
CERTO OU ERRADO:
De acordo com a imagem, podemos deduzir que os resultados da esquerda do gráfico, que corta a linha do eixo y, são negativos.
ERRADO! Os resultados são POSITIVOS. Toda a linha está acima do eixo de de x. Os VALORES DE X que são negativos na área informada na questão mas o resultado apesar disso é positivo.
CERTO OU ERRADO:
Na função densidade, se quisermos saber o número sorteado que pertence a um certo intervalo, podemos dizer que a probabilidade é o número da área.
CERTO! Para explicar melhor, o exemplo da imagem: se quisermos saber um número entre 2 e 7, qual a probabilidade de ele estar entre 2 e 7? 100%, claro!!! Ou seja, é o número da área. E se quisermos saber a probabilidade do número cair entre 2 e 3? 20% porque a área e 20%!!
CERTO OU ERRADO:
Para ser caracterizado uma função densidade de probabilidade, a área completa do gráfico tem que ser igual a 1.
CERTO!
A função que está explícita na imagem é uma função densidade de probabilidade?
SIM!!
1) verificar se a função é maior ou igual a 1.
1 ÷ 4 = 0,25 ✓
2) calcular a integral para ver se a área corresponde a 1
Como ficaria o gráfico e a área dessa função densidade de probabilidade?
Altura em y de 1/4 (porque f(x) = y) e os pontos A e B.
perceba que a base é 4 (de 2 a 6) e a altura é 1/4. multiplicar base (4) vezes altura (1/4) daria exatamente 1
A função que está explícita na imagem é uma função densidade de probabilidade?
SIM!!!
Dada a função da imagem, qual a probabilidade de x estar entre o número 1 e 2?
Como podemos fazer a leitura da expressão da imagem?
O limite de um número positivo (base positiva) que vai de x até infinito (x → ∞) elevado a um número positivo é dizer que quanto maior o expoente, maior será o resultado.
conforme a imagem
Como podemos fazer a leitura da expressão da imagem?
O limite de um número positivo (base positiva) que vai de x até infinito (x → ∞) elevado a um número negativo é dizer que quanto mais negativo for o expoente, menor será o resultado e mais perto do zero.
conforme a imagem
Como podemos fazer a leitura da expressão da imagem?
Quanto maior for o valor da base (que é x) elevado a um mesmo número positivo (n), maior será o resultado.
Como podemos fazer a leitura da expressão da imagem?
Quanto maior for o valor da base (que é x) elevado a um mesmo número negativo (-n), menor será o resultado.
A função que está explícita na imagem é uma função densidade de probabilidade?
SIM!!! A área é 1 (mesmo que vá de 1 até ∞) e não é negativa.
Obs: Lembrar que, conforme visto nos flashs anteriores, ∞ elevado a um número negativo, é igual a 0.
A função que está explícita na imagem é uma função densidade de probabilidade?
SIM!!!
Dada a função definida por f(x) = k.x definida no intervalo de [1,8], calcule o valor da constante de normalização k para que a função f seja uma função densidade de probabilidade.
Lembrar que o valor da área tem que ser igual a 1.
Dada a função definida por f(x) = k.x definida no intervalo de [1,6], calcule o valor da constante de normalização k para que a função f seja uma função densidade de probabilidade.
Dada a função definida por f(x) = k.x² definida no intervalo de [0,6], calcule o valor da constante de normalização k para que a função f seja uma função densidade de probabilidade.
Dada a função definida por f(x) = k.(x²-2x) definida no intervalo de [3,6], calcule o valor da constante de normalização k para que a função f seja uma função densidade de probabilidade.
Perceba que tem um asterisco ali no x². Isso porque a integral de 2x é a mesma coisa que x² porque ficaria o seguinte: 2x² ÷ 2
Se X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade da pela função da imagem, qual o o valor de k?
Obs: perceba que a função é (1-x²) e k é a constante, então o 1 vira x.
Qual a expressão da função acumulada de probabilidade?
PARA FIXAR
A probabilidade acumulada de X é essa área destacada em vermelho no meio.
xi é o x inicial da nossa FDP.
xf é o x final da nossa FDP.
x é o valor que queremos encontrar dentro da FDP.
Por ex: sabemos que a FDP tem área (xi até xf) igual a 1. Dentro dessa área queremos saber a probabilidade de um certo x dentro desse intervalo, ou seja, de xi até x.
Qual a integral da função de de distribuição acumulada?
Em regra, o -∞ da expressão será o xi e em x o valor que queremos.
resumindo: é igual a calcular a FDP só que em vez de calcularmos a área toda, calcularemos xi até x em vez de até xf
Qual a função de probabilidade acumulada da seguinte função:
Dada a função densidade da imagem, calcule o valor da função de distribuição acumulada até x.
A função de densidade acumulada é o valor inicial (xi) até um valor específico, dado na questão por x. Então assim se calculou o valor da função acumulada até x.
Dada a função densidade da imagem, calcule o valor da função de distribuição acumulada e, posteriormente, a probabilidade de x ≤ 3.
se tiver dúvida função densidade acumulada, voltar um card
Dada a função densidade da imagem, calcule a função de distribuição acumulada e desenvolva a fórmula completa.
Dada a função densidade da imagem, calcule a função de distribuição acumulada e posteriormente a probabilidade de x ≤ 5.
PARA FIXAR
Como achar o valor final (xf) de uma função de distribuição acumulada? Usando o exemplo de cima, é só pegar a densidade acumulada e igualar a 1 e resolver a expressão matemática.
Uma variável aleatória contínua tem função densidade de probabilidade dada por:
Se f(x) é a função de distribuição de X, então F(2) é igual a:
Dados da questão:
f(x) = 2/x³, se 1≤ x ≤ ∞
f(x) = 0, caso contrário
Como podemos ler a seguinte expressão?
Que a probabilidade de X (algum valor) ser menor ou igual ao valor da mediana é 50%.
Seja dada a FDA f(x) = 3x³, calcule a mediana.
Seja dada a FDA f(x) = 4x², calcule a mediana.
Seja dada a FDP f(x) = 6x², calcule a mediana.
É SIMPLES:
É só calcular a FDA normalmente da função FDP e depois igualar a FDA a 1/2.
Se a função densidade de probabilidade for decrescente, não precisa fazer conta. O valor da moda será o:
valor de x ligado ao ponto inicial, ou seja, o ponto mais alto. Se a função só decresce, o primeiro ponto é o mais alto.
Dada a função densidade de probabilidade da imagem, qual o valor da moda?
Não precisa fazer cálculo. Como a é negativo, o trata-se de uma função decrescente. Então, o valor da moda é o valor inicial de x, que é 1.
Se a função densidade de probabilidade for crescente, não precisa fazer conta. O valor da moda será o:
valor de x ligado ao ponto final.
Dada a função densidade de probabilidade da imagem, qual o valor da moda?
Não precisa fazer cálculo. Como se trata de uma função crescente, a moda é o valor final, que é 1.
O gráfico apresentado na imagem, com parábola, trata-se de uma função de densidade:
quadrática.
a concavidade pode ser pra cima ou para baixo
Quando temos a função de densidade quadrática como a apresentada na imagem, como podemos definir qual a moda?
Como a parábola está para cima, a moda será o ponto mais alto, no caso x inicial.
Quando temos a função de densidade quadrática como a apresentada na imagem, como podemos definir qual a moda?
Como a parábola está para cima, a moda será o ponto mais alto, no caso x final.
Quando temos a função de densidade quadrática como a apresentada na imagem, como podemos definir qual a moda?
Como a parábola é equivalente quanto aos pontos mais altos, o valor da moda será xi e xf. Será uma distribuição bimodal.
De acordo com as informações da imagem, calcule a moda da função densidade de probabilidade.
É só substituir o x da função por xi e xf. O valor que foi o maior número será a moda, que no caso, foi 1. Então, xf é a moda.
a função é quadrática pois o x está elevado a 2 e por isso tem concavidade
Quando a concavidade de uma função quadrática for para baixo, como definimos a moda?
1° jeito = A moda de uma fufnção quadrática com a concavidade para baixo será (xi + xf) ÷ 2
2° jeito = -b ÷ 2a
Dada a função quadrática abaixo, calcule a moda.
a = -1
b = 1
c = 0
O cálculo da moda da função quadrática pode ser de dois métodos:
1° método: -b ÷ 2a = -1 ÷ -2 = 0,5
2° método: (xi + xf) / 2 = 1 ÷ 2 = 0,5
A derivada possui dois modos de ser apresentada:
Dada f(x) = x², calcule a derivada dessa função.
O expoente do a vira multiplicador do x e esse expoente perde uma unidade.
Dada f(x) = x³, calcule a derivada dessa função.
O expoente do a vira multiplicador do x e esse expoente perde uma unidade.
Dada f(x) = 2x⁴, calcule a derivada dessa função.
O expoente do a vira multiplicador do x e esse expoente perde uma unidade.
Dada f(x) = 5x⁶, calcule a derivada dessa função.
O expoente do a vira multiplicador do x e esse expoente perde uma unidade.
Dada f(x) = x² + x³, calcule a derivada dessa função.
É mesma coisa de fazer uma derivada com um termo só, só que faz o de cada termo separado.
Dada f(x) = 2x⁵ + 4x³, calcule a derivada dessa função.
É mesma coisa de fazer uma derivada com um termo só, só que faz o de cada termo separado.
Dada f(x) = 3x² + x³ + 9, calcule a derivada dessa função.
o 9 virou 0 porque a derivada constante de qualquer número fixo é igual a 0. Vale para positivo e negativo
A derivada especial é representada por:
Dada a função f(x) = x - x², em que 0 ≤ x ≤ 1, calcule a moda.
É SIMPLES DEMAIS! É só fazer a derivada da função e depois igualar a derivada a 0 e terminar de fazer a expressão.
Dada a função f(x) = 12x² - 12x³, em que 0 ≤ x ≤ 1, calcule a moda.
Como a função é do segundo grau, pode fazer assim OU USAR BHASKARA!
A questão basicamente quer saber qual o valor da área entre o 0 e a moda.
1° passo: derivar e fazer a moda
2° passo: fazer a integral de 0 e a moda (2/3)
Dada a função densidade de probabilidade f(x) = 2x, calcule a esperança.
1° passo: a fórmula da esperança da FDP é x ⋅ f(x). Então é só substituir o f(x) por 2x.
2° passo: fazer a integral da função
Dada a função densidade de probabilidade f(x) = -2x + 4, calcule a esperança.
1° passo: a fórmula da esperança da FDP é x ⋅ f(x). Então é só substituir o f(x) por -2x + 4.
2° passo: fazer a integral da função
Dada a função densidade da imagem, calcule sua esperança.
1° passo: a fórmula da esperança da FDP é x ⋅ f(x). Então é só substituir o f(x).
2° passo: fazer a integral da função
Dada a função densidade da imagem, calcule sua esperança.
A questão pede praticamente o intervalo entre 0 e 3, com 0 a 1 com um valor e 1 a 3 com outro valor.
1° passo: a fórmula da esperança da FDP é x ⋅ f(x).
2° passo: fazer a integral de cada função separadamente
3° passo: somar os resultados
Quando uma função densidade de probabilidade (ou uma pesquisa, uma distribuição…) for simétrica e unimodal, temos:
Média = Mediana = Moda. Podemos dizer que a variável é simétrica em torno do valor da imagem.
