Medidas de Dispersão (variabilidade) Flashcards
O que são medidas de dispersão?
Também chamadas de variabilidade, são métricas que mostram a variação dos dados de um conjunto.
As medidas de dispersão (ou variabilidade) são divididas em dois grupos. Quais?
- medida de dispersão absoluta
- medida de dispersão relativa
Uma alta dispersão acarreta que a amostra pode ser:
maior.
Uma baixa dispersão acarreta que a amostra pode ser:
menor
Quais as medidas de dispersão absoluta?
- amplitude total;
- amplitude interquartílica (diferença interquartil)
- desvio médio;
- variância; e
- desvio-padrão.
- coeficiente quartílico
Quais as medidas de dispersão relativa?
- coeficiente de variação (de Pearson); e
- variância relativa.
Quais as principais medidas de dispersão?
Variância e desvio padrão.
Qual é a medida concentrada e a medida dispersa?
Evidentemente, a concentrada é a primeira e a dispersa é a segunda;
Como se calcula a amplitude total?
Diferença entre o maior valor e o menor valor.
H = VALOR MÁXIMO - VALOR MÍNIMO
Dado o grupo de valores abaixo, calcule o valor da amplitude total.
50, 80, 70, 62, 83
H = 83 (valor máx.) - 50 (valor mín.) = 33
Qual informação obtemos quando a amplitude total de uma distribuição é grande?
Que os dados estão dispersos.
Qual informação obtemos quando a amplitude total de uma distribuição é pequena?
Que os dados estão concentrados.
PARA FIXAR
Se possuímos em um conjunto, possuímos um grupo concentrado de valores e algum valor outlier, para cima ou para baixo, cuidado para não se enganar. A amplitude é alta mas os outros estão concentrados. A amplitude é alta mas o grupo de valores não é muito disperso. A amplitude total é perigosa por causa disso.
Ex: 2, 2, 3, 4, 4, 5, 21 (há um grupo de valores concentrados mas a amplitude total será muito alta)
RESUMINDO: A AMPLITUDE TOTAL É MUITO SUCESTÍVEL À OUTLIER.
.
O que é a amplitude interquartílica?
Também chamada de diferença interquartil, é a diferença entre o maior quartil e o menor quartil.
Dq = Q3 - Q1
o D é de diferença
Dado o conjunto de números abaixo, calcule a diferença interqualítica.
1 2 4 4 4 5 5 5 8 10 12
1° quartil - 4
2° quartil - 5
3° quartil - 8
Dq = Q3-Q1
Dq = 8 - 4
Dq = 4
O que é o desvio interqualítico?
É a diferença entre o maior quartil e o menor quartil, dividido por 2.
Desvioq = (Q3 - Q1) ÷ 2
Dado o conjunto de números abaixo, calcule o desvio interqualítico.
1 2 4 4 4 5 5 5 8 10 12
1° quartil - 4
2° quartil - 5
3° quartil - 8
Desvioq = (Q3 - Q1) ÷ 2
Desvioq = (8 - 4) ÷ 2
Desvioq = 4 ÷ 2
Desvioq = 2
O desvio interqualítico é a distância entre o quartil 1 até o quartil 2?
NÃO!
O desvio interqualítico é a distância entre o quartil 2 até o quartil 3?
NÃO!
CERTO OU ERRADO
O desvio interqualítico é a metade da diferença interquatílica.
CERTO! É justamente a diferença interqualítica dividido por 2.
O que é o coeficiente de variação quartil?
A diferença do terceiro quartil e do primeiro quartil, dividido pela soma do terceiro quartil com o primeiro quartil.
CVq = (Q3 - Q1) ÷ (Q3 + Q1)
Dado o conjunto de números abaixo, calcule o coeficiente de variação quartil.
1 2 4 4 4 5 5 5 8 10 12
1° quartil - 4
2° quartil - 5
3° quartil - 8
CVq = (Q3 - Q1) ÷ (Q3 + Q1)
CVq = (8 - 4) ÷ (8 + 4)
CVq = 4 ÷ 12
CVq = 1/3 ou 0,333… ou 33%
Calcular a amplitude total da tabela de frequências apresentada a seguir.
Dq = Q3 - Q1
Dq = 9 - 1
Dq = 8
não muda nada para os dados grupados
Calcular a amplitude total da tabela de frequências apresentada a seguir.
Dq = Q3 - Q1
Dq = 21 - 1
Dq = 20
para dados grupados por classe não muda nada
O que é o desvio em relação a média aritmética?
A diferença entre cada valor e a média aritmética.
Dado o conjunto de números abaixo, calcule o desvio em relação à média.
4 6 10 12
Média = 12 + 10 + 6 + 4 = 32
Quantos valores tem o conjunto? 4!
Então a média é 32 ÷ 4 = 8
Os desvios em relação a média dos elementos serão:
D1 = 4 - 8 = -4
D2 = 6 - 8 = -2
D3 = 10 - 8 = 2
D4 = 12 - 8 = 4
O somatório de todos os desvios em relação à média é sempre igual a:
0 (zero).
O que é o desvio absoluto médio?
Uma média entre os desvios com uma modificação: não são contabilizados os valores negativos, que se tornam positivos.
PARA FIXAR
As somas dos desvios sempre é zero. Então, se tentássemos calcular a média aritmética dos desvio, sempre ia dar zero. Então nos desvios absolutos médios, ocorre uma modificação: aqueles que forem negativos, inverte para positivo.
Em matemática básica e aritmética, quando tiramos invertemos o sinal de negativo para positivo, dizemos que ele foi transformado no valor absoluto.
Desvio absoluto médio é a média dos _______ dos desvios.
Desvio absoluto médio é a média dos módulos dos desvios.
Calcule a desvio absoluto médio dos números abaixo:
2, 3, 5, 8, 12
1° passo: média aritmética
2 + 3 + 5 + 8 + 12: 30
30 ÷ 5 = 6
2° passo: calcular o desvio em relação à média
D1 = 2 - 6 = -4
D2 = 3 - 6 = -3
D3 = 5 - 6 = -1
D4 = 8 - 6 = 2
D5 = 12 - 6 = 6
3° passo: calcular o desvio médio, invertendo o valor dos valores negativos para positivos
4 + 3 + 1 + 2 + 6 = 16
16 ÷ 5 = 3,2
RESPOSTA: O desvio médio é 3,2
ATENÇÃO
Nem sempre o autor ou formulador da questão falará desvio absoluto médio. Se ele falar apenas desvio médio, sabemos que será o desvio absoluto médio.
Calcule o desvio médio de acordo com a tabela de frequência apresentada.
1° passo: calcular a média aritmética
20x2 + 25x8 + 30x10 = 40 + 200 + 300 = 640
640 ÷ 20 = 27 20 é a frequência
2° passo: calcular o desvio de cada item
D1 = 20 - 27 = -7
D2 = 25 - 27 = -2
D3 = 30 - 27 = 3
atenção, a soma dos desvios não tá igual a zero porque não tá multiplicado pela frequência
3° passo: calcular os desvios médios invertendo os negativos para positivos
7x2 + 2x8 + 3x10 = 14 + 16 + 30 = 60
60 ÷ 20 = 3
20 é a soma das frequências
RESPOSTA: o desvio médio é 3
O que é a variância?
A média aritmética dos quadrados dos desvios.
Calcule a variância populacional dos números abaixo:
4, 6, 10, 12
1° passo: calcular a média aritmética
4 + 6 + 10 + 12 = 32
32 ÷ 4 = 8
2° passo: calculas os desvios dos itens
D1 = 4 - 8 = -4
D2 = 6 - 8 = -2
D3 = 10 - 8 = 2
D4 = 12 - 8 = 4
3° passo: fazer a média aritmética dos quadrados dos desvios
-4² = 16
-2² = 4
2² = 4
4² = 16
16 + 4 + 4 + 16 = 40
40 ÷ 4 = 10
RESPOSTA: A variância será 10
A média dos desvios sempre será:
zero.
Quando você coleta uma amostra e aplica a variância populacional, em regra, o valor que se encontra é maior ou menor do que deveria ser?
Em regra, é menor.
PARA FIXAR
A variância populacional é a variância tradicional, padrão.
A equação da imagem representa o cálculo de que tipo de variabilidade?
Desvio.
Nada mais é do que uma variável x subtraída pela média de x.
O que é a variância amostral?
É uma variância extraída de uma amostra, é a soma dos quadrados dos desvios dividido pela quantidade de elementos menos um.
ATENÇÃO
A VARIÂNCIA POPULACIONAL É A PADRÃO. SE NA PROVA NÃO MENCIONAR A VARIÂNCIA AMOSTRAL, SE TRATA DE VARIÂNCIA POPULACIONAL.
Calcule a variância amostral dos números abaixo:
4, 6, 10, 12
1° passo: calcular a média aritmética
4 + 6 + 10 + 12 = 32
32 ÷ 4 = 8
2° passo: calculas os desvios dos itens
D1 = 4 - 8 = -4
D2 = 6 - 8 = -2
D3 = 10 - 8 = 2
D4 = 12 - 8 = 4
3° passo: quadrados dos desvios
-4² = 16
-2² = 4
2² = 4
4² = 16
4° passo: fórmula
(16 + 4 + 4 + 16) ÷ (4 - 1)
40 ÷ 3 = 13,333…
RESPOSTA: A VARIÂNCIA AMOSTRAL SERÁ 13,333…
PARA FIXAR
Como na variância populacional o valor sempre fica um pouco menor do que deveria ser, a variância amostral subtrai 1 do denominador para que se aproxime do valor que deve ser*
Se a variância for maior como ficará a variabilidade?
Também maior.
variabilidade = dispersão
A variância populacional sempre será menor ou maior do que a variância amostral?
Sempre menor.
O menor valor possível da variância é:
zero.
Quando uma variância terá valor zero?
Quando todos os valores de sua distribuição forem iguais.
por exemplo: numa distribuição com auditores fiscais aprovados no concurso ISS João Pessoa, todos tem 30 anos. se todos tem 30 anos, não há variância, não há variabilidade, não tem dispersão
Quando todos os valores de uma distribuição são iguais, as medidas de dispersão são todas:
nulas, zero.
Qual único caso em que TODAS as medidas de dispersão são nulas?
Quando todos os valores coletados forem iguais.
Se o valor da variância for zero, todos os números da distribuição são:
iguais.
Qual a equação da variância populacional?
Corresponde à diferença entre a média dos quadrados e os quadrados da média.
Calcule a variância populacional de acordo com a distribuição abaixo:
4, 6, 10 ,12
1° passo: calcular a média aritmética
4 + 6 + 10 + 12 = 32
32 ÷ 4 = 8
2° passo: calcular a média dos quadrados
4² + 6² + 10² + 12² = 16 + 36 + 100 + 144 = 296
296 ÷ 4 = 74
3° passo: calcular a variância
x² + μ² = 74 - 8² (média dos quadrados - quadrado da média aritmética)
x² + μ² = 74 - 64 = 10
atenção: feita pela fórmula da imagem
μ (pronuncia ‘mi’) é usada geralmente usada para se referir à:
média.
Calcule a variância populacional de acordo com a tabela de frequência da imagem.
1° passo: calcular a média aritmética
20x2 + 25x8 + 30x10 = 40 + 200 + 300 = 540
540 ÷ 20 = 27
2° passo: calcular o quadrado da média
20²x2 + 25²x8 + 30²x10 = 800 + 5000 + 9000 = 14800
14800 ÷ 20 = 740
3°: calcular a variância populacional de acordo com a fórmula (quadrado da média menos a média aritmética ao quadrado)
740 x 27² = 740 - 729 = 11
RESPOSTA: A variância populacional é 11
Calcule a variância amostral de acordo com a tabela de frequência da imagem.
1° passo: calcular a média aritmética
20x2 + 25x8 + 30x10 = 540
540 ÷ 20 = 27
2° passo: calcular o desvio de todos os elementos
D1 = 20 - 27 = -7
D2 = 25 - 27 = -2
D3 = 30 - 27 = 3
3° passo: calcular o desvio ao quadrado invertendo o sina negativo pelo positivo, multiplicado pelas suas frequência e dividido pelo número total de frequência menos um
[(7²x2) + (2² + 8) + (3²x10)] ÷ (20-1)
(98 + 32 + 90) ÷ 19
220 ÷ 19 = ≅ 11,57
RESPOSTA: A variância amostral é ≅ 11,57
Calcule a variância populacional de acordo com a tabela de frequência relativa da imagem.
1° passo: calcular a média aritmética
[(20x0,1) + (25X0,4) + (30X0,5)] ÷ 1
(2 + 10 + 15) ÷ 1 = 27
2° passo: calcular a média aritmética dos quadrados da média
[(20²x0,1) + (25²x0,4) + (30²x0,5)] ÷ 1
40 + 250 + 450 = 740
3° passo: calcular a média dos quadrados menos o quadrado da média
740 - 27² = 740 - 729 = 11
RESPOSTA: O valor da variância é 11
PARA FIXAR
A variância populacional possui dois modos de ser calculado.
Qual a equação do desvio padrão?
É a raiz quadrada da variância.
A variância tem sempre unidade:
quadrada.
é sempre elevada ao quadrado
É possível tirar conclusões a partir da variância?
NÃO!
Qual o desvio padrão do grupo de valores abaixo:
2, 6, 7
1° passo: calcular a média aritmética dos valores:
(2 + 6 + 7) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
2° passo: calcular os desvios dos valores em relação à media:
D1 = 2 - 5 = -3
D2 = 6 - 5 = 1
D3 = 7 - 5 = 2
3° passo: calcular a variância, que pode ser populacional ou amostral:
SE FOR POPULACIONAL
3² + 1² + 2² = 9 + 1 + 4 = 14
14 ÷ 3 = ≅ 4,6
Então se o desvio for populacional = √4,6 ≅ 2,14
SE FOR AMOSTRAL
3² + 1² + 2² = 14
14 ÷ (3 - 1) = 14 ÷ 2 = 7
Então se o desvio for amostral = √7 ≅ 2,64
Como se chegar ao valor do desvio padrão sem saber o valor da variância.
Não tem como. O DP é a raiz da variância e, portanto, não tem como saber o DP sem saber a variância.
DICA DE PROVA
Se a banca pedir “calcular o desvio o padrão da amostra a seguir”, ele se refere ao desvio padrão amostral. Só não vai ser se ele deixar mais explícito que será populacional.
Qual o menor valor possível para o desvio padrão?
Zero. Não tem como ter raiz quadrada negativa.
Dada duas amostras (ou duas populações) com a mesma média, como saber qual é mais concentrada e qual é mais dispersa?
Através do desvio padrão.
O desvio padrão serve para comparar o que de populações ou amostras?
Para comparar populações ou amostras cujas médias são iguais mas a variabilidade é diferente.
O desvio padrão só pode ser usado quando as médias forem:
iguais
variância também
O desvio padrão só pode ser usado quando as médias forem iguais. Mas se as médias forem diferentes, o que usar?
O coeficiente de variação.
O que é o coeficiente de variação?
Uma medida de dispersão relativa.
QUESTÃO DE PROVA
O coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão usada para comparar a variabilidade de amostras dos dados que têm:
a) variância amostrais diferentes
b) médias amostras diferentes
c) quartis amostrais iguais
d) percentis amostrais iguais
e) modas amostrais diferentes
RESPOSTA:
b) médias amostras diferentes.
CERTO OU ERRADO:
A amplitude, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variância e o desvio interquarlítico têm seus valores dependentes, na íntegra, dos valores da distribuição amostral.
ERRADO! A amplitude não é dependente dos valores da distribuição amostral porque só se usa o menor e o maior valor da distribuição.
CERTO OU ERRADO:
A variância tem a vantagem de ser diretamente comparável com os valores da distribuição.
ERRADO! A variância tem o DEFEITO de NÃO SER comparável com os valores da distribuição.
CERTO OU ERRADO:
É possível afirmar que a variância é sempre maior ou igual ao desvio padrão, haja vista que este é a raiz quadrada daquele.
ERRADO! Se a variância for um número entre 0 e 1, o desvio padrão é maior.
ex: var = 0,36
dp = 0,60
CERTO OU ERRADO:
O desvio interquarlítico é sempre superior ou igual, no mínimo, à amplitude.
ERRADO! O desvio interquarlítico é sempre menor que a amplitude.
exemplo na imagem
CERTO OU ERRADO:
O coeficiente de variação é uma medida invariante de escala.
CERTO! Não importa a medida (kg, km, gramas…), o desvio padrão será o mesmo se tiverem os mesmos valores.
O que é a variância relativa?
O coeficiente de variação ao quadrado. Pode ser também a variância dividido pela média ao quadrado.
Desvio padrão ao quadrado significa:
variância.
Calcule a variância relativa de acordo com os dados da tabela de distribuição abaixo
1) variância relativa da 1ª caixa:
VR1 = Var ÷ μ² (Var é variância e μ é a média)
A variância é o desvio padrão ao quadrado
VR1 = 15² ÷ 50²
VR1 = 225 ÷ 2500
VR1 = 0,09 ou 9%
2) variância relativa da 2ª caixa:
VR1 = Var ÷ μ² (Var é variância e μ é a média)
A variância é o desvio padrão ao quadrado
VR2 = 30² ÷ 75²
VR2 = 900 ÷ 5625
VR2 = 0,16 ou 16%
3) variância relativa da 3ª caixa:
VR1 = Var ÷ μ² (Var é variância e μ é a média)
A variância é o desvio padrão ao quadrado
VR3 = 25² ÷ 100²
VR3 = 625 ÷ 10000
VR3 = 0,0625 ou 6,25%
