Distribuições Flashcards
1
Q
A Distribuição de Bernoulli é uma análise de uma:
A
variável aleatória discreta específica.
2
Q
Variável aleatória é sempre uma variável ____________ aleatória, onde sempre temos a sorte (o acaso) modificando o _________.
A
Variável aleatória é sempre uma variável quantitativa aleatória, onde sempre temos a sorte (o acaso) modificando o resultado.
3
Q
A Distribuição de Bernoulli é uma análise de uma variável aleatória discreta específica onde existem quantas possibilidades?
A
Duas.
ou seja, as única resposta que se obtém com a distribuição de bernoulli é o sim e o não
4
Q
A Distribuição de Bernoulli é sempre uma pesquisa:
A
dual (de dois resultados).
5
Q
Se o resultado da Distribuição de Bernoulli for SIM, conclui-se que a pesquisa obteve:
A
sucesso.
6
Q
Se o resultado da Distribuição de Bernoulli for NÃO, conclui-se que a pesquisa obteve:
A
fracasso.
7
Q
CERTO OU ERRADO:
A Distribuição de Bernoulli não é uma variável quantitativa, haja vista que o seu intuito é apenas obter a resposta SIM ou NÃO.
A
ERRADO! Ela TODA variável aleatória é quantitativa!! Ela é transformada em quantitativa após as respostas de SIM ou NÃO.
8
Q
CERTO OU ERRADO:
Na estatística, sempre que possível, o melhor é converter a pesquisa qualitativa em quantitativa.
A
CERTO!
9
Q
Para transformar a Distribuição de Bernoulli em variável quantitativa, sempre que a resposta for SIM (sucesso), ela tem o valor (?) e quando a resposta for NÃO (fracasso), tem o valor (?).
A
Para transformar a Distribuição de Bernoulli em variável quantitativa, sempre que a resposta for SIM (sucesso), ela tem o valor um e quando a resposta for NÃO (fracasso), tem o valor zero.
10
Q
Dicotomia significa:
A
dualidade, dois caminhos, duas hipóteses.
11
Q
Toda e qualquer pesquisa em que só existem dois resultados: sim ou não, acertou ou errou, gosta ou não gosta, aprovado ou reprovado e etc., dizemos que seguirá uma:
A
Distribuição de Bernoulli (ou ensaio de Bernoulli).
12
Q
O objetivo da Distribuição de Bernoulli é:
A
calcular a proporção, o percentual da distribuição
13
Q
PARA FIXAR
Ter sucesso no mundo estatístico não quer dizer que necessariamente é coisa boa.
Por ex: Em uma revenda de carros, a probabilidade de um carro ter defeitos é de 20%.
O sucesso (SIM), nesse caso, é o defeito.
A
14
Q
Em uma revendedora de carros, a probabilidade de um carro apresentar defeito é de 20%.
Faça a Distribuição de Bernoulli.
A
Nesse caso, apresentar defeito é o SIM.
É só isso a distribuição de bernoulli.
X é a probabilidade
1 é o SIM ou p
2 é o NÃO ou q
15
Q
Um praticante de tiro tem probabilidade de 60% de acertar um tiro.
Faça a Distribuição de Bernoulli.
A
É só isso a distribuição de bernoulli.
X é a probabilidade
1 é o SIM ou p
2 é o NÃO ou q
16
Q
Na Distribuição de Bernoulli, o sucesso (SIM) é representado por:
A
p
17
Q
Na Distribuição de Bernoulli, o fracasso (NÃO) é representado por:
A
q
18
Q
Na Distribuição de Bernoulli, a ESPERANÇA é igual a:
A
p (SIM).
19
Q
Na Distribuição de Bernoulli, a VARIÂNCIA é igual ao cálculo de:
A
p x q (SIM x NÃO).
20
Q
Um praticante de tiro tem probabilidade de 60% de acertar um tiro.
Informe o valor da esperança e da variância na Distribuição de Bernoulli.
A
Esperança = E(x) = p = 0,6 ou 60%
Variância = VAR(x) = p x q = 0,24 ou 24%
21
Q
A Distribuição Binomial é uma:
A
repetição da Distribuição de Bernoulli.
é uma análise de uma amostra da distribuição de bernoulli
22
Q
CERTO OU ERRADO:
A Distribuição de Bernoulli é uma análise global.
A
CERTO!
23
Q
A Distribuição Binomial é uma _______ da ___________ __ _________.
A
A Distribuição Binominal é uma amostra da Distribuição de Bernoulli.
24
Q
Existem dois parâmetros fundamentais na Distribuição Binomial:
A
- Número de elementos da amostra (n)
- probabilidade do sucesso (p)
não deveria ser três, por causa da probabilidade do fracasso? Não! Sabendo a probabilidade do sucesso, sabemos a do fracasso
25
Parâmetros são as informações _______ que devemos _________ para que consigamos fazer uma _______.
Parâmetros são as informações mínima que devemos conhecer para que consigamos fazer uma análise.
26
O que quer dizer a expressão abaixo:
b (n ; p)
b(n ; p)
b = distribuição binomial
n = número de elementos
p = probabilidade do sucesso
27
**DICA DE PROVA**
Se em alguma questão de prova vier a seguinte expressão "b (400 ; 0,05)", o que pode concluir?
Que se trata de uma distribuição binomial com 400 elementos e 0,05 de probabilidade de sucesso.
28
A esperança da distribuição binomial é determinado pela expressão:
n x p
*n° de elementos **x** probabilidade de sucesso*
29
O concurseiro Tiago Victor acerta historicamente 90% das questões. Em 2024, fará uma prova para ser Auditor Fiscal da Prefeitura de João Pessoa com 150 questões.
Qual a esperança de acerto de questões para Tiago Victor?
O primeiro dado se trata de uma distribuição de bernoulli, porque entre acertar e errar questões só tem duas opções. Quando ele fala em 150 questões, se trata de uma distribuição binomial pois ele quer uma análise dentro da distribuição de bernoulli.
A esperança é dada por:
número de elementos x probabilidade de sucesso
E(x) = 150 x 0,9 = **135**
30
Um praticante de tiros tem probabilidade de acertar 80% dos tiros. Atirando 20 vezes, qual a esperança?
O primeiro dado se trata de uma distribuição de bernoulli, porque entre acertar e errar o tiro só tem duas opções. Quando ele fala em 20 tiros, passa a ser uma distribuição binomial.
E(x) = 20 x 0,8 = **16**
31
A variância da distribuição binomial é dada pela expressão:
Var(x) = n x p x q
*leia-se: número de elementos x probabilidade de sucesso x probabilidade de fracasso*
32
Um praticante de tiros tem probabilidade de acertar 80% dos tiros. Atirando 20 vezes, qual a variância?
A variância é dada por: Var(x) = n x p x q
Var(x) = 20 x 0,2 x 0,8 = **3,2 tiros²**
*a variância SEMPRE tem unidade ao quadrado*
33
O concurseiro Tiago Victor acerta historicamente 90% das questões. Em 2024, fará uma prova para ser Auditor Fiscal da Prefeitura de João Pessoa com 150 questões.
Qual a variância?
Como se trata de uma distribuição binomial, a variância é Var(x) = n x p x q
Var(x) = 150 x 0,9 x 0,1 = **13,5 questões²**
*a variância SEMPRE tem unidade ao quadrado*
34
Na distribuição de Bernoulli, quais os parâmetros?
Só tem uma: p (probabilidade de sucesso).
35
CERTO OU ERRADO:
As distribuições de Bernoulli apresentam as mesmas características.
CERTO! Apresentam as mesmas características mas não o mesmo parâmetro.
36
CERTO OU ERRADO:
Repetições independentes do ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de sucesso, dão origem ao ao modelo Binomial.
CERTO!
37
O Teorema do Limite Central garante que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua ______ aproxima-se cada vez mais de uma ____________ ______.
O Teorema do Limite Central garante que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.
38
Quando um pesquisador vai a campo e aborda as pessoas na rua para serem entrevistadas, o número de pessoas que aceita responder à pesquisa segue uma distribuição binomial.
Se o valor esperado dessa distribuição é 8 e a variância é 1,6, qual a probabilidade de a pessoa aceitar responder à pergunta.
E(x) = 8
E(x) = n x p (ou seja, n x p = 8)
Var(x) = n x p x q
1,6 = 8 x q
1,6 ÷ 8 = q
q = 0,2 (probabilidade de fracasso)
Probabilidade (x)
1 = 0,8
0 = 0,2
**Resposta: 0,8**
39
Qual a fórmula de distribuição binomial para quantidades específicas de sucesso?
Leia-se: Probabilidade de X = k (n° de sucessos) = Combinação de n e k vezes p elevado a k vezes q elevado a n menos k
*quantidades específicas de sucesso seria por exemplo: um rapaz tem 70% de acertar um chute na trave. se ele chutar 7 vezes, qual a chance de ele acertar 3?*
40
Um jogador tem tido aproveitamento de 80% dos pênaltis batidos. Em uma série de 5 chutes, qual a probabilidade de ele acertar apenas 2.
*observe que ali na porcentagem, em vez de 80% ele usou 8/10 que no final dá o mesmo resultado*
41
Ao arremessar uma moeda 8 vezes, qual a probabilidade de sair exatamente 5 caras?
*nessas porcentagens elevadas a números grandes, sempre tentar simplificar como ele fez ali no 1/2*
42
Considere que numa família, a chance de nascer um bebê menino é de 30 % e a chance de nascer uma menina é 70%. Nesta família o casal tem 3 filhos, uma menina e dois meninos.
Qual a probabilidade dessa configuração familiar acima?
43
Considere um experimento aleatório que consiste em contar o número de sucessos k em um total de n repetições de eventos Bernoulli. Se a probabilidade de resultar sucesso em uma repetição qualquer é p = 0.2, qual a probabilidade de se obter dois sucessos em quatro repetições do experimento?
44
Um candidato resolveu contar com a sorte, ele respondeu aleatoriamente as cinco questões de raciocínio lógico dessa prova, compostas de cinco opções com uma única opção correta cada.
Qual a probabilidade de acertar exatamente duas questões?
45
A Distribuição Geométrica entende-se como a variável que corresponde ao ______ __ _______ até o _______ _______.
A Distribuição Geométrica entende-se como a variável que corresponde ao número de ensaios até o primeiro sucesso.
*ensaio = tentativas = repetições*
45
A Distribuição Geométrica deriva da:
Distribuição de Bernoulli
46
**PARA FIXAR**
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
P(X = k) equivale à probabilidade de se obter, nesta ordem k-1 fracassos e na, k-ésima tentativa, 1 sucesso. (k-1 fracassos quer dizer que das k tentativas, uma vai ser sucesso, por ex: obtenho um sucesso na 5ª tentativa. Portanto, k-1 será igual a 4, errarei quatro vezes para acertar uma.
Exemplo: Suponha que jogarei 3 vezes uma moeda pra cima com a intenção de obter cara. Na primeira dá coroa, a segunda coroa e a terceira cara (sucesso). Portanto, P(X = 3). Então calcularei a probabilidade de sair sucesso na terceira tentativa. Ou seja, os dois primeiros será fracasso.
O X só pode ser natural positivo, obviamente.
47
Qual a fórmula da distribuição geométrica?
k = qnt. de tentativas para o sucesso
q = probabilidade de fracasso
p = probabilidade de sucesso
k-1 = número de fracassos até o primeiro sucesso
48
Suponho que numa moeda viciada, a probabilidade de sair a face cara seja 20%.
Qual a probabilidade de obtermos a primeira face cara apenas no quarto lançamento?
49
Suponho que num dado viciado, a probabilidade de sair a face 4 seja 10%.
Qual a probabilidade, após vários lançamentos, de obtermos a primeira face 4 apenas no quinto lançamento?
50
A esperança da distribuição geométrica se dá pela formula:
51
A variância da distribuição geométrica se dá pela formula:
52
A probabilidade de cair cara em um lançamento de moeda é 50%.
Qual a esperança e a variável da distribuição geométrica?
E(X) = 1 ÷ p
E(X) = 1 ÷ 0,5
**E(X) = 2**
Var(X) = q ÷ p²
Var(X) = 0,5 ÷ 0,5²
Var(X) = 0,5 ÷ 0,25
**Var(X) = 2 lançamentos²**
*a variância é sempre ao quadrado*
53
Numa moeda viciada, a probabilidade de sair cara é de 20%.
Qual a esperança e variância da distribuição geométrica?
E(X) = 1 ÷ p
E(X) = 1 ÷ 0,2
**E(X) = 5**
Var(X) = q ÷ p²
Var(X) = 0,8 ÷ 0,2²
Var(X) = 0,8 ÷ 0,04
**Var(X) = 20 lançamentos²**
54
Parametrização é:
é uma forma de análise de uma variável. Você pode usar a parametrização X (número de sucessos) ou Y (número de fracassos) ou vice-versa.
55
**PARA FIXAR**
Ao contrário de X, na parametrização de Y ela pode assumir o valor 0.
X tem que ser pelo menos um, que é o número de tentativas até o sucesso. Ou seja, pode ser uma tentativa e um sucesso.
Y pode ser 0 porque seria o número de fracassos. Então, se caso ocorra sucesso na primeira tentativa, Y é zero.
56
Se a parametrização for do valor de X, começasse pelo valor:
1.
57
Se a parametrização for do valor de Y, começasse pelo valor:
0.
58
Joga-se uma moeda para cima com a intenção de tirar cara. O sucesso veio na terceira tentativa.
Qual o valor de X e Y?
X = 3 (n° de tentativas até o sucesso)
Y = 2 (n° de fracassos)
59
A distribuição geométrica com a **parametrização de Y** se dá pela formula:
*ou seja, é a mesma coisa da parametrização de X só que sem o -1*
60
A esperança da distribuição geométrica com a **parametrização de Y** se dá pela formula:
*parecida com a parametrização de X, só muda o 1 por q*
61
A variância da distribuição geométrica com a **parametrização de Y** se dá pela formula:
*mesma coisa que a variância com a parametrização de X*
62
**NÃO CONFUNDIR**
A esperança e a variância de X e Y podem ser quebradas (ex: 1,20). O que precisa ser número redondo é o valor de X e Y.
63
Sejam a probabilidade de um atirador acertar o alvo igual a 80%. Sejam as variáveis aleatórias X igual ao número de tentativas para o sucesso e Y o número de fracassos.
Qual o valor da distribuição geométrica de X e sua respectiva esperança e variância se o atirador acertar o alvo na 3ª tentativa?
**VALORES DE X**
P(X) = probabilidade de fracasso elevado a k-1 vezes p (não dá pra fazer a fórmula)
P(X) = 0,8² x 0,2
P(X) = 0,64 x 0,2
**P(X) = 0,128 ou 12,8%**
E(X) = 1 ÷ p
E(X) = 1 ÷ 0,8
**E(X) = 1,25*
Var(X) = p ÷ q²
Var(X) = 0,2 ÷ 0,8²
**Var(X) = 0,3125 tiros² ou 31,25% tiros²**
64
Sejam a probabilidade de um atirador acertar o alvo igual a 80%. Sejam as variáveis aleatórias X igual ao número de tentativas para o sucesso e Y o número de fracassos.
Qual o valor da distribuição geométrica com a parametrização de Y e sua respectiva esperança e variância se o atirador acertar o alvo na 3ª tentativa?
**VALORES DE Y**
P(Y) = probabilidade de fracasso elevado a k vezes p (não dá pra fazer a fórmula)
P(Y) = 0,8³ x 0,2
P(Y) = 0,512 x 0,2
**P(Y) = 0,1024 ou 10,24%**
E(Y) = q ÷ p
E(Y) = 0,2 ÷ 0,8
**E(Y) = 0,25**
Var(Y) = p ÷ q²
Var(Y) = 0,2 ÷ 0,8²
**Var(Y) = 0,3125 tiros² ou 31,25% tiros²**
65
Sabe-se que a distribuição geométrica pode ser interpretada como uma sequência de ensaios de Bernoulli, independentes, até a ocorrência do primeiro sucesso.
Qual a média e a variância, respectivamente, de uma distribuição geométrica cujo parâmetro é p = 0,64 e tendo como parametrização o número de ensaios de Bernoulli até se obter um sucesso?
66
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/3.
Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro que obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos independentes.
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de
67
Considere que Y seja uma variável aleatória geométrica que representa o número de erros cometidos por um atendente no preenchimento de formulários e que a função de probabilidade de Y seja definida por P(Y = k) = 0,9 × (0,1)k (elevado a k) , em que k = 0, 1, 2, ...
Qual o desvio padrão da variável Y?
68
Considere que Y seja uma variável aleatória geométrica que representa o número de erros cometidos por um atendente no preenchimento de formulários e que a função de probabilidade de Y seja definida por P(Y = k) = 0,9 × (0,1)k , em que k = 0, 1, 2, ...
Qual o desvio padrão da variável Y?
69
CERTO OU ERRADO:
É igual a ¾ a probabilidade de determinado advogado conseguir decisão favorável a si em cada petição protocolada por ele na vara cível de certo tribunal. O plano desse advogado é protocolar, sequencialmente, 12 petições nessa vara cível durante o ano de 2020. Favoráveis ou não, as decisões do tribunal para petições são emitidas na mesma ordem cronológica em que são protocoladas e são sempre independentes entre si. A partir dessa situação hipotética, julgue o próximo item, considerando as variáveis aleatórias X e Y, em que X = quantidade de decisões emitidas pelo tribunal até que ocorra a primeira decisão não favorável ao advogado, e Y = quantidade de decisões emitidas pelo tribunal favoráveis ao advogado.
Espera-se que a primeira decisão desfavorável ao advogado ocorra somente depois de, pelo menos, quatro decisões favoráveis a ele.
Perceba que ele fala **ESPERA-SE**, então é a esperança.
70
A distribuição hipergeométrica é quando se trabalha com uma população que é:
dividida em duas partes.
*uma parte é sucesso e a outra é fracasso*
71
A distribuição hipergeométrica é faz parte do:
ensaio de Bernoulli.
72
A principal característica da distribuição hipergeométrica é que:
nela não há reposição do elementos já retirados.
73
Na distribuição hipergeométrica a população **não pode** ser:
infinita.
74
Dentro da distribuição hipergeométrica é necessário saber:
N = tamanho da população
n = tamanho da amostra
S = números de sucesso dentro da população
75
O que busca com a distribuição hipergeométrica é o número de ________ obtidos dentro da _______.
O que busca com a distribuição hipergeométrica é o número de sucessos obtidos dentro da amostra.
76
A fórmula para se chegar ao número de fracassos em uma distribuição é:
Fracassos = N - S
*leia-se tamanho da população menos sucessos*
**ÓBVIO**
77
A variável aleatória que possui uma variável hipergeométrica é:
discreta.
*só aceita números redondos*
78
**PARA FIXAR**
ENTENDENDO A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA:
Ele dá os valores. A população é 10 (representado por N), o tamanho da amostra que se quer é 3 (representado por n) e o número de sucessos é 4 (representado por S).
À direita são as possibilidades uma amostra de três elementos. As possibilidade são:
- fracasso, fracasso, fracasso
- fracasso, fracasso, sucesso
- fracasso, sucesso, sucesso
- sucesso, sucesso, sucesso
Na distribuição geométrica, só queremos o número de sucessos, por isso do lado das amostras está o valor de x, que é o número de sucessos da amostra.
79
Dentro da distribuição geométrica o valor de x é:
o número de sucessos dentro da amostra.
80
Quando se pega uma amostra, se houver reposição ou se a população for infinita, se considera que os elementos são:
independentes entre si.
81
Quando se pega uma amostra, se houver sem reposição ou se a população for finita, se considera que os elementos são:
dependentes.
82
A probabilidade de sucessos em uma amostra é dada pela fórmula:
*nota-se que a fórmula não é dividido e sim combinação*
83
Suponha que haja N = 10 peças, no total, das quais S = 4 peças defeituosas. Se retirarmos n = 3 peças, qual a probabilidade de encontrar k = 2 defeituosas?
84
Suponha que haja N = 10 peças, no total, das quais S = 4 peças defeituosas. Se retirarmos n = 3 peças, qual a probabilidade de encontrar k = 2 defeituosas?
**MODO MAIS FÁCIL DO QUE DECORAR AQUELA FÓRMULA ENORME*
85
O limite superior de sucessos de uma variável hipergeométrica é o:
menor valor entre número de elementos da amostra e o número de sucessos.
*ou seja, amostra menos fracasso, que se chega ao número máximo de sucessos*
86
O limite superior de sucessos de uma variável hipergeométrica é o:
87
CERTO OU ERRADO:
O número máximo de sucessos de uma variável hipergeométrica é sempre o número de sucessos dado.
ERRADO! Exemplo: O número da população (N) é 10, o número de sucessos (S) é 7 e a amostra (n) é 3. Então o número máximo de sucessos será 3.
88
O limite superior de sucessos da variável hipergeométrica se limita ao número da:
amostra.
*não tem como o limite superior do sucesso ser maior que a amostra*
89
O limite inferior de sucessos de uma variável hipergeométrica é o:
máximo entre 0 e a diferença número de elementos da amostra menos o número de fracassos na amostra (ou seja, n-F)
90
Suponha que se tenha N=10, S=7 e n=5, qual o limite inferior de sucessos possíveis da variável hipergeométrica na amostra?
A amostra é 5 e o número de fracassos é 3. Então o limite inferior é 2.
91
A esperança da distribuição geométrica é obtida através da fórmula:
E(X) = n ⋅ p
*p = S ÷ N*
92
Suponha que se tenha N=10, S=4 e n=3, qual a esperança dessa variável hipergeométrica?
E(X) = n ⋅ p
p = S ÷ N = 3 ÷ 10 = 0,3
E(X) = 4 x 0,3 = 1,2
93
A variância da distribuição geométrica é obtida através da fórmula:
94
Suponha que se tenha os valores N=10, S=4 e n=3, qual a variância dessa variável hipergeométrica?
95
Suponha que se tenha os valores N=12, S=5 e n=3, qual a esperança dessa variável hipergeométrica?
96
Suponha que se tenha os valores N=12, S=5 e n=3, qual a variância dessa variável hipergeométrica?
97
Suponha que o número de processos trabalhistas que chegam, por dia, a um determinado tribunal regional do trabalho seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson com média igual a λ. Sabe-se que a probabilidade de chegarem 2 processos por dia é igual a oito vezes a probabilidade de não chegar nenhum. Nessas condições, qual a probabilidade de, em um determinado dia, chegarem pelo menos 2 processos?
Dados:
e⁻² = 0,135
e⁻⁴ = 0,018
98
O nome do símbolo λ é:
lambda.
99
A distribuição de Poisson é uma variável aleatória:
discreta.
100
Podemos considerar uma indústria farmacêutica que apresenta defeito em p=0,01% dos medicamentos e que a amostra a ser verificada contém n = 4 mil medicamentos. Nessa situação, o cálculo da função de probabilidade pela distribuição binomial é praticamente impossível.
Nesses casos, em que 𝒏 é muito grande (𝒏 → ∞) e 𝒑 é muito pequeno (𝒑 → 𝟎) utilizamos a sua aproximação à:
distribuição de Poisson
101
Sabemos que a média da distribuição binomial é igual a 𝐸(𝑋𝐵) = 𝑛. 𝑝.
Na distribuição de Poisson, chamamos essa média de:
𝝀 (lambda) = n x p.
*ou seja, lambda é a média da distribuição binomial*
102
Considerando uma indústria farmacêutica que apresenta defeito em p=0,01% dos medicamentos e que a amostra a ser verificada contém n = 4 mil medicamentos, qual o valor da de 𝝀 na distribuição binomial?
𝝀 = média da distribuição binomial
𝝀 = n x p
𝝀 = 4000 x 0,001
𝝀 = 0,4
103
A esperança (ou média) da distribuição de Poisson é:
E(X) = 𝝀
104
A variância da distribuição de Poisson é:
V(X) = 𝝀 ou V(X) = n x p
*𝝀 = n x p*
105
Os pressupostos da distribuição de Poisson são dois:
i) Homogeneidade, ou seja, a taxa 𝜆 deve ser constante (assim como a probabilidade de sucesso 𝑝 é constante para a distribuição binomial); e
ii) Independência das ocorrências em um intervalo, em relação
106
Aproximação da Distribuição Binomial para 𝑛 → ∞ e 𝑝 → 0 é igual a:
𝑷(𝑿 = 𝒌) = (𝒆−𝝀 .𝝀𝒌) ÷ 𝒌!
Esperança: 𝐸(𝑋) = 𝝀;
Variância: 𝑉(𝑋) = 𝝀
107
A distribuição de Poisson é uma distribuição ________ de probabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de _______ __________, podendo ser usada como aproximação da ____________ ________.
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de eventos aleatórios, podendo ser usada como aproximação da distribuição binomial.
108
A distribuição de Poisson é utilizada como aproximação da distribuição binomial para amostras _______ (n) e probabilidade _______ (p), tal que o produto n.p, isto é, a esperança da distribuição, é um valor ______.
A distribuição de Poisson é utilizada como aproximação da distribuição binomial para amostras grandes (n) e probabilidade pequenas (p), tal que o produto n.p, isto é, a esperança da distribuição, é um valor finito.
109
CERTO OU ERRADO:
A quantidade diária de emails indesejados recebidos por um atendente é uma variável aleatória X que segue distribuição de Poisson com média e variância desconhecidas. Para estimá-las, retirou-se dessa distribuição uma amostra aleatória simples de tamanho quatro, cujos valores observados foram 10, 4, 2 e 4. Com relação a essa situação hipotética, julgue o seguinte item.
Se P (X = 0) representa a probabilidade de esse atendente não receber emails indesejados em determinado dia, estima-se que tal probabilidade seja nula.
110
Assim como para a distribuição binomial, o valor de X = k, varia entre:
0 (zero) e o tamanho da amostra 𝑛 → ∞.
111
O que significa a expressão abaixo?
𝑋~𝑃𝑜(𝜆).
Distribuição de Poisson.
112
𝜆 é a média de ________ em um determinado _________ __________.
𝜆 é a média de sucessos em um determinado intervalo específico.
113
É possível somar variáveis com distribuição de Poisson?
SIM! Sendo 𝜆𝑋 o parâmetro da distribuição da variável X e 𝜆𝑌 o parâmetro da distribuição da variável 𝑌, então a variável 𝑆 = 𝑋 + 𝑌 terá
distribuição de Poisson com parâmetro:
𝜆𝑆 = 𝜆𝑋 +𝜆𝑌
114
**EXEMPLO DE SOMA DE VARIÁVEIS COM DISTRIUIÇÃO DE POISSON**
Suponha que a empresa X receba 𝜆 = 5 novos clientes por mês e que a empresa 𝑌 receba 𝜆𝑌 = 3 novos clientes por mês, de modo que ambos sigam distribuições de Poisson. Se a empresa X se juntar com a empresa Y, formando a empresa S, então, se as taxas de novos clientes permanecerem as mesmas, a nova empresa receberá a seguinte taxa de novos clientes por mês, que também seguirá uma distribuição de Poisson:
𝜆s = 𝜆x +𝜆y = 5 + 3 =8
115
É possível multiplicar variáveis com distribuição de Poisson?
SIM!
116
**EXEMPLO DE MULTIPLICAÇÃO DE VARIÁVEIS COM DISTRIBUIÇÃO DE POISSON**:
Suponha que a empresa X receba 𝜆 = 5 novos clientes por mês e que a empresa 𝑌 receba 𝜆𝑌 = 3 novos clientes por mês, de modo que ambos sigam distribuições de Poisson. Se a empresa X se juntar com a empresa Y, formando a empresa S, então, se as taxas de novos clientes permanecerem as mesmas, a nova empresa receberá a seguinte taxa de novos clientes por mês, que também seguirá uma distribuição de Poisson:
𝜆s = 𝜆x +𝜆y = 5 + 3 =8
Havendo uma empresa Z que receba 𝜆𝑍 = 10 novos clientes por mês, cuja metade se juntará às demais empresas, então a nova empresa N formada receberá a seguinte taxa de novos clientes por mês, que também seguirá uma distribuição de Poisson:
𝜆s = 𝜆x + 𝜆y + 0,5. 𝜆z = 5 + 3 + 0,5 × 10 = 13
117
O parâmetro da distribuição de Poisson é a:
sua média (esperança): 𝐸(𝑋) = 𝜆.
118
É possível somar as esperanças de duas ou mais variáveis com distribuição de Poisson?
SIM! 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) → 𝜆x+y = 𝜆x + 𝜆y
119
É possível multiplicar as esperanças de duas ou mais variáveis com distribuição de Poisson?
SIM! 𝐸 (𝑘.𝑋) = 𝑘.𝐸(𝑋) → 𝜆𝑘.𝑋 = 𝑘. 𝜆𝑋
120
A distribuição binomial negativa (também chamada de ____________ __ ______) estuda o número de _______ __ _________ necessários para se obter _ _______, com _ sendo ____.
A distribuição binomial negativa (também chamada de distribuição de Pascal) estuda o número de ensaios de Bernoulli necessários para se obter k sucessos, com k sendo fixo.
*é o contrário da distribuição binomial*
121
**PARA FIXAR**
Há uma diferença sutil nessa definição, em relação à distribuição binomial (original). Enquanto a binomial (original) estuda o número de sucessos (𝑋 = 𝑘) obtidos a partir de 𝒏 ensaios de Bernoulli, com 𝒏 fixo; a binomial negativa estuda o número de ensaios (𝑋 = 𝑥) necessários para se obter 𝒌 sucessos, com 𝒌 fixo.
Ex: na distribuição binomial negativa, se quer saber, por exemplo, quantos tiros serão dados até que se acerte o alvo cinco vezes.
Na distribuição binomial, se quer saber a probabilidade de acertar o alvo em cinco tiros, é ao contrário.
122
Na distribuição binomial negativa não se varia o número de:
sucessos.
123
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial negativa exige que se tenha ____________ entre as tentativas.
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial negativa exige que se tenha independência entre as tentativas.
124
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial, a população será ________ ou a extração será com _________.
Assim como na distribuição binomial, na distribuição binomial, a população será infinita ou a extração será com reposição.
125
O número mínimo de tentativas na distribuição binomial negativa será, obrigatoriamente, o valor de:
k (sucessos).
*já que na binomial negativa se quer chegar exatamente ao número de sucessos. então pode ocorrer de atirar 5 vezes e acertar o alvo 5 vezes, por exemplo*
126
O valor da distribuição binomial é obtida através da fórmula:
Leia-se:
k = número de sucessos (fixo)
x = n° de lançamentos
p = probabilidade de sucessos
q = probabilidade de fracassos
*perceba que ali é combinação e não divisão*
127
Realizando o lançamento de uma moeda não viciada, qual a probabilidade de se obter 5 caras em exatamente 8 lançamentos?
128
CERTO OU ERRADO:
Se, em determinada fábrica, 10% das peças produzidas são defeituosas, então, para fins de controle de qualidade, uma distribuição binomial negativa deve ser usada na situação em que é retirada uma amostra aleatória simples com reposição de 10 peças para se determinar a probabilidade de ocorrer exatamente 3 peças defeituosas nessa amostra.
ERRADO! Sabendo que será retirada uma amostra aleatória, com reposição, de n = 10 peças e que a probabilidade de defeito é p = 10%, então temos uma distribuição binomial (original).
129
Considere que em uma fábrica, 20% das peças apresentem defeito. Nessa situação, para encontrar exatamente 2 peças defeituosas, qual a probabilidade de inspecionarmos exatamente 4 peças, com reposição?
130
A esperança da distribuição binomial negativa é dada pela expressão:
E(X) = k ÷ p
131
A variância da distribuição binomial negativa é dada pela expressão:
VAR(X) = (k ⋅ q) ÷ p²
132
Em um lançamento de uma moeda não viciada, procura-se obter exatamente a quantidade de 5 caras.
Qual a esperança e a variância dessa distribuição binomial negativa?
E(X) = k ÷ p
E(X) = 5 ÷ 0,5
E(X) = 10 lançamentos
VAR(X) = (k ⋅ q) ÷ p²
VAR(X) = (5 ⋅ 0,5) ÷ 0,5²
VAR(X) = 2,5 ÷ 0,25
VAR(X) = 10 lançamentos²
133
Considere que em uma fábrica, 20% das peças apresentem defeito. Nessa situação, para encontrar exatamente 2 peças defeituosas, qual a esperança e a variância?
E(X) = k ÷ p
E(X) = 2 ÷ 0,2
E(X) = 10
VAR(X) = (k ⋅ q) ÷ p²
VAR(X) = (2 ⋅ 0,8) ÷ 0,2²
VAR(X) = 1,6 ÷ 0,04
VAR(X) = 40 peças²
134
