Análise Combinatória

Question 1

O princípio fundamental da contagem é também chamado de:

Answer 1

princípio multiplicativo.

Question 2

Se um evento A ocorre de m maneiras diferentes e se, para cada uma dessas maneiras, um outro evento B ocorre de n maneiras diferentes, qual o número de maneiras diferentes de ambos os eventos (A e B) ocorrerem?

Answer 2

m x n

Question 3

PARA FIXAR

Análise combinatória é uma análise que se faz das combinações possíveis, sem precisar “usar o dedinho” para contar.
Exemplo: eu tenho duas portas de entrada do prédio e cinco elevadores. Quantas combinações diferentes eu tenho de entrar por uma das portas e pegar os cinco elevadores?

Question 4

QUESTÃO DE PROVA

Uma tabela retangular de 12 linhas por 18 colunas possui 216 campos de preenchimento. Outras tabelas retangulares com combinações diferentes de linhas e colunas também possuem 216 campos de preenchimento. Observando-se que uma tabela de 12 linhas por 18 colunas é diferente de uma tabela de 18 linhas por 12 colunas, o total de tabelas retangulares diferentes com 216 campos de preenchimento é igual a

a) 14
b) 12
c) 10
d) 16
e) 18

Answer 4

Muito fácil!

1) Realizar a fatoração do número 216 = 2³ x 3³
2) Pegar cada expoente e somar mais uma unidade: (3 + 1) x (3+1)

Resposta: d) 16

Question 5

Se o evento A ocorre de m maneiras diferentes e o evento B ocorre de n maneiras diferentes, e se A e B são mutuamente exclusivos, qual o número de maneiras de ocorrer A ou B?

Answer 5

m + n
ex: Uma pessoa precisa se calçar e que ele possui 3 opções de tênis e 2 opções de sapatos. Ele não pode usar um sapato e um tênis ao mesmo tempo.*

Question 6

O que diz o princípio da casa dos pombos?

Answer 6

Se n pombos devem se abrigar em m casas e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo.

Question 7

PARA FIXAR

PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS

Por que pombos? Bem, os pombos são imprevisíveis. Eles podem resolver ficar todos juntos ou todos separados… Nesse sentido, eles representam eventos aleatórios, como a seleção de determinados elementos ao acaso. Porém, mesmo sendo imprevisíveis, é possível fazer algumas afirmações ou garantias. Para fazer essas afirmações, precisamos pensar no pior cenário possível.
Por exemplo, considerando um total de 4 casas, quantos pombos são necessários para garantir que haverá pelo menos 2 pombos em uma casa? Bem, é possível que, havendo apenas 2 pombos, ambos escolham a mesma casa. Porém, isso não pode ser garantido, pois também é possível que escolham casas distintas. A mesma situação ocorre com 3 e com 4 pombos, pois ainda é possível que todos escolham casas distintas.
Entretanto, com 5 pombos, necessariamente haverá pelo menos 2 pombos em uma casa. Como há somente 4 casas, ainda que eles tentem se espalhar, o 5º pombo não terá alternativa e terá que ficar com algum outro pombo.

Para que haja 2 pombos em cada uma das 4 casas, serão necessários 2 x 4 = 8 pombos. Portanto, são necessários 8 + 1 = 9 pombos, para garantir que haverá pelo menos 3 pombos em uma casa.

Question 8

Se um prédio tem duas portas de entrada, cinco elevadores e vinte andares, sendo quatro apartamentos em cada andar, qual o n° de combinações que dá pra fazer entre esses elementos?

Answer 8

1° passo: n° de portas = 2 possibilidades
2° passo: n° de elevadores = 5 possibilidades
3° passo: n° de andares = 20 andares
4° passo: apartamentos por andar = 4 apartamentos

2 x 5 x 20 x 4 = 800

Resposta: 800 possibilidades

Question 9

Mariah é uma mulher vaidosa e possui um total de 35 camisas, 7 calças e 3 sapatos. Quantos dias Mariah poderá sair sem repetir o mesmo look?

Answer 9

35 x 7 x 3 = 735

Question 10

Considere que, em um órgão de inteligência, o responsável por determinado setor disponha de 20 agentes, sendo 5 especialistas em técnicas de entrevista, 8 especialistas em reconhecimento operacional e 7 especialistas em técnicas de levantamento de informações, todos com bom desempenho na tarefa de acompanhamento de investigado. A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

Se, para cumprir determinada missão, for necessário fazer, simultaneamente, reconhecimento operacional em 3 locais diferentes, então o responsável pelo setor terá 340 maneiras distintas de compor uma equipe da qual façam parte 3 agentes especialistas para essa missão, sendo um especialista para cada local.

Answer 10

ERRADO!

Suponhamos que os três locais diferentes sejam João Pessoa, Recife e Maceió.

1° passo: A possibilidade de ele mandar um especialista em reconhecimento operacional para João Pessoa é 8.
2° passo: Como já mandou um para João Pessoa, a possibilidade de ele mandar um pra Recife é 7.
3° passo: como já mandou um pra Recife e outro pra João Pessoa, a probabilidade de ele mandar um pra Maceió será 6.

POSSIBILIDADES: 8 x 7 x 6 = 336

Resposta: há 336 possibilidades

Question 11

CERTO OU ERRADO:

Em relação à análise combinatória e à formação de números utilizando o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, julgue o item a seguir.

Podem ser formados 125 números naturais de 3 algarismos.

Answer 11

CERTO!

1° passo: as possibilidades de ter o número da centena são 5
2° passo: as possibilidades de ter o número da dezena são 5
3° passo: as possibilidades de ter o número da unidade são 5

5 x 5 x 5 = 125 números naturais de 3 algoritmos

Question 12

CERTO OU ERRADO:

Em relação à análise combinatória e à formação de números utilizando o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, julgue o item a seguir.

Podem ser formados 60 números naturais de 3 algarismos distintos.

Answer 12

CERTO!

1° passo: as possibilidades de ter o número da centena são 5
2° passo: as possibilidades de ter o número da dezena são 4, porque um algoritmo não pode ser repetido
3° passo: as possibilidades de ter o número da unidade são 3 porque 2 algoritmos não podem ser repetidos

5 x 4 x 3 = 60 números naturais de 3 algoritmos distintos

Question 13

CERTO OU ERRADO:

Em relação à análise combinatória e à formação de números utilizando o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, julgue o item a seguir.

Podem ser formados 30 números ímpares de 3 algarismos distintos.

Answer 13

ERRADO!!

1° passo: as possibilidades de ter o número ímpar no final são 3 (1, 3 e 5)
2° passo: as possibilidades de ter o número diferentes na dezena são 4 (um já foi no final do número ímpar)
3° passo: as possibilidades de ter o número diferente na unidade é 3

3 x 4 x 3= 36 números naturais de 3 algoritmos distintos com final ímpar

Question 14

O que quer dizer a expressão 4! (fatorial)?

Answer 14

Quatro fatorial.

Isso quer dizer que vai ser a multiplicação de todos os elementos até 4 ou de 4 até 1.
Ex: 4 x 3 x 2 x 1

Question 15

O que é uma permutação simples?

Answer 15

Quando a quantidade de elementos for igual a quantidade de lugares.

Ex: Para 6 pessoas e 6 lugares na fila, a quantidade de pessoas e posições diferentes será representado pelo 6! (seis fatorial) que quer dizer 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

Question 16

Qual o resultado da expressão abaixo?

(2 × 4)!

Answer 16

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320
cuidado para não confundir com 2! x 4!

Question 17

Qual o resultado da expressão abaixo?

(2 + 4)!

Answer 17

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
cuidado para não confundir com 2! + 4!

Question 18

Qual o resultado da expressão abaixo?

1!

Answer 18

1! = 1

Question 19

Qual o resultado da expressão abaixo?

0!

Answer 19

0! = 1

Question 20

O que significa permutação?

Answer 20

Trocar de lugar.

Question 21

PARA FIXAR

A permutação simples pode ser utilizada para calcular todas as possibilidades de se reordenar elementos, sejam letras de uma sigla (formando anagramas distintos), algarismos em um número (formando números distintos), etc., desde que os elementos sejam todos distintos.

Question 22

CERTO OU ERRADO:

Tiago quer pintar a parede do quarto novo do seu apartamento em João Pessoa. Ele quer pintar 5 listras horizontais e possui 8 cores diferentes.
A quantidade de possibilidades pode se dar por uma permutação simples.

Answer 22

ERRADO! A permutação simples só ocorreria com a mesma quantidade de listras e cores. A permutação simples é igual a quantidade de elementos pela mesma quantidade de opções.

Question 23

Em uma lista de número sendo A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, em que os números de A precisam preencher os espaços vazios do retângulo e 1 e 8 precisam ocupar os espaços extremos, qual a possibilidade de permutações possíveis dentro dos espaço vazios?

Answer 23

1) 1 e 8 precisam estar no primeiro ou último espaço, conforme imagem, se dando pela permutação 2!

2) 2, 3, 4, 5, 7 e 6 podem ser permutar dentro dos espaços vazios em todos os espaços, se dando pela permutação 6!

3) 2! x 6! = 2 x 720 = **1440*

Question 24

Em uma lista de número sendo A = 1, 2 e 3 e B = 3, 4, 5, 6, 7 e 8, em que os números de A precisam preencher os três primeiros espaços vazios do retângulo e os números de B precisam ocupar os espaços restantes, qual a possibilidade máxima de permutações possíveis?

Answer 24

1) O conjunto A formado por 1, 2 e 3 precisam preencher os três primeiros espaços, se dando pela permutação de 3!

2) O conjunto B, formado por 3, 4, 5, 6, 7 e 8 precisam preencher os outros cinco espaços restantes, podendo se permutar livremente, se dando pela permutação 5!

3) 3! x 5! = 6 x 120 = 720

Question 25

Em um conjunto de números A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, suponha que os algarismos ímpares tenham que ocupar posições ímpares e os algarismos pares, posições pares, como ilustrado na imagem.
Qual o total de permutações possível?

Answer 25

1) São 8 espaços, então os pares ocuparão as posições 2, 4, 6 e 8, podendo se permutar entre si e representados pela permutação 4!

2) Os números pares ocuparão a posições 1, 3, 5 e 7, podendo se permutar entre si e representados pela permutação 4!

3) 4! x 4! = 24 x 24 = 576

Question 26

PARA FIXAR

De modo geral, havendo n elementos, dos quais p estejam designados a determinadas posições, mas sem indicar a posição especifica de cada um, fazemos a permutação de n–p elementos e multiplicamos pela permutação de p elementos:

Pₙ₋ₚ x Pₚ = (n – p)! x p!

Question 27

CERTO OU ERRADO:

Para assistir ao filme Barbie, há 6 pessoas na fila da mesma família para comprar o ingresso. A possibilidade de formação de fila se dá pela permutação simples 6! e totaliza uma possibilidade de 720 maneiras diferentes de dispor a fila entre eles.

Answer 27

CERTO!

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Question 28

Caso os elementos de um conjunto tenham que ficar sempre juntos em uma ordem de uma permutação, como tratar esse caso?

Answer 28

Os elementos que precisam ficar juntos irão contar como um elemento apenas.

Question 29

Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, responda a questão abaixo:

Os algoritmos de A precisam ser permutados e os algarismos {1, 2 e 3} têm que ficar juntos, mas em qualquer ordem.

Qual a possibilidade total de permutação do conjunto nesses espaços?

Answer 29

1) 1, 2 e 3, como ficarão sempre juntos, contarão como um só. Portanto, 6! = 720

2) Além disso, {1, 2 e 3} podem se permutar entre si, em qualquer ordem, se dando pela permutação 3! = 6

3) 720 x 6 = 4320

Question 30

Existem cinco mulheres em uma fila: Ana, Bárbara, Priscila, Rose e Mariah.
Quantas possibilidades de disposições na fila existem desde que Mariah e Bárbara fiquem sempre juntas?

Answer 30

1° passo: é como se Mariah e Bárbara fosse uma só pessoa nesse caso, já que estarão sempre juntas independente de uma ir na frente ou atrás.
Então a possibilidade de filas com as duas seria de 4!

2° passo: como Bárbara pode ficar na frente de Mariah e Mariah pode ficar na frente de Bárbara, a cada possibilidade, dará uma permutação de 2!

3° passo: multiplicar a possibilidade das duas juntas na fila, pessoa possibilidade de uma ir na frente da outra
4! x 2! = 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 48 possibilidades

Resposta: 48 disposições diferentes na fila em que Mariah e Bárbara estejam um juntas na fila

Question 31

Existem cinco mulheres em uma fila: Ana, Bárbara, Priscila, Rose e Mariah.
Quantas possibilidades de disposições na fila existem desde que Mariah e Priscila fiquem sempre separadas?

Answer 31

1° passo: calcular todas as disposições possíveis na fila:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2° passo: calcular a quantidade de vezes que Mariah e Priscila ficarão sempre juntas na fila:
4! x 2! = 48

3° passo: subtrair a quantidade de disposições possíveis na fila pela quantidade de vezes em que Mariah e Priscila ficarão sempre juntas
120-48

Resposta: 72

Question 32

A permutação de letras é chamada de:

Answer 32

anagramas.

Question 33

CERTO OU ERRADO:

Anagrama é a permutação de letras do alfabeto, que precisam fazer sentido para serem válida.

Answer 33

ERRADO! Um anagrama não precisa fazer sentido.
exemplo: Anagrama de ROMA
ROMA, AMOR, MORA, ARMO (não faz sentido)…

Question 34

Quantos anagramas tem a palavra SPORT?

Answer 34

Sport tem 5 letras, então é 5!

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Resposta: 120 anagramas

Question 35

Quantos anagramas tem a palavra AMORA?

Answer 35

Primeiro detalhe é se atentar que há letra repetida.

1° passo: a palavra AMORA tem 5 cinco letras, então coloca-se 5!

2° passo: dividir pelo número de letras repetidas, dividindo por letras: ex: tem somente dois “A’s”, então conta-se 2!
5! ÷ 2! = 120 ÷ 2 = 60

RESPOSTA: 60 anagramas

Question 36

Quantos anagramas tem a palavra SENSE?

Answer 36

Primeiro detalhe é se atentar que há letras repetidas.

1° passo: a palavra SENSE tem 5 cinco letras, então coloca-se 5!

2° passo: dividir pelo número de letras repetidas, dividindo por letras: ex: tem somente dois “E’s” e dois “S’s”, então conta-se 2! para o E multiplicado pelo 2! para o S
5! ÷ (2! x 2!) = 120 x 4 = 30

Resposta: 30 anagramas

Question 37

O que é uma permutação circular?

Answer 37

Uma permutação em um círculo, claro.

Question 38

ATENÇÃO

A banca pode considerar permutação circular em volta de uma mesa quadrada ou retangular, por exemplo. Basta que haja algo no centro e coisas ou pessoas em volta.

Question 39

CERTO OU ERRADO:

A permutação circular é uma permutação em volta de um círculo, com algum ponto central e pessoas ou coisas obrigatoriamente fixas em volta.

Answer 39

ERRADO! Não precisa ser fixa.

Question 40

CERTO OU ERRADO:

Na permutação circular, duas pessoas tem a possibilidade de, num círculo, estar em duas posições.

Answer 40

ERRADO! Como é um círculo e com duas pessoas não dá pra saber onde é o começo e o fim, não há permutação. Resumindo: não há permutação de duas pessoas em um círculo.

Question 41

A expressão da permutação circular de pessoas ou objetos é igual a:

Answer 41

PCn = (n-1)!
PC = permutação circular
n = n° de elementos

Ou seja, na permutação circular, se houver 5 pessoas, por exemplo, a permutação se dará por 4!

Question 42

Qual a permutação circular de 8 crianças?

Answer 42

PC8 = (8-1)!
PC8 = 7! = 5040

Resposta: 5040

Question 43

O número de maneiras de colocarmos 5 meninas e 5 meninos em uma roda de São João, de modo que meninos e meninas fiquem alternadamente é igual a:

Answer 43

1° passo: escolher, primeiramente, meninos ou meninas para fazer a primeira permutação. Vamos supor que escolhemos as meninas. Como se trata de permutação circular, será representado por 4!.

2° passo: os meninos, diferente das meninas, podem permutar em cinco lugares diferentes, conforme mostra a imagem. Então, será representado por 5!.

3° passo: 5! x 4! = 120 x 24 = 2880

Resposta: 2880

nota-se que as meninas, que foram dispostas primeiro na roda, não podem permutar entre as duas primeiras, por isso o 4! A partir desse momento, os meninos terão cinco espaços para entrar, conforme mostra a imagem, sendo representado por 5!

Question 44

Em uma dinâmica de grupo de 7 pessoas em volta de um círculo, as pessoas devem trocar de lugar de modo que se consiga obter o máximo de combinações alternadas possíveis, sem repetição. Carlos e Daniel, que estão brigados, se recusam a ficar juntos.

Qual o número máximo de possibilidades de combinações, sem que Carlos e Daniel fiquem juntos?

Answer 44

1° passo: como são 7 pessoas e 2 não podem ficar juntas, se faz o cálculo 7-2 = 5. Sabemos que a fatoração na permutação circular é n-1 e nesse caso n é 5. Então a fatoração será 4!

2° passo: a partir da disposição das 5 crianças que podem permutar livremente, Carlos possui 5 possibilidades de lugares para entrar, conforme mostra a imagem da esquerda. Então o próximo passo da conta é 4! x 5.

3° passo: com a entrada de Carlos, Daniel só possui quatro possibilidades de entrar, haja vista que um dos locais já foram ocupados por Carlos (verificar imagem a direita). Então a conta se dará por 4! x 5 x 4 = 24 x 5 x 4 = 480

Resposta: 480

Question 45

Em uma dinâmica de grupo de 7 pessoas em volta de um círculo, as pessoas devem trocar de lugar de modo que se consiga obter o máximo de combinações alternadas possíveis, sem repetição. Tiago e Daniel não querem se separar e ficarão junto em todas as combinações.

Qual o número máximo de possibilidades de combinações, sem que Carlos e Daniel fiquem juntos?

Answer 45

1° passo: como Tiago e Daniel viram um só pessoa, praticamente, conta-se 6 pessoas. Como são 6 pessoas em uma permutação circular, se dá pela fatoração 5!

2° passo: como Tiago e Daniel podem permutar entre si, ou seja, Tiago pode estar à esquerda ou à direita e Daniel também, se dá pela fatoração 2!.

3° passo: 5! x 2! = 120 x 2 = 240

Resposta: 240

Question 46

QUESTÃO DE PROVA

Bruno, Carlos, Davi, Eduardo e Flávio são amigos e jantam em uma churrascaria. Na mesa circular em que se encontram, há 5 cadeiras idênticas, equidistantes duas a duas, e 5 espaços entre cada par de cadeiras para os garçons servirem carnes: acém; costela; fraldinha; linguiça; e maminha. A figura acima ilustra uma possível configuração da mesa, com os 5 amigos e as 5 carnes do rodízio. Sabe-se que as carnes preferidas de Bruno são costela e acém e Davi prefere fraldinha.

Qual o número possível de configurações da mesa, contando que os 5 amigos estejam sentados e as
5 carnes estejam entre cada par de cadeiras?

Answer 46

1) Como se trata de uma permutação circular, a disposição dos amigos na mesa se dará pela permutação Pc = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 24

2) Ao colocarmos as 5 carnes, a posição de todas elas importam, pois elas estarão entre amigos distintos. Portanto, temos a permutação simples de 5 elementos: 5! = 120

3) 120 x 24 = 2.880.

Question 47

Em um grupo de estudo de 3 alunos, Ana, Beto e Caio, quantas maneiras, podemos ordená-los, de acordo com as suas notas, sabendo que a nota da Ana foi maior do que a nota do Beto?

Answer 47

1) Primeiro, realizar a permutação dos três elementos: 3!

2) As permutações se darão por:
i) Ana, Beto, Caio
iv) Beto, Caio, Ana
ii) Ana, Caio, Beto
v) Caio, Ana, Beto
iii) Beto, Ana, Caio
vi) Caio, Beto, Ana
veja que cortamos as opções em que Beto ficará à frente de Ana

3) Dividir o resultado pelo número de vezes em que os elementos ordenados trocam de posição, ou seja, o número de vezes em que Ana e Beto trocam de posição = 2!

4) 3! ÷ 2! = 3

Esta fórmula é igual à da permutação com repetição!

Question 48

Na palavra ORDEM, qual número de anagramas que podem ser formados de modo que as letras ORD estejam sempre nesta ordem de sequência (primeiro O, depois R, depois D), assim como as letras EM?

Answer 48

1) Possibilidade de permutação da palavra ordem: 5!

2) ORD são 3 elementos seguindo uma ordem: 3!

3) EM são 2 elementos seguindo uma ordem: 2!

4) 5! ÷ 3! x 2! = 120 ÷ 12 = 10

Question 49

O que é uma permutação caótica ou desarranjo?

Answer 49

Quando os elementos estão originalmente ordenados de certa maneira e que nenhum deles pode retornar para a sua posição original.

Question 50

Qual a fórmula para calcular o número de possibilidades em uma permutação caótica (ou desarranjo) de n elementos?

Answer 50

Observe que os denominadores das frações são fatoriais de 0 até 𝒏 (total de elementos) e que os sinais das frações vão se alternando: quando o denominador é o fatorial de um número par, o sinal é positivo, quando o denominador é o fatorial de um número ímpar, o sinal é negativo. Considerando que 0! = 1 e que 1! = 1, os resultados da primeira e da segunda fração são: 1 ÷ 0! e 1 ÷ 1! = 1 - 1 = 0. Logo, contar a partir do 1÷2!

Question 51

Qual a principal diferença entre arranjo e permutação?

Answer 51

No arranjo a ordem importa, ao passo que na permutação a ordem não importa.

Question 52

PARA FIXAR

As técnicas de arranjo e combinação trabalham com a seleção de um subconjunto dos elementos.

Question 53

CERTO OU ERRADO

A ordem dos elementos selecionados será relevante para o arranjo, mas não para a combinação.

Answer 53

CERTO!

Question 54

Como se dá a fórmula do arranjo simples?

Answer 54

An,p = n! ÷ (n-p)!
n é o maior número do conjunto e p é o menor número do conjunto)
não é válido para arranjo com reposição

Question 55

Existe 6 pessoas em um sorteio, em que 3 delas serão sorteadas, não sendo possível sortear a mesma pessoa mais de uma vez.
Considerando a ordem relevante, de quantas formas 3 pessoas poderão ser sorteadas?

Answer 55

1° passo: como são 6 pessoas, se dá pela fatoração 6!
2° passo: como são 3 pessoas que serão sorteadas, se dá pela fatoração 3!
3° passo: 6/1 x 5/2 x 4/3 = 120/6 = 20

Resposta: 20 formas de 3 pessoas serem sorteadas

Resumindo: fórmula do arranjo An,p = n! ÷ (n-p)!

Question 56

Na bilheteria de um teatro há apenas 5 ingressos à venda para a seção de uma peça. Se 4 amigos comprarem ingressos para essa seção, qual o número total de posições distintas em que esses amigos poderão se acomodar no teatro?

Answer 56

Temos uma seleção de 4 lugares, dentre 5 disponíveis, com importância de ordem, pois cada lugar é distinto do outro. Assim, temos o arranjo de 4 elementos, dentre 5:
A(5,4) = 5! ÷ (5 − 4)!
A(5,4) = 5! x 1! = 120

Resposta: 120

Question 57

Utilizando-se os o conjuntos dos algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9, qual a quantidade de números múltiplos de 5 e que tenham três algarismos distintos, podem ser formados por esse conjunto?

Answer 57

Para que o número formado pelos 6 algarismos indicados no enunciado seja múltiplo de 5, é necessário que o algarismo 5 seja o último algarismo. Assim, os diferentes números que podem ser formados com 3 algarismos correspondem a um arranjo de 2 elementos, dentre 5:

A5,2 = 5! ÷ (5 − 2)!
A5,2 = 5! ÷ 3!
A5,2 = 120 ÷ 6 = 20

Resposta: 20

Question 58

CERTO OU ERRADO:

Em relação à análise combinatória e à formação de números utilizando o conjunto A = {1,2,3,4,5), julgue o item a seguir.

Podem ser formados 125 números naturais de 3 algarismos.

Answer 58

CERTO!

Como ele não fala que não pode repetir, temos cinco possibilidades de número na centena, cinco possibilidades de número na dezena e cinco possibilidades de número na unidade.

5 x 5 x 5 = 125.

Question 59

PARA FIXAR

No arranjo, nem sempre a importância da ordem da seleção será fácil de visualizar. Vamos supor que, dentre um grupo de 10 funcionários de uma empresa, tivermos que selecionar 1 supervisor, 1 coordenador e 1 técnico. Nesse caso, selecionar um funcionário como supervisor é diferente de selecionar esse mesmo funcionário como coordenador ou como técnico.
Imagine que a seleção desses cargos ocorre em uma sequência, por exemplo, primeiro supervisor, depois coordenador e depois técnico. Assim, há diferença entre ser chamado primeiro, segundo ou terceiro. Logo, a ordem da seleção é, de fato, importante, motivo pelo temos um arranjo.

Question 60

Qual a fórmula do arranjo com reposição (ou repetição) de k elementos dentre n elementos no total?

Answer 60

Aₙ,ₖ = nᵏ

Question 61

No que consiste uma combinação simples?

Answer 61

Uma seleção de elementos de um conjunto finito de elementos.

Question 62

Na combinação simples, a ordem é importante?

Answer 62

NÃO!

Question 63

Qual a fórmula da combinação simples?

Answer 63

Question 64

Num grupo de 10 pessoas, uma entidade quer criar uma comissão formada por 3 pessoas.
Quantas possibilidades existem para formar essa comissão com 3 pessoas?

Fazer pela fórmula.

Answer 64

Trata-se de uma combinação simples.

C(10,3) = 10! ÷ (3! x 7!)
C(10,3) = 10 x 9 x 8 x 7! ÷ 3! x 7! (corta o 7! com o 7!)
C(10,3) = 10 x 9 x 8 ÷ 3 x 2 x 1
C(10,3) = 720 ÷ 6
C(10,3) = 120

Resposta: 120 comissões

Question 65

Num grupo de 10 pessoas, uma entidade quer criar uma comissão formada por 3 pessoas.
Quantas possibilidades existem para formar essa comissão com 3 pessoas?

Fazer pelo macete.

Answer 65

1° passo: 10 é o maior número e 3 é o menor número
2° passo: na parte de cima, coloca a quantidade de números do menor (3). ex: 10 x 9 x 8
3° passo: dividir pela fatoração do menor número: 3 x 2 x 1
4° passo: a conta ficará:
10 x 9 x 8 ÷ 3 x 2 x 1 = 120

Resposta: 120

Fazer desse jeito economiza muito tempo. Pode ter ficado confuso, mas qualquer coisa voltar pro vídeo 7 da aula 6.

Question 66

CERTO OU ERRADO:

Um entidade deseja formar grupos de comissões formado por 5 pessoas com 20 funcionários.
O total de possibilidades de comissões é formado pela expressão da imagem.

Answer 66

CERTO!
C(n,p) = n! ÷ p! x (n-p)!

Question 67

CERTO OU ERRADO:

Sabendo que uma repartição possui 30 servidores, 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.

A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 são do sexo feminino é inferior a 4.000.

Answer 67

ERRADO!
1° passo: são 10 mulheres na repartição mas ele quer selecionar apenas 4. Se dá pela fórmula da combinação C(10,4) = 10! ÷ 4! x 6! = 210

2° passo: já que são 10 mulheres na repartição, define-se que são 20 homens. Como ele quer selecionar apenas um entre os 20 homens, se dá pela fórmula de combinação C(20,1) = 20 (isso porque toda combinação de um número sobre 1, vai dar o número de cima, que é 20)

3° passo: multiplicar as duas contas: 210 x 20 = 4200

Resposta certa: 4200

Question 68

MACETE PARA COMBINAÇÃO SIMPLES

QUANDO FOR “E” É PARA MULTIPLICAR
por ex: escolher 4 mulheres e 1 homem

QUANDO FOR “OU” É PARA SOMAR
escolher 4 mulheres ou 3 homens

Question 69

CERTO OU ERRADO:

A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.

Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.

Answer 69

ERRADO!

Entender a questão: não é pra escolher 6 das 17 cidades. É para escolher 6 cidades das 11 restantes (17 menos as 6 do MS que fazem fronteira com o Paraguai)

Combinação simples de (11,6):
11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 ÷ 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

RESPOSTA: 462

Question 70

A combinação C(11,6) e C(11,5) dá exatamente o resultado 462.

Por que isso acontece?

Answer 70

É uma propriedade da combinação em Estatística:

Se a + b = n, então C(n,a) = C(n,b)
ex: C(20,18) e (C20,2) darão o mesmo resultado porque 18 + 2 = 20.

Question 71

CERTO OU ERRADO:

O resultado de C(29,18) e C(29,11) darão exatamente o mesmo resultado.

Answer 71

CERTO!
Se a + b = n, então C(n,a) = C(n,b)

Question 72

A Amarone, em pleno crescimento, deseja contratar 18 novos funcionários para a fábrica. 35 pessoas se candidataram para a vaga mas apenas 20 estavam aptos e com as qualificações necessárias para ingressar na vaga.

Quantas maneiras diferentes podem ser formado o quadro de novos funcionários da Amarone?

Answer 72

Combinação de C(20,18) = 20 candidatos aptos e 18 vagas.

Para não precisar realizar a fatoração de 20 e 18, é recomendado que se ache o complemento. O complemento de 18 para virar 20 é 2.

Então o resultado de C(20,18) e C(20,2) será o mesmo.

20 x 19 ÷ 2 x 1 = 190

Resposta: 190 maneiras

Question 73

CERTO OU ERRADO:

Uma operação policial será realizada com uma equipe de seis agentes, que têm prenomes distintos, entre eles André, Bruno e Caio. Um agente será o coordenador da operação e outro, o assistente deste; ambos ficarão na base móvel de operações nas proximidades do local de realização da operação. Nessa operação, um agente se infiltrará, disfarçado, entre os suspeitos, em reunião por estes marcada em uma casa noturna, e outros três agentes, também disfarçados, entrarão na casa noturna para prestar apoio ao infiltrado, caso seja necessário.
A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

A quantidade de maneiras distintas de formar a equipe, de modo que André, Bruno e Caio sejam os agentes que ocuparão, respectivamente, as vagas de coordenador, assistente e infiltrado, é superior a 5.

Answer 73

ERRADO!

Há uma pegadinha nessa questão. No momento que diz “respectivamente”, ele quer dizer que André tem que ser coordenador, Bruno assistente e Caio o infiltrado.

Então só tem UMA maneira de se conseguir isso, não há permutação. Só tem UMA maneira de André ser o coordenador, UMA maneira de Bruno ser o assistente e UMA maneira de Caio ser o infiltrado.

Question 74

CERTO OU ERRADO:

Uma operação policial será realizada com uma equipe de seis agentes, que têm prenomes distintos, entre eles André, Bruno e Caio. Um agente será o coordenador da operação e outro, o assistente deste; ambos ficarão na base móvel de operações nas proximidades do local de realização da operação. Nessa operação, um agente se infiltrará, disfarçado, entre os suspeitos, em reunião por estes marcada em uma casa noturna, e outros três agentes, também disfarçados, entrarão na casa noturna para prestar apoio ao infiltrado, caso seja necessário.
A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

A quantidade de maneiras distintas de formar a equipe, de modo que André, Bruno e Caio sejam os agentes que prestarão apoio ao infiltrado, é inferior a 10.

Answer 74

CERTO!

Ou seja, só há uma maneira de André, Bruno e Caio serem os três infiltrados, a questão não pede a permutação entre eles.
Fora isso, as outras 3 pessoas podem permutar na outras três posições, se dando por 3!
3! = 3 x 2 x 1 = 6

RESPOSTA: 6 maneiras distintas

Question 75

CERTO OU ERRADO:

Uma operação policial será realizada com uma equipe de seis agentes, que têm prenomes distintos, entre eles André, Bruno e Caio. Um agente será o coordenador da operação e outro, o assistente deste; ambos ficarão na base móvel de operações nas proximidades do local de realização da operação. Nessa operação, um agente se infiltrará, disfarçado, entre os suspeitos, em reunião por estes marcada em uma casa noturna, e outros três agentes, também disfarçados, entrarão na casa noturna para prestar apoio ao infiltrado, caso seja necessário.
A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

Há mais de 100 maneiras distintas de estruturar, com os seis agentes, a equipe que realizará a operação policial.

Answer 75

CERTO!

Há 6 agentes para 4 vagas (agente e três agentes).

Como são quatro vagas para 6 agentes, então na primeira vaga há 6 possibilidades, na segunda 5, na terceira 4 e na quarta vaga restarão 3 vagas para 3 agentes (ou seja, a combinação dá 1)
6 x 5 x 4 x 1 = 120

Resposta: 120 possibilidades

Question 76

Os funcionários de uma repartição foram distribuídos em sete grupos de trabalhos, de modo que cada funcionário participa de exatamente dois grupos, e cada dois grupos têm exatamente um funcionário em comum.

Nessa situação, o número de funcionários da repartição é igual a:

Answer 76

Resumindo, dois funcionários não pode fazer parte dos mesmos dois grupos.

São sete grupos e a cada dois grupos terá um funcionário, então se dá pela combinação C(7,2).

7 x 6 ÷ 2 x 1 = 7 x 3 = 21

Resposta: 21 funcionários

Question 77

Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados em uma tabela.
Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens subseqüentes.

Se o Banco do Brasil decidir oferecer os fundos de investimento Estilo em 4 pacotes, de modo que cada pacote contemple 3 fundos diferentes, então a quantidade de maneiras distintas para se montar esses pacotes será superior a 350 mil.

Answer 77

CERTO!

1) No primeiro pacote, terá 3 fundos de num total de 12 possibilidades. Então se dará pela combinação C(12,3) = 220

2) No segundo pacote, terá 3 fundos num total de 9 possibilidades, pois três já foram utilizados no primeiro pacote. Então se dará pela combinação C(9,3) = 84

3) No terceiro pacote, terá 3 fundos num total de 6 possibilidades, pois os outros seis já foram utilizados nos dois primeiros pacotes. Então se dará pela combinação C(6,3) = 20

4) Multiplicar as possibilidades de maneiras:
220 x 84 x 20 = 369.600

Question 78

Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados em uma tabela.
Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens subseqüentes.

Considere que, entre os fundos de investimento Estilo, haja 3 fundos classificados como de renda fixa, 5 fundos classificados como de multimercado, 3 fundos de ações e 1 fundo referenciado. Considere, ainda, que, no portal do Banco do Brasil, esses fundos sejam exibidos em uma coluna, de modo que os fundos de mesma classificação aparecem juntos em seqüência. Sendo assim, a quantidade de maneiras diferentes que essa coluna pode ser formada é inferior a 4.500.

Answer 78

CERTO!

1) Como são três fundos de renda fixa e esses três fundos aparecem juntos e podem permutar entre si, se dará pela fatoração 3! = 6

2) Como são cinco fundos de multimercados e esses cinco fundos aparecem juntos e podem permutar entre si, se dará pela fatoração 5! = 120

3) Como são três fundos de ações e esses três fundos aparecem juntos e podem permutar entre si, se dará pela fatoração 3! = 6

4) Como o fundo referenciado é só ele e não há permutação, se dará pelo valor 1.

5) Como são 4 grupos (renda fixa, multimercado, ações e referenciado) e eles podem permutar na coluna, se dará pela fatoração 4! = 24

6) Multiplicar as possibilidades:
6 x 120 x 6 x 1 x 24 = 103.680
o examinador queria que o concurseiro encerrasse a conta esquecendo da permutação na coluna, que daria 4.320

Question 79

Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados em uma tabela.
Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens subseqüentes.

Considere que os 12 fundos Estilo mencionados sejam assim distribuídos: 1 fundo referenciado, que é representado pela letra A; 3 fundos de renda fixa indistinguíveis, cada um representado pela letra B; 5 fundos multimercado indistinguíveis, cada um representado pela letra C; e 3 fundos de ações indistinguíveis, cada um representado pela letra D. Dessa forma, o número de escolhas distintas que o banco dispõe para listar em coluna esses 12 fundos, utilizando-se apenas suas letras de representação — A, B, C e D —, é inferior a 120 mil.

Answer 79

1) Como são 12 fundos e 12 possibilidade distintas de permutação, se dará pela fatoração 12!

2) O fundo A possui apenas UMA possibilidade, então tem o valor 1. O fundo B tem três fundos, então 3 possibilidade que se dará pela fatoração 3!. O fundo C tem cinco fundos, então 5 possibilidades que se dará pela fatoração 5!. O fundo D tem três fundos, então se dará pela fatoração 3!.

3) 12! ÷ 3! x 5! x 3! = 110.880

Question 80

De quantas formas é possível selecionar 5 jogadores dentre 5 jogadores?

Answer 80

Uma, lógico.

Seria a combinação C(5,5) = 5! ÷ 5! = 1

Question 81

De quantas formas é possível selecionar 0 jogador dentre 5?

Answer 81

Uma
selecionando

Question 82

Considerando 5 jogadores (A, B, C, D, E), quantas são as possibilidades de selecionar 1 jogador?

Answer 82

Cinco, claro.

Question 83

Considerando os 5 jogadores (A, B, C, D, E), quantas são as possibilidades de selecionar 4 jogadores?

Answer 83

Cinco.
Podemos selecionar todos exceto A; ou todos exceto B; ou todos exceto C; ou todos exceto D; ou todos exceto E.

Question 84

PARA FIXAR

Os problemas de combinação completa (ou combinação com repetição) envolvem um conjunto de n tipos de elementos diferentes, dos quais serão escolhidos k elementos iguais ou diferentes. Uma boa forma de pensar a combinação completa é imaginar que será selecionado um número k de objetos, iguais ou diferentes, dentre n tipos diferentes.,
Por ex: escolher k = 4 potes de sorvete havendo um total de n = 7 marcas distintas (os potes podem ser de uma mesma marca ou de marcas distintas).

Observe que essa situação é diferente da escolha de 4 potes de sorvete dentre 7 potes, o que seria a combinação simples de 4 elementos, dentre 7 (C7,4 = 210). Essa também seria a combinação para escolher 7 marcas dentre 4 marcas. nesse caso temos que escolher 4 potes de 7 marcas. O número de possibilidades é muito maior do que a combinação simples de 4 dentre 7 elementos.

A combinação completa de 4 objetos de 7 marcas, indicada por CR(7,4), é igual à permutação de 7 elementos, com repetição de 3 e 4 elementos:

CR(p,n) = (n - 1 + p)! ÷ (n-1)! x p!

CR(7,4) = (4 - 1 + 7)! ÷ (4 - 1)! x 7!
CR(7,4) = 10! ÷ 3! x 7!
CR(7,4) = 120

Question 85

PARA FIXAR

A combinação completa (com repetição) de 𝒑 objetos de 𝒏 tipos equivale à combinação simples de 𝒑 elementos, dentre 𝒏 − 𝟏 + 𝒑 elementos disponíveis:

Question 86

MACETE DE COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO

Ex: de quantos modos é possível comprar 5 sorvetes de uma loja que vende 9 sabores?

A + B + C + D + E + F + G + H + I = 5
Perceba que a soma de 9 elementos tem que dar o total de 5 sorvetes e dentro deles 9 elementos alguns podem ter o valor 0 e ou um ter o valor 5, por exemplo.
Nesse caso, o macete é contar a quantidade de sinais de “+” que existem e somar com o 5.
A + B + C + D + E + F + G + H + I = 5
Ou seja 8 + 5 = 13

Então essa combinação com repetição se dará pela combinação simples de C(13,5), onde 5 continua sendo o resultado que vai pro valor de baixo da combinação.