suite 1.2 Flashcards
suite réelle
toute application de N dans R
Un
terme général de la suite u
(Un) strictement croissante si:
Un+1 > Un
(Un) strictement decroissante si:
Un+1 < Un
(Un) est strictement monotone si
(Un) strictement croissante ou decroissante
3 méthodes pour étudier la monotonie d’une suite
étudier le signe de Un+1 - Un
Si ∀n∈N, Un >0, comparer le quotient Un+1/Un avec 1
Si (Un) est définie de façon explicite donc si on connait Un=f(Un) on peut étudier le sens de variation
(Un) est stationnaire si
si elle est constante à partir d’un certain rang
(Un) est périodique de période k si
si ∀n∈N Un+k = Un
(Un) est périodique si
si elle est périodique de période k pour un certain k∈N*
(Un)n∈N est majorée si
∃M∈R, ∀n∈N, Un<= M
(Un)n∈N est minorée si
∃m∈R, ∀n∈N, Un>=m
(Un)n∈N est bornée si
si elle est à la fois majorée et minorée autrement dit si: ∃𝛂∈R+*, ∀n∈N, ⎢Un⎟<=𝛂
m∈R est un minorant de E si
∀𝒙∈E, m<=𝒙
M∈R est un majorant de E si
∀𝒙∈E, M>=𝒙
m∈R est la borne inférieur de E si
m est le plus grand des minorants de E
on note m=inf E
M∈R est la borne supérieur de E si
M est le plus grand des majorants de E
on note m=sup E
u tend vers un réel 𝓁 et on note u→𝓁 si
∀𝞮>0, ∃n₀ ∈N tel que ∀n >n₀ ⎟Un-𝓁⎟<𝞮
u tend vers +∞ et on note u→+∞ si
∀A∈R, ∃n₀ ∈N tel que ∀n >n₀ Un>= A
u tend vers -∞ et on note u→-∞ si
∀A∈R, ∃n₀ ∈N tel que ∀n >n₀ Un<= A
unicité de la limite
si une suite admet une limite finie alors cette limite est unique
une suite est convergente si
elle admet une limite finie
une suite est divergente si
2 cas:
- tend vers +∞ou - ∞
- n’a pas de limite
théorème de la limite monotone
toute suite croissante et majorée converge
toute suite croissante et minore converge
théorème de comparaison
∃n₀ ∈N, ∀n >n₀ Un<= Vn alors:
- si u →+∞, alors v→＋∞
- si v→-∞, alors u→-∞
théorème des gendarmes
soit u,v,w trois suites réelles telles que:
∃n₀ ∈N, ∀n >n₀ Un<= Vn <= Wn et 𝓁∈R
si u→𝓁 et w→𝓁 alors v→𝓁
toute suite convergente est
bornée
toute suite croissante et non majorée…
diverge vers ＋∞
toute suite decroissante et non minorée…
diverge vers -∞
on dit que deux suite u et v sont adjacentes si
l’une est croissante
l’autre est décroissante
leur différence tend vers 0 càd (Un-Vn→0)
si deux suite u et v sont adjacentes alors
elles CV et ont la même limite
4 croissance comparé qd n→＋∞
lim (ln n)^β / n^𝛂 = 0
lim n^𝛂 / a^n =0
lim a^n / n! =0
lim n!/n^n =0
definition equivalence
soit (Un)n∈N et (Vn)n∈N deux suites qui ne s’annule pas à partir d’un certain rang on dit que la suite (Un)n∈N est équivalent à la suite (Vn)n∈N si lim(n→＋∞) Un/Vn =1
