Predavanje 9 Flashcards
Svojstveni polinom matrice A
Neka je A€Mn(F). Polinom k(indeks A) = det(A-labdaI) naziva se svojstveni polinom matrice A.
Slicne matrice imaju jednake _____________.
svojstvene polinome
Svojstveni polinom za linearne operatore A:V—>V kad god je V konačnodimenzionalan vektorski prostor.
Svaki matrični zapis operatora A dovodi do istog svojstvenog polinoma. (Jer je j svakog drugoj bazi matrični zapis tog istog operatora neka matrica slična matrici [A]gore e dolje e.
Zato je definicija koja slijedi dobra, tj neovisna o izboru baze.
Neka je V konačnodimenzionalan prostor, neka je A€L(V) te neka je [A]gore e dolje e matrični zapis operatora A j nekoj bazi e prostora V. Svojstveni polinom operatora A, k(indeks A), definira se kao svojstveni polinom matrice [A]gore e dolje e:
k(indeks A)(lambda)=k(indeks [A]gore e dolje e)(lambda).
Skalar lambda0 je svojstvena vrijednost operatora A ako i samo ako vrijedi
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te neka je A€L(V). Skalar lambda0€F je svojstvena vrijednost operatora A ako i samo ako rijesi k(indeks A)(lambda0)=0.
Napomena
Jedna od pretpostavki prethodnog teorema je lambda0€F.
To konkretno znaci da su u realnim prostorima svojstvene vrijednosti samo realne nultočke svojstvenog polinoma.
Primjer je operator rotacije R fi
Ovo je neposredna posljedica prethodnog teorema jer polinom n-tog stupnja ima najviše n nultočaka.
Ako je dimV=n i A€L(V) onda A ima najvise n svojstvenih vrijednosti.
Sve do sada zbor polja u našim razmatranjima nije igrao nikakvu ulogu. Prethodni teorem predstavlja mjesto na kojem se teorija počinje dijeliti na realnu i kompleksnu.
Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno (što znači da svaki polinom s kompleksnim koeficijentima ima nultočku u polju C), i zato svaki operator na konačnodimenzionalnom kompleksnom prostoru ima svojstvenu vrijednost.
Nasuprot tomu, polje R nije algebarski zatvoreno, tj. ima polinoma s realnim koeficijentima bez realnih nultocaka.
Posljedično, operatori na realnim prostorima ne moraju imati svojstvenih vrijednosti.
Operator rotacije je primjer jednog takvog operatora.
Algebarska kratnost svojstvene vrijednosti lambda0
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A€L(V) i lambda0€sigma(A). Neka je
k(indeks A)(lambda)=(lambda-lambda0)^l•p(lambda), p(lambda0)razl. od 0, l€N. Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti lambda0 i označavamo ga s l(lambda0).
Teorem o algebarskoj i geometrijskoj kratnosti
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor, te neka je A€L(V) i lambda0€sigma(A). Tada je d(lambda0)<=l(lambda0).
Grubo govoreći, ova napomena pokazuje da je nepovoljno kad su svojstveni potprostori premali. Dobra je okolnost, međutim, da su svojstveni vektori pridruženi RAZLIČITIM svojstvenim vrijednostima nezavisni.
Vec znamo da za proizvoljan linearan operator općenito nije moguce naci bazu u kojoj bi njegova matrica bila dijagonalna.
Osnovna smetnja je nedostatak svojstvenih vrijednosti (jer smo vidjeli da su dijagonalni koeficijenti u dijagonalno matrično zapisu zapravo svojstvene vrijednosti operatora).
Mogućnost nalaženja baze u kojoj bi dani operator imao dijagonalan matrični zapis jos uvijek je, međutim, otvorena za operatore na kompleksnim prostorima, kao i za one operatore na realnim prostorima čiji svojstveni polinomi imaju isključivo realne nultočke.
Prethodni teorem pokazuje jos jednu moguću zapreku za egzistenciju dijagonalnoga matričnog zapisa danog operatora.
Ukoliko je za neku svojstvenu vrijednost lambda0 njezina geometrijska kratnost d(lambda0) strogo manja od algebarske kratnosti l(lambda0), onda je evidentno nemoguce naći bazu u kojoj bi taj operator imao dijagonalnu matricu.
Naime, ako je matrični prikaz operatora dijagonalna matrica , na dijagonali te matrice lambda0 se mora pojaviti točno l(lambda0) puta, a to zahtjeva točno l(lambda0) nezavisnih svojstvenih vektora pridruženih svojstvenoj vrijednosti lambda0.
To pokazuje da je nužan uvjet dijagonalizacije operatora A jednakost algebarskih i geometrijskih multiplictiteta svih njegovih svojstvenih vrijednosti: d(lambda)=l(lambda), ¥lambda€sigma(A)
Tada je skup {x1,…,xk} linearno nezavisan.
x1,…,xk su svojstveni vektori
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor, neka je A€L(V), neka su lambda1,…,lambdak međusobno različite svojstvene vrijednosti operatora A te neka su x1,…,xk svojstveni vektori pridruženi, redom, svojstvenim vrijednostima lambda1,…,lambdak. Tada je skup {x1,…,xk} linearno nezavisan.
Tada je unija U i ide od 1 do k od ei linearno nezavisan skup u V.
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor, neka je A€L(V), te neka je ei={e1i,e2i,…,edi i} baza za svojstveni potprostor V(indeks A)(lambdai),
i=1,…,k. Tada je unija U kada i ide od 1 do k e i linearno nezavisan skup u V.
Operator A se moze dijagonalizirati ako i samo ako
Neka je V kompleksan konačnodimenzionalan vektorski prostor, neka je A€L(V) te neka je sigma(A)={lambda1,…,lambdak}. Operator A se može dijagonalizirati (tj. postoji baza od V u kojoj je matrični prikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo ako su geometrijska i algebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti od A jednake.
Napomena
Tako se onda govori o spektru matrice ili o dijagonalizaciji kvadratne matrice.
Sva prethodna razmatranja i spektru, svojstvenim vrijednostima, svojstvenim potprostorima, dijagonalizaciji … proveli smo za lienarne operatore na konačnodimenzionalnim prostorima. Često se, međutim, govori o istim pojmovima vezanim za neku matricu bez referiranja na neki određeni operator.
Za kraj ovih razmatranja preostalo je rasvijetliti ulogu kompleksnih nultocaka svojstvenog polinoma operatora na realnom prostoru. Za to trebamo uvesti još jedan pojam. Invarijantan potprostor.
Neka je V vektorski prostor i A€L(V). Kaže se da je potprostor M<=V invarijantan za A ako vrijedi A(M) podskup od M, tj. Ax€M, ¥x€M.
