Predavanje 2

Question 1

Linearna ljuska skupa S

Answer 1

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S podskup od V, S razl od praznog skupa. Linearna ljuska skupa S označava se simbolom [S] i definira kao
{Suma kada i ide od 1 do k: alfa-i€F, a-i€S, k€N}
Dodatno, definira se [prazan skup]={0}.
Linearna ljuska nepraznog skupa S je skup svih mogućih linearnih kombinacija elemenata skupa S.

Question 2

Sustav izvodnica za V

Answer 2

Neka je V vektorski prostor i S podskup od V. Kaže se da je S sustav izvodnica za V (ili da S generira V) ako vrijedi [S]=V.

Skup S je sustav izvodnica za V ako se svaki vektor iz V nalazi u [S], tj. Ako se svaki vektor iz V moze prikazati kao linearna kombinacija elemenata skupa S.

Question 3

Tada je i S{x} sustav izvodnica za V.

Answer 3

Neka je S sustav izvodnica za vektorski prostor V te neka u S postoji vektor x koji se može prikazati kao linearna kombinacija (nekih drugih) elemenata iz S. Tada je i S{x} sustav izvodnica za V.

Question 4

Baza za V

Answer 4

Konačan skup B={b1,b2,…,bn}, n€N, u vektorskom prostoru V se naziva baza za V ako je B linearno nezavisan sustav izvodnica za V.

Question 5

v = suma kada i ide od 1 do n (alfa-i b-i)

Answer 5

Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka je B={b1,b2,…,bn} baza za V. Tada za svaki vektor v iz V postoje jedinstveno određeni skalari alfa1,..,alfa-n€F takvi da vrijedi v=suma kada i ide od 1 do n alfa-i b-i

Smisao je u tome da svaki vektor danog prostora mozemo na jedinstven način predočiti kao linearnu kombinaciju vektora baze.

Question 6

V konačnodimenzionalan

Answer 6

Kaže se da je vektorski prostor V konačnodimenzionalan ili konačnogeneriran ako postoji neki konačan sustav izvodnica za V.

Question 7

Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.

Answer 7

Neka je S={a1,a2,..,am}, m€N, sustav izvodnica za vektorski prostor V razl. od {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.

Question 8

Svaki ________ vektorski prostor V razl od {0} ima _____.

Answer 8

Svaki konačnodimenzionalan vektorski prostor V razl od {0} ima bazu.

Question 9

Tada je k<=n.

Answer 9

Neka je B={b1,b2,…,bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V, te neka je A={a1,a2,…,ak}podskup od V linearno nezavisan. Tada je k<=n.

Question 10

Neka je V razl od {0} konačnodimenzionalan vektorski prostor. Sve baze prostora V su _________.

Answer 10

Neka je V razl od {0} konačnodimenzionalan vektorski prostor. Sve baze prostora V su jednakobrojne.

Question 11

Dimenzija prostora V

Answer 11

Neka je V razl od {0} konačnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzija prostora V se definira kao broj elemenata bilo koje njegove baze. Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.

Question 12

Tada se A može nadopuniti do baze.

Answer 12

Neka je A={a1,a2,…,ak}, k€N, linearno nezavisan skup u konačnodimenzionalnom prostoru V. Tada se A može nadopuniti do baze.

Question 13

Postupak proširenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nije ________.

Answer 13

Postupak proširenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nije jedinstven.