Predavanje 3

Question 1

Neka je V vektorski prostor, te neka je dimV=n < beskonačnost.
i)
ii)

Answer 1

i) Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Svaki linearno nezavisan skup u V koji ima točno n elemenata je baza za V.
ii) Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svaki sustav izvodnica za V koji ima točno n elemenata je baza za V.

Question 2

Svaki linearno nezavisan skup u prostoru dimenzije n ima najvise ____________.

Answer 2

Svaki linearno nezavisan skup u prostoru dimenzije n ima najvise n elemenata.

Question 3

Potprostor od V

Answer 3

Neka je V vektorski prostor nad F i M podskup od V, M razl od praznog skupa. Ako je i (M, +. •) vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V, kažemo da je M potprostor od V.

Question 4

Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazan podskup od V. Tada je M potprostor od V ako i samo ako vrijedi:
i)
ii)

Answer 4

i) a + b € M, ¥ a,b€M
ii) alfa•a € M, ¥alfa€F, ¥a € M

Često se tvrdnja prethodne propozicije izriče tako da se kaže kako je neprazan podskup M prostora V potprostor od V ako i samo ako je M zatvoren na zbrajanje i množenje skalarima.

Question 5

Ovaj korolar jamči da je M potprostor ako i samo ako je zatvoren ja sve dvočlane linearne kombinacije vlastitih vektora.

Answer 5

Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazan podskup od V. Tada je M potprostor od V ako i samo ako vrijedi:

Alfa•a * Beta•b € M, ¥ alfa,beta€F ¥ a,b €M

Question 6

Ako je M potprostor od V onda je zatvoren na sve (konačne) linearne kombinacije vektora iz M.

Answer 6

Ako je M <= V, onda za alfa1,alfa2,…,alfa-n€M i n€N vrijedi : suma kada i ide od i do n alfa-i•a-i € M

Question 7

Primjer 2.3.7 Neka je V vektorski prostor nad F i S podskup od V. Tada je ____________.

Answer 7

Tada je [S] potprostor od V.

Question 8

Neka je V vektorski prostor takav da je dimV=n

Answer 8

Tada je dimM<=n. Ako je M potprostor od V takav da je dimM=n, onda je M=V.

Question 9

Neka je V vektorski prostor te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je

Answer 9

Tada je i L(presjek)M potprostor od V.

Question 10

Ako je Mi, i€I, familija potprostora vektorksog prostora V(pri cemu je indeksni skup I proizvoljno velik, moguce i beskonačan) onda je i presjek i€I(Mi) također potprostor od V.

Answer 10

Tvrdimo da je [S] presjek svih potprostora od V koji sadrže skup S (te je zato [S] zapravo najmanji potprostor od V koji sadrži S)

Question 11

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Suma potprostora……

Answer 11

Suma potprostora L i M označava se s L + M i definira kao L + M := [LUM].

Question 12

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je L + M…..

Answer 12

Tada je L + M = {x+y: x€L, y€M}.

Općenito, prikaz vektora v€L+M u obliku v=x+y, x€L, y€M, nije jedinstven.

Question 13

Prikaz vektora v€L+M u obliku v=x+y, x€L, y€M

Answer 13

nije jedinstven!

Question 14

Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi prostori. Kažemo da je suma potprostora L i M direktna i tada je označavamo s _____ ako je _______.

Answer 14

L(+^•)M ako je L presjek M = {0}.

Question 15

Neka su L i M potprostori vektorskog prostora V. Suma L+M je direktna ako i samo ako svaki vektor v€ L+M

Answer 15

dopušta jedinstveni prikaz u obliku v=a+b, a€L, b€M.