Predavanje 8

Question 1

Neka su e={e1,…,en} i f={f1,…,fm} baze vektorskih prostora V i W, neka je x€V i A€L(V,W).

Answer 1

Tada je [Ax]^f=([A]gore f dolje e)• [x]^e.

Question 2

Propozicija koja pokazuje da je pridruživanje matričnog zapisa linearnim operatorima također usklađeno s komponiranjem operatora na jednoj, i matričnim množenjem na drugoj strani.

Answer 2

Neka su e={e1,…,en}, f={f1,…,fm} i g={g1,…,gl}, redom, baze vektorskih prostora V,W i X, neka je A€L(V,W) i B€L(W,X). Tada za operator BA€L(V,X) vrijedi BA= B•A.

Question 3

Matrično množenje je, zapravo, i definirano tako kako jest upravo zato da bismo imali pravila računanja kakva su iskazana u prethodnim dvjema propozicijama.

Answer 3

🤔🤔

Question 4

Za zadani operator A koji djeluje na konačnodimenzionalnom prostoru definiran je pojam ranga. S druge strane, možemo promatrati i rang njegovog matričnog zapisa. Sljedeća propozicija tvrdi da se ta dva broja podudaraju, što je još jedna činjenica koja pokazuje da matrični zapis sadrži sve bitne informacije o operatoru.

Answer 4

Neka su e={e1,…,en} i f={f1,…,fm} baze vektorskih prostora V i W, te neka je A€L(V,W). Tada je r(A)=r([A]gore f dolje e).

Question 5

Izomorfizam algebri

Answer 5

Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e={e1,…,en} baza za V.

Tada je fi: L(V)—>Mn(F), fi(A): A izomorfizam algebri.

Question 6

Idući korolar predstavlja vrlo korisnu tvrdnju o operatorima koji djeluju na jednom prostoru.

Answer 6

Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e={e1,…,en} baza za V.

Operator A€L(V) je regularan ako i samo ako je A regularna matrica.

Time je zaokružen niz najvažnijih činjenica i matričnim zapisima vektora i operatora.

Što ako mijenjamo baze?🤔

Question 7

Mijenjanje baza

Answer 7

Neka je A€L(V,W) i neka su e={e1,…,en}, e’={e1’,…,en’} te f={f1,…,.fm}, f’={f1’,…,.fm’} po dvije baze prostora V, odnosno W.
Neka su operatori T€L(W) i S€L(V) definirani na bazama f, odnosno e, s Tfi=fi’, i=1,…,m i Sej=ej’, j=1,…,n.
Tada je [A]gore f’ dolje e’=
([T]gore f dolje f)^-1[A]gore f dolje e[S]gore e dolje e.

Question 8

Matrica prijelaza

Answer 8

Matrica [S] gore e dolje e=[I]gore e dolje e’.

Question 9

Veza između [A] gore e dolje e i [A] gore e’ dolje e’.

Answer 9

Neka je A€L(V), neka su e={e1,…,en} i e’={e1’,…,en’} dvije baze za V te neka je
[S] gore e dolje e= [I]gore e dolje e’ matrica prijelaza iz baze e u bazu e’. Tada je
[A]gore e’ dolje e’=([S]gore e dolje e)^-1•[A]gore e dolje e •[S] gore e dolje e.

Question 10

Sada možemo izračunati i inverz matrice prijelaza.

Answer 10

Neka su e={e1,…,en} i e’={e1’,…,en’} dvije baze za V, neka je [S] gore e dolje e= [I] gore e dolje e’ matrica prijelaza iz baze e u bazu e’. Tada je ([S]gore e dolje e)^-1=([I]gore e dolje e’)^-1 matrica prijelaza iz baze e’ u bazu e.

Question 11

Posljednji u nizu je korolar koji daje relaciju između matričnih prikaza vektora u dvjema različitim bazama.

Answer 11

Neka su e={e1,…,.en} i e’={e1’,…,en’} dvije baze za V, neka je [S] gore e dolje = [I] gore e dolje e’ matrica prijelaza iz baze e u bazu e’. Tada za svaki vektor x iz V vrijedi
[x] gore e’=([S]gore e dolje e)^-1[x]gore e.

Question 12

Slične matrice

Answer 12

Neka su A,B€Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici A ako postoji regularna matrica
S€GL(n, F) takva da je B=S^-1•A•S.

Question 13

Zanimljivo

Answer 13

Sličnost je relacija ekvivalencije na skupu Mn(F).
Sličnost je ocito specijalan slucaj ekvivalentnosti pa zato slične matrice imaju jednake rangove. Osim toga, slične matrice imaju jednake determinante i jednake rangove.

Question 14

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A€L(V). Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su ______________.

Answer 14

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A€L(V). Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su SLICNE MATRICE.

Question 15

Često se nameće potreba za obratnim postupkom:
Za danu matricu A trebamo naći lienaran operator čiji će matrični zapis u nekom paru baza (ili u nekoj bazi, ako je matrica kvadratna) biti upravo A. Evo kako to možemo učiniti.

Answer 15

Neka je zadana matrica
A = [alfa ij] € Mmn(F). Uzmimo dva vektorska prostora V i W nad F tako da je dimV=n i dimW=m, zatim neke baze e={e1,…,en} u V i f={f1,…,fm} u W te uz pomoć propozicije 5.1.5.(zadavanje na bazi i proširenje po linearnosti) definirajmo A gore ~€L(V,W) formulom A gore ~ ej=suma kada i ide od 1 do m alfa ij fi, ¥ j=1,…,n. Jasno je da vrijedi [ A gore ~]gore f dolje e= A.
Još uočimo: ako je polazna matrica A kvadratna onda se može uzeti W=V i f=e.

Question 16

U cijelom ovom postupku malo je toga jednoznačno određeno: tek pripadno polje i dimenzije prostora W i V.
Jedan mogući standardni izbor bi bio uzeti operator množenja sa zadanim matricom A, tj. Operator L(indeks A):Mn1(F)—>Mm1(F) zadan formulom L(indeks A)•x=A•x.

Answer 16

Direktnom provjerom se vidi da je matrični zapis operatora L(indeks A) u kanonskom paru baza prostora Mn1 i Mm1 upravo polazna matrica A.

Question 17

Neka je Ax=b proizvoljan sustav linearnih jednadžbi i Ax=0 pridružen homogeni sustav.

Answer 17

Uvedemo li kao u prethodnoj napomeni prostore V i W, operator A gore ~ i (analognim postupkom) vektor b gore~ € W takav da je
[b gore ~]gore f=b, primjenom propozicija 5.4.1( Neka je V vektorski prostor nad F i e={e1,…,en} neka baza za V. Preslikavanje
fi: V —> F^n, fi(x)=[x]gore e, je izomorfizam. ), 5.4.2 ( Neka su V i W vektorski prostori nad F, neka su e={e1,…,en} i f={f1,…,fm} baze za V, odnosno W. Preslikavanje fi: L(V,W)—>Mnn(F),
fi(A)=[A]gore f dolje e, je izomorfizam. ) i 5.4.9. ( Neka su e={e1,…,en} i f={f1,…,fm} baze vektorskih prostora V i W, neka je x€V i A€L(V,W). Tada je [Ax]gore f=[A]gore f dolje e•[x]gore e. ) rješavanje polaznog sustava svodi se na rješavanje vektorske jednadžbe Agore~•x=bgore~. To omogućuje alternativni (i zapravo znatno brzi i elegantniji) tretman sustava linearnih jednadžbi. Npr. Informacija o dimenziji prostora rješenja homogenog sustava dobije se sada kao direktna posljedica teorema o rangu i defektu.

Question 18

Svojstvena vrijednost operatora

Answer 18

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A€L(V). Kaže se da je skalar lambda0€F svojstvena vrijednost operatora A ako postoji vektor x€V, x razl od 0, takav da je A•x=lambda0•x. Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar (operatora A) i označava sa sigma(A).

Question 19

ISTAKNIMO😂

Answer 19

Skalar lambda0 je svojstvena vrijednost operatora A tek ako postoji netrivijalan vektor x sa svojstvom Ax=lambda0•x. Ovo ograničenje je zaista nužno jer za svaki skalar lambda vrijedi A•0=lambda•0; dakle, za svaki skalar mozemo riješiti jednadžbu Ax=lambda•x. Svojstvene vrijednosti su, međutim, samo oni skalari za koje ta jednadžba ima i neko netrivijalno rješenje.

Question 20

Napomena (a, b, c)

Answer 20

a) Vektor x iz definicije svojstvene vrijednosti naziva se svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti lambda0. Treba primjetiti da svojstveni vektor nikako nije jedinstven: ….
Npr za jedinicni operator I su svi vektori prostora svojstveni za svojstvenu vrijednost 1 jer vrijedi Ix=1•x, ¥ x€V.

b) Neka je V(indeks A)(lamba0)={x€V: Ax=lambda0•x}. Ovaj skup se naziva svojstveni potprostor pridružen svojstvenoj vrijednosti lambda0. ……. Svojstvene vrijednosti su oni skalari lambda0 za koje je potprostor V(indeks A) (lambda0) netrivijalan.
Svojstvena vrijednost operatora A je takav skalar lambda0 za koji je operator A-lambda0 singularan. ……..

c) Ako je lambda0€sigma(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostora V(indeks A)(lambda0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijski multiplicitet) svojstvene vrijednosti lambda0 i označava se s d(lambda0). Iz definicije je jasno da je d(lambda0)>=1.