Predavanje 6 Flashcards
Linearni operatori čuvaju strukturu potprostora.
Neka je A:V—>W lienaran operator.
i) Ako L<=V, onda je A(L)<=W.
ii) Ako je M<=W, onda je A^-1(M)<=V.
Slika i jezgra operatora A
Neka je A:V—>W lienaran operator. Potprostori
ImA=A(V)={Av:v€V}<= W i
KerA=A^-1({0})={x€V: Ax=0} <= V
zovu se slika, odnosno jezgra operatora A. Kad su V i W konacnodimenzionalni, rang i defekt operatora A definiraju se kao brojevi
r(A)=dim(ImA)
d(A)=dim(KerA)
Dopunjenje iskaza napomene 5.1.4.
Pretpostavimo da je A: V—>W lienaran operator te da je {b1,b2,..,bn}, n€N, bilo koja baza prostora V. Sada za proizvoljan x=suma kada i ide od 1 do n lambda-i•bi€V imamo Ax=suma kada i ide od 1 do n lambdai•A•bi, što pokazuje
da je skup {Ab1,…,Abn} sustav izvodnica za ImA. Vrijedi, dakle, ImA=[{Ab1,…,Abn}] i r(A)=dim(ImA)<=n.
Ako je dimW=m takoder imamo r(A)<=m
Prirodno je pitati kako se linearni operatori odnose prema linearno nezavisnim skupovima. No, primjer nuloperatora odmah pokazuje kako nema govora o tome kako bi linearni operatori općenito čuvali linearnu nezavisnost. Pokazat će se da je injektivnost dodatno svojstvo koje će osigurati da linearni operatori čuvaju linearnu nezavisnost.
Slijedi kriterij injektivnosti linearnog operatora
Linearan operator A:V—>W je injekcija ako i samo ako je KerA={0} (Tj. ako i samo ako je d(A)=0).
Neka je A:V—>W linearan operator. A je injekcija ako i samo ako je za svaki linearno nezavisan skup S u V
skup A(S)={Ax: x€S} linearno nezavisan u W.
Teorem o rangu i defektu- najvažniji teorem i linearnim operatorima
Neka je A:V—>W linearan operator, te neka je dim V < beskonačnosti.
Tada je r(A) + d(A) = dimV
Monomorfizam, epimorfizam i izomorfizam
Linearan operator A:V—>W naziva se:
i) monomorfizam ako je A injekcija
ii) epimorfizam ako je A surjekcija
iii) izomorfizam ako je A bijekcija
Korolar koji slijedi jedna je od ključnih i najčešće citiranih posljedica teorema o rangu i defektu.
Neka je A:V—>W linearan operator te neka je dimV=dimW
U sljedećoj propoziciji karakterizirat ćemo izomorfizme konačnodimezionalnih vektorskih prostora. U osnovi, propozicija tvrdi da su izomorfizmi oni operatori koji prevode bazu u bazu.
Neka je A:V—>W linearan operator, te neka je dimV=n
Kompozicija
Neka su A: V—>W i B: W—>X linearni operatori. Tada je i
BA: V—>X linearan operator. Posebno, kompozicija dvaju monomorfizama(epimorfizama, izomorfizama) je opet monomorfizam( epimorfizam, izomorfizam).
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem. Kažemo da je V _______ s W i pisemo (V _~W) ako postoji ______ A: V—>W.
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem. Kažemo da je V izomorfan s W i pišemo V_~W ako postoji izomorfizam A: V—>W.
Neka je su V i W konačnodimenzionalni prostori nad istim poljem.
Tada je V_~W ako i samo ako vrijedi dimV=dimW. Posebno, izomorfnost prostora je relacija ekvivalencije.
U prethodnoj propoziciji dokazali smo da je izomorfnost relacija ekvivalencije samo kad se govori o konačnodimenzionalnim prostorima jer smo u dokažu koristili teorem o rangu i defektu.
Tvrdnja, međutim, vrijedi i općenito.
Zato što se i bez pozivanja na jednakost dimenzija moze direktno pokazati da je _~ simetrična relacija. Lako se vidi i da vrijedi ova korisna tvrdnja: Ako je A:V—>W izomorfizam, onda je i inverzno preslikavanje A^-1:W—>V linearno te je zato i A^-1 izomorfizam.
REGULARAN OPERATOR
Izomorfizam = bijektivan linearan operator
Ako je A:V—>V linearan i bijektivan, češće se kaže da je A regularan ili invertibilan operator. Termin izomorfizam je rezerviran za operatore između različitih prostora. U toj terminologiji za operatore koji nisu regularni kažemo da su singularni.
AB=I Tada su oba operatora regularna i vrijedi A=B^-1 i A^-1=B. Ako je dim V=beskonačnost tvrdnja ne vrijedi.( protuprimjer su opet operatori S i T desnog i lijevog pomaka na R^N
Naime, ocito je TS=I ali ni S ni T nisu bijekcije )
Izomorfizmi tj. bijektivni linearni operatori između različitih prostora. Izomorfizmi čuvaju nezavisnost, dimenzije i sve linearne informacije.
Imamo li, dakle, vektorske prostore nad istim poljem jednakih dimenzija, ti se prostori u apstraktnom smislu mogu smatrati jednakima.
Kasnije cemo vidjeti da je upravo mogućnost promjene baze važna okolnost odnosno ideja u rješavanju mnogih problema.
