Predavanje 1

Question 1

Polje

Answer 1

Neka je F neprazan skup na kojem su zadane binarne operacije zbrajanja +: FxF —> F i množenja •: FxF —> F. Uređenu trojku (F,+,•) zovemo poljem ako vrijedi (9 svojstava)

Question 2

Vektorski prostor nad poljem F

Answer 2

Neka je V neprazan skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja +: V x V—> V i operacija množenja skalarima iz polja F, •: F x V —> V. Kažemo da je uređena trojka (V, +, •) vektorski prostor nad poljem F ako vrijedi: (8 svojstava)

Question 3

Pojašnjenja i opaske (a-e) (vektorski prostor)

Answer 3

a) operacije na vektorskom prostoru su preslikavanja funkcija (Za svaki x€D postoji jedinstveni y€K)
b) priroda elementa skupa V je irelevantna. Elementi vektorskog prostora nazivaju se vektori (malim latinskim slovima)
c) F može biti bilo koje polje, no najvažniji su slučajevi vektorskih prostora nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva. Vektorski prostori nad poljem R nazivaju se realni vektorski prostori, a za one nad poljem C kažemo da su kompleksni. U oba slučaja elemente polja označavati ćemo malim grčkim slovima i zvati skalarima.
d) većina tvrdnji će biti iskazana simultano za oba slučaja i tada će u iskazima stajati simbol F
e) formalno se govori o uređenoj trojci (V,+,•) nad poljem F, no kada je iz konteksta jasno o kojim je operacijama i o kojem polju riječ, pisat ćemo jednostavno V.

Question 4

Komentari na uvjete (1-8) (a-f)

Answer 4

a) svojstvo 2 govori o postojanju neutralnog elementa
b) uvjet 3 nalaze postojanje suprotnog elementa
c) svojstvo 5 zove se kvaziasocijativnost jer se u jednakosti pojavljuju dvije vrste množenja: množenje u polju i množenje vektora skalarima
d) svojstva 6 i 7 zovu se distributivnost množenja prema zbrajanju skalara, odnosno vektora
e) posljednji uvjet je važan jer priječi da u društvo vektorskih prostora uđu i neke degenerirane strukture
f) uvjeti iz definicije su međusobno nezavisni

Question 5

Najvažniji primjeri vektorskih prostora (11)

Answer 5

1. Xo(p), Xo(M), Xo(E)
2. R^2
3. R^n
4. C^n
5. R/C za n=1 u prethodna dva primjera
6. Vektorski prostor {0}
7. Mmn(F)
8. F^N
9. Pn
10. P
11. C(R) skup svih neprekidnih funkcija na R

Question 6

Neka računska pravila za vektorski prostor (1-4)

Answer 6

1) za alfa€F i a€V vrijedi alfa•a=0 ako i samo ako je alfa=0 ili a=0
2) (-alfa)a=alfa(-a)=-(alfa•a), ¥ alfa€F, ¥a€V
3) alfa(a-b) = alfa•a-alfab ¥ …
4) (alfa-beta)a=alfa a - beta a, ¥…

Question 7

Linearna kombinacija vektora

Answer 7

Neka je V vektorski prostor nad F. Izraz oblika alfa1a1 + alfa2a2 +…+alfakak, pri cemu je a1,a2,…,ak€V
alfa1,alfa2,…,alfak€F i k€N, naziva se lienarna kombinacija vektora a1,a2,…,ak s koeficijentima alfa1, alfa2, alfak.

Question 8

Linearno nezavisan skup

Answer 8

Neka je V vektorski prostor nad F i S = {a1,a2,…,ak}, k€N, konačan skup vektora iz V. Kažemo da je skup S linearno nezavisan ako vrijedi:
alfa1,alfa2,..,alfak€F, suma kada i ide od 1 do k je jednaka 0 => alfa1=alfa2=…=alfak = 0.
U suprotnom kažemo da je skup S linearno zavisan.

Question 9

Pojašnjenja i opaske linearno nezavisnog skupa (a-h)

Answer 9

Za svaki konačan skup S={a1,..ak} vektora iz V linearna kombinacija će očito biti nula ako su svi koeficijenti jednaki 0. Ukoliko je to jedini način kako možemo dobiti nulvektor linearno kombinirajući vektore iz S tada je skup linearno nezavisan

b) S={a1,..,ak} je linearno nezavisan ako postoji alfa1,…,alfak€F takvi da je alfajot razl. od 0 za barem jedan j€{1,2,…,k} i suma kada i ide od 1 do k alfai ai = 0
c) atribut linearno najčešće ispuštamo
d) za svaki a iz V i a razl od 0, jednočlani skup {a} je nezavisan, osim ako je a = nulvektor taj prostor je vektorski prostor i zovemo ga nulprostor
e) svaki skup koji sadrži nulvektor je zavisan
f) zavisnost, odnosno nezavisnost ne ovisi o poretku vektora u promatranom skupu S
g) svaki neprazni podskup nezavisnog skupa je nezavisan
h) svaki nadskup zavisnog skupa je zavisan

Question 10

Linearno zavisan skup.

Answer 10

Skup S={a1,…,ak}, k>=2 u vektorskom prostoru V je linearno zavisan ako i samo ako postoji j€{1,2,…,k} takav da je aj lienarna kombinacija preostalih elemenata skupa S.
Ako je skup S={a1,..,ak}, k>=2, linearno zavisan, uređen te ako je a1 razl od 0, onda postoji l€{2,…,k} takav da je a-el linearna kombinacija svojih prethodnika u skupu S, tj. vektora a1,a2,..,a-(el-1)