Predavanje 11 Flashcards
Svojstva skalarnog produkta
Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Skalarni produkt na V je preslikavanje : V x V—> F koje ima sljedeća svojstva:
1) >= 0, ¥x€V;
2) =0 <=> x=0;
3) = + , ¥ x1,x2,y€V;
4) = alfa•, ¥ alfa€F, ¥ x,y€V;
5) = ^—— , ¥ x,y€V
Uočimo prvo običaj da se u apstraktnim prostorima produkt dvaju vektora x i y označava simbolom umjesto tradicionalnim x•y.
Napomena (o svojstvima) a-d
a)svojstva 3 i 4 iz definicije skalarnog produkta povlače
=alfa1+alfa2,
¥ alfa1,alfa2€F, ¥x1,x2,y€V
Indukcijom se sada lako dokazuje da vrijedi i
=
Suma kada i ide od 1 do n alfai , ¥n€N,
¥alfai€F, ¥xi,y€V. Kaže se zato da je skalarno množenje linearno u prvom argumentu. *
b) svojstva 3 i 4, a također i prethodna opaska, reflektiraju se i na drugi argument preko svojstva 5. Očito vrijedi = + , ¥ x, y1, y2 € V,
= alfa^—, ¥alfa€F, ¥ x,y€V i
=suma kada i ide od 1 do n alfai^—, ¥ n€N, ¥ alfai€F, ¥ x,yi€V.
Kako skalari s drugog argumenta izlaze kompleksno konjugirani, kaže se da je skalarno množenje antilinearno u drugom argumentu. Naravno, ako je prostor V realan, skalarni produkt je linearan u obje varijable.
c) = = - = 0, ¥ x€V.
Jasno je da vrijedi i <0,y>=0, ¥y€V.
d) Uočimo da i u kompleksnom slučaju, premda su vrijednosti skalarnog produkta opcenito kompleksni brojevi, uvjet (1) iz definicije zahtijeva da produkt bude realan, čak ne-negativan, za sve vektore x.
Unitaran prostor
Vektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt zove se unitaran prostor.
Primjeri unitarnih prostora.
- V^3 je unitaran prostor.
- U R^n skalarni produkt je definiran s = suma kada i ide od 1 do n xiyi.
- U C^n skalarni produkt je definiran s =suma kada i ide od 1 do n xi(yi)^—.
- U Mn(F) skalarni produkt je definiran s <a>=tr(BA), pri cemu je matrica B hermitski adjungirana matrici B. ….</a>
- U R^2 definirajmo =3x1y1+4x2y2. Lako je pokazati da je ovo preslikavanje skalarni produkt. Ovdje nije bitno n=2, i nisu bitni faktori 3 i 4.
Jasno je da analogne primjere imamo i u R^n s bilo kojim izborom strogo pozitivnih koeficijenata.
Primjer pokazuje da nije sasvim korektno govoriti o unitarnom prostoru V jer na istom prostoru može biti (i uvijek ima!) više različitih skalarnih produkata. Ipak, mi ćemo govoriti o unitarnim prostorima F^n i Mn(F), a kad god tako činimo podrazumijevamo standardne skalarne produkte na tim prostorima opisane u prethodnim primjerima 2,3 i 4. - U prostoru realnih polinoma čiji stupanj je manji ili jednak n, Pn(R), skalarni produkt je definiran s <p>=integral od 0 do 1 p(t)q(t)dt.
I ovdje postoje druge mogućnosti; na primjer,</p><p>=integral od -1 do 1 p(t)q(t)dt je jos jedan skalarni produkt na istom prostoru. - U C([0,1]) jedan skalarni produkt je definiran formulom =integral od 0 do 1 f(t)g(t)dt. Ovaj nam primjer nece biti važan jer promatramo samo konacnodimenzionalne prostore, no istaknimo da je skalarni produkt jednako važan koncept i u proučavanju beskonacnodimenzionalnih prostora.</p></a>
Cauchy-Schwarzova nejednakost
Neka je V unitaran prostor. Tada je
||^2 <= za sve x,y iz V. Jednakost vrijedi ako i samo ako su vektori x i y linearno zavisni.
Norma
Neka je V unitaran prostor. Norma na V je funkcija ||•||: V—>R definirana s ||x||=korijen iz .
Prvo uočimo da je norma dobro definirana jer je u svakom unitarnom prostoru, realnom ili kompleksnom, >= 0. Dalje, uz pomoć norme, Cauchy-Schwarzovu nejednakost možemo pisati u obliku || <= ||x||||y||.
Normu nekog vektora iz unitarnog prostora zamišljat cemo kao duljinu tog vektora.
Norma na unitarnom prostoru V ima sljedeća svojstva:
1) ||x|| >= 0, ¥x€V
2) ||x|| = 0 <=> x=0
3) ||alfax||=|alfa|||x||,¥alfa€F,¥x€V
4) ||x+y||<=||x|| + ||y||, ¥ x,y€V
Napomena u vezi norme (a i b)
a) norma na svakom unitarnom prostoru V zadovoljava tzv. relaciju paralelograma:
||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2+2||y||^2, ¥ x,y€V.
Ova jednakost je izravna posljedica definicije norme i skalarnog produkta.
Interpretacija i opravdavanje naziva ove jednakosti očiti su u unitarnom prostoru V^3 gdje se zbrajanje izvodi po zakonu paralelograma pa su stoga
||x(vektor)+y(vektor)|| i ||x(vektor)-y(vektor)||
duljine dijagonala paralelograma razapetog vektorima x i y.
b) svaka funkcija na vektorskom prostoru sa svojstvima (1-4) naziva se norma. U našoj situaciji norma je zadana prirodno (kao i u V^3), iz skalarnog produkta.
Kad god imamo normu ||•|| na vektorskom prostoru V, smisleno je definirati i preslikavanje
d: V x V —> R formulom d(x, y)=||x-y||.
Sad se vidi da je prirodno ovakvo preslikavanje shvaćati kao razdaljinama funkciju ili metriku na V, tj. kao funkciju koja mjeri udaljenost elemenata x i y. Zaista, d(x,y) ima sva razumna svojstva koja intuitivno očekujemo. Vrijedi:
1) d(x,y)>= 0, ¥x,y€V;
2) d(x,y)=0 <=> x=y;
3) d(x,y)=d(y,x), ¥ x,y€V
4) d(x,y)<=d(x,z) + d(z,y), ¥x,y,z€V
Sva navedena svojstva slijede direktno iz svojstava norme pomocu koje je naša metrika definirana.
Napomena-direktna posljedica definicije skalarnog produkta
Vidjeli smo kako se pomoću skalarnog produkta u proizvoljnom unitarnom prostoru V definira norma. Zanimljivo je da se skalarni produkt u V može rekonstruirati iz tako uvedene norme. Naime, za sve x,y iz V vrijedi sljedeća polarizacijska formula:
=1/4• - 1/4• ako je prostor realan, odnosno
= 1/4• - 1/4 +
i/4• - i/4 ako je prostor kompleksan.
Normiran vektor
Neka je V unitaran prostor. Kaže se da je vektor x€V normiran ako je ||x|| = 1
Normirani vektori su dakle vektori jedinične duljine. U tom smislu se cesto umjesto normiran kaze jedinicni vektor. Primjetimo da je za svaki x razl od 0, vektor (1/||x||)•x normiran.
Slično kao što smo u apstraktan unitaran prostor uveli pojam duljine vektora, možemo uvesti i pojam okomitosti. Sjetimo se da je u V^3 skalarni produkt dvaju vektora jednak 0 ako i samo ako su ti vektori okomiti. To izravno motivira sljedeću definiciju…
Okomitost ili ortogonalnost vektora
Neka je V unitaran prostor. Kaže se da su vektori x,y iz V međusobno okomiti ili ortogonalni (oznaka: x okomito y) ako je =0.
Konačan skup vektora {e1,…,ek} je ortogonalan ako je ei okomito ej, ¥ i razl. od j.
Skup {e1,…,ek} je ortonormiran ako je ortogonalan i ako je ||ei||=1, ¥ i=1,..,k.
Uočimo da je 0 okomito x, ¥x€V.
U tom smislu ortogonalan skup može sadržavati i nulvektor. Drugačije je kad je skup ortonormiran: u njemu su svi vektori netrivijalni jer su jedinične duljine.
Činjenicu da je skup {e1,…,ek} ortonormiran možemo elegantno zapisati kao = kronecker,
¥ i,j = 1,…,k, pri čemu je konecker-ij Kroneckerov simbol.
