Predavanje 5 Flashcards
Primjeri preslikavanja na V^2(O)
- Simetrija ravnine M u odnosu na prvu koordinatnu os. P(x1,x2) P’(x1,-x2).
- Centralna simetrija ravnine M u odnosu na ishodište 0 koordinatnog sustava. P(x1,x2),
P’(-x1,-x2). - Homotetija ravnine M u odnosu na ishodište 0 koordinatnog sustava. P(x1,x2), P’(lambdax1, lambdax2).
- Ortogonalna projekcija ravnine M na prvu koordinatnu os. P(x1,x2), P’(x1, 0).
- Rotacija ravnine M za kut fi oko ishodišta 0 koordinatnog sustava. P(x1,x2), P’( x1cos(fi)-x2sin(fi), x1sin(fi)+x2cos(fi) ).
Lienaran operator
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F. Preslikavanje A: V—>W zove se linearan operator ako vrijedi A(alfa•x+beta•y)=alfa•A•x + beta•A•y, ¥ x,y € V, ¥ alfa,beta € F.
Nekoliko jednostavnih činjenica koje proizlaze izravno iz definicije
a, b, c
a) Definiciona jednakost A(alfa•x+beta•y) = alfa•A•x + beta•A•y naziva se linearnost preslikavanja A.
ADITIVNOST (ako se uzme alfa=beta=1) onda slijedi A(x+y)=Ax+Ay
HOMOGENOST (ako se uzme beta=0) onda slijedi A(alfa•x)=alfa•A•x
Dakle, svaki je linearan operator aditivno i homogeno preslikavanje.
Lako se vidi da vrijedi i obrat.
b) Svaki linearan operator nulvektor prevodi u nulvektor: A0=0 (alfa=beta=0)
c) Alo je A:V—>W linearan operator, jednostavnim induktivnim argumentom pokazuje se da tada vrijedi i A(suma kada i ide od 1 do n (alfa-i x-i)) = suma kada i ide od 1 do n alfa-i•A•x-i ¥n€N, ¥ x1,…,xn € V, ¥alfa1,…,alfa-n€F. Često se zato kaže da linearni operatori POŠTUJU LINEARNE KOMBINACIJE. Ovo svojstvo pokazuje da je djelovanje linearnih operatora u punoj mjeri usklađeno s algebarskom strukturom vektorskih prostora.
17 PRIMJERA LINEARNIH OPERATORA
- Rotacija Rfi: V^2(O)–>V^2(O) za kut fi je linearan operator na prostoru V^2(O).
- Preslikavanje P: V^3(O)—>V^3(O) definirano s P(vektorOT)=vektor OT’, gdje je T=(x, y, z) i T’= (x, y, 0), je lienaran operator. ; P se naziva ortogonalni projektor prostora V^3(O)—>V^2(O) ( pri cemu smo prostor V^2(O) identificirali s potprostorom od V^3(O) kojeg čine svi radijvektori čije završne točke leže u xy-ravnini)
- A : R^3–>R^3, A(x1, x2, x3)—>(x1,x2,0), je linearan operator. Može se uočiti da je ovaj operator apstraktna realizacija ortogonalnog projektora P iz prethodnog primjera.
- A : R^2 —>R^3, A(x1,x2)=(6x1-x2, -2x1+x2, x1-7x2) je linearan operator.
- A : R^2–>R^2, A(x1,x2)=(x1^2,x2+5), NIJE linearan operator.
- Transponiranje matrica T:Mmn(F)->Mmn(F), T(A)=A^t, je linearan operator.
- Hermitsko adjungiranje matrica H:Mmn(C)—>Mmn(C), H(A)=A*, nije linearan operator.
- tr: Mn(F)—>F je linearan operator
- det: Mn(F)—>F nije linearan operator
- f: R^3–>R, f(x1,x2,x3) = 2x1-x2+4x3, je linearan operator.
- Neka su a1,a2,…,an zadani realni brojevi. Preslikavanje f:R^n—>R, f(x1,x2,…,xn)= suma kada i ide od 1 do n alfa-i•x-i, je linearan operator.
- D: Pn—>Pn, Dp=p’ pri cemu je p’ derivacija polinoma p, je linearan operator.
- Neka su V i W proizvoljni vektorski prostori nad istim poljem. Tada je preslikavanje 0:V->W, definirano s 0x=0, ¥x€V, linearan operator. Ovaj operator se naziva nuloperator.
- Neka je V proizvoljan vektorski prostor. Identitet I:V—>V je linearan operator. Često se kaže da je I jedinični operator.
- D:P—>P, Dp=p’, je linearan operator.
- S:R^N—>R^N, S(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,…), je linearan operator.
- T:R^N—>R^N, T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…), je linearan operator.
Pretpostavimo da je A:V—>W lienaran operator te da je {b1,b2,…,bn}, n€N, baza prostora V. Uzmimo proizvoljan x€V i napišemo ga u obliku x=suma kada i ide od 1 do n lambda-i•bi.
Sada je prema napomeni 5.1.2(c)(KARTICA 3) Ax=suma kada i ide od 1 do n lambda-i•A•bi.
Odavdje zaključujemo:
Poznajemo li vektore Ab1,…,Abn, onda implicitno poznajemo i Ax, za svaki vektor x iz domene.
Odavdje također izvodimo i sljedeći zaključak: ako se linearni operatori A,B: V—>W podudaraju u djelovanju na svim vektorima neke baze prostora V, onda je A=B.
Važan postupak zadavanja linearnih operatora.
Propozicija 5.1.5. Zadavanje na bazi i proširenje po linearnosti.
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F, neka je {b1,…,bn} bilo koja baza za V i (w1,…,wn) bilo koja uređena n-torka vektora iz W.
Tada postoji jedinstven linearan operator A:V—>W takav da je Abi=wi, ¥ i=1,…,n.
Primjetimo da je u iskazu (w1,…,wn) uređena n-torka(a ne skup). Zato je moguće da se neki od vektora wi ponavljaju. Upravo to smo i željeli: propozicija nam sada jamči da za zadanu bazu domene postoji jedinstven linearan operator koji će bazne vektore preslikati u unaprijed zadane, po volji odabrane( ne nužno različite ) vektore iz kodomene.
