Predavanje 4

Question 1

Neka je V konačnodimenzionalan prostor, te neka su L i M potprostori od V. Tada je dim(L+M)+____=_____+_____

Answer 1

Tada je dim(L+M)+dim(L presjek M) = dim L + dim M

Question 2

Neka potprostori L i M konačnodimenzionalnog prostora čine direktnu sumu. Tada je dim(L(+•)M)=_____

Answer 2

dim(L+•M)=dim L + dim M

Question 3

Često je zgodno operirati s bazom prostora čiji početni dio

Answer 3

predstavlja bazu nekad određenog potprostora.

Question 4

Neka je V vektorski prostor, te neka je L potprostor od V. Potprostor M prostora V se naziva direktan komplement od L

Answer 4

ako vrijedi L(+•)M = V.

Definicija je simetrična naime ako je M direktan komplement od L onda je i L direktan komplement od M

Question 5

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor. Tada postoji

Answer 5

direktan komplement od L u V.

Question 6

Niti jedan netrivijalan potprostor nema

Answer 6

nema jedinstven direktan komplement.

Question 7

Svi direktni komplementi potprostora L u prostoru V imaju istu dimenziju

Answer 7

: dim V - dim L

Question 8

Neka je V vektorski prostor, ne nužno konačnodimenzionalan. Neka je M potprostor od V. Na V definiramo binarnu relaciju ~ formulom

Answer 8

x~y akko y-x€M, x,y€V

Lako je vidjeti da je ~ relacija ekvivalencije na V.

Question 9

Za dani x€V s [x] označavamo klasu ekvivalencije određenu vektorom x

Answer 9

Po definiciji je [x]={y€V:x~y}.

Question 10

Vektor x naziva se reprezentantom ili predstavnikom ove klase ekvilencije. Uočimo da se ista klasa [x] može predočiti i drugim predstavnicima;

Answer 10

[x]=[y] akko x~y

Sjetimo se također da je prostor V disjunktna unija svih klasa ekvivalencije [x], x€V

Question 11

Klase ekvivalencije za ovako uvedenu relaciju mozemo i preciznije opisati:

Answer 11

Vrijedi [x]=x+M, ¥x€V, pri čemu x+M označava skup {x+a:a€M}.

Question 12

Linearna mnogosturkost

Kvocijentni skup ili kvocijent

Answer 12

Neka je M potprostor prostora V. Svaki skup oblika x+M={x+a:a€M}, x€V, naziva se linearna mnogostrukost u smjeru potprostora M. Skup svih linearnih mnogosturkosti u smjeru potprostora M označava se s V/M i naziva kvocijentni skup ili kvocijent (prostora V po potprostoru M).

Question 13

Definirajmo zbrajanje klasa ekvivalencije (Tj. Linearnih mnogostrukosti)
Sasvim analogno cemo definirati množenje skalarima. Prije svega, ako je V vektorski prostor nad F, nad tim istim poljem skalara ćemo graditi prostor V/M.

Answer 13

[x]+[y]=[x+y], x,y€V

Za alfa€F i [x]€V/M definiramo alfa•[x]=[alfa•x].

Question 14

Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka je M potprostor od V. Tada je uz operacije

Answer 14

(x+M)+(y+M)=(x+y)+M, x,y€V

i alfa•(x+M)=alfa•x+M, alfa€F, x€M, kvocijentni skup V/M vektorski prostor nad F.

Question 15

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i M njegov potprostor. Tada je i prostor

Answer 15

V/M konačnodimenzionalan i vrijedi dimV/M=dimV-dimM.