Predavanje 13

Question 1

•operatori na unitarnim prostorima•
Načelno, sve što je u petom poglavlju rečeno općenito o linearnim operatorima vrijedi i ovdje. Međutim, operatori na unitarnim prostorima posjeduju dodatna korisna svojstva koja proizlaze iz strukture unitarnog prostora.

Answer 1

Prvi rezultat koji navodimo govorimo o linearnim funkcionalima. Ma koliko jednostavan, taj je zapravo fundamentalan. 🙊

Neka je V unitaran prostor nad F, neka je a€V proizvoljno odabran i fiksiran vektor iz V.
Uočimo da je preslikavanje f(indeks a):V—>F definirano s f(indeks a)(x)= linearan funkcional na V-jednostavno zato što je skalarni produkt linearan u prvom argumentu.

Ovo nam omogućuje da linearne funkcionale na unitarnim prostorima zadajemo na vrlo jednostavan način.
No, bit je u tome da su svi funkcionali na konačnodimenzionalnim unitarnim prostorima takvi.

Question 2

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i f linearan funkcional na V.

Answer 2

Tada postoji jedinstven vektor a€V takav da je f=f(indeks a), tj. f(x)=, ¥ x€V.

Question 3

Unitaran operator

Answer 3

Neka su V i W unitarni prostori takvi da je dimV=dimW. Kažemo da je A€L(V,W) unitaran operator ako vrijedi =, ¥ x,y€V.

Primijetimo da se u navedenoj jednakosti na lijevoj strani pojavljuje skalarni produkt u W, dok desno stoji skalarni produkt u domeni V.

• Vidjet ćemo u idućem teoremu da unitarni operatori, čuvajući skalarne produkte svih vektora, čuvaju i kompletnu strukturu prostora; otuda i dolazi njihov naziv.

Question 4

Napomena a-e

Answer 4

a) Uočimo da je za A€L(V,W) zahtjev =, ¥x,y€V, ekvivalentan uvjetu ||Ax||=||x||, ¥x€V.
Ovo svojstvo zove se izometričnost.
U jednom smjeru je ovaj zaključak trivijalan (naprosto se uzme x=y), dok je u drugom, netrivijalnom smjeru to izravna posljedica polarizacijskih formula iz napomene 6.1.9.

b) Svaki operator sa svojstvom =, ¥ x,y€V, je injektivan. Naime, ako je Ax=0, onda zbog ||Ax||=||x|| odmah slijedi i x=0.
c) Svojstvo očuvanja skalarnih produkata , kao i izometričnost smisleno je i za operatore na beskonačnodimenzionalnim prostorima. No i ovdje se ograničavamo na istraživanje operatora na prostorima konačne dimenzije.

d) I općenito, ako i nije dimV=dimW, mogli bismo za operatore A: V—>W promatrati zahtjev =, ¥ x,y€V.
Međutim, to ima smisla tek ako je dimV<=dimW!
Zaista, kako pokazuje prethodna opaska (b), takav operator je nužno injektivan i zato je zbog teorema o rangu i defektu dimV=r(A)<=dimW.

e) Ako je dimV=, ¥x,y€V, naziva se izometrija.
Termin unitaran operator je rezerviran za operatore A€L(V,W) koji zadovoljavaju uvjet =, ¥ x,y€V, a pritom je dimV=dimW.
Primijetimo da su takvi operatori zbog prethodne opaske (b) i korolara 5.1.13 izomorfizmi.

Question 5

Sljedeći teorem u osnovi kaže da unitarni operatori prevode ortonormirane baze u ortonormirane baze.
Usporedba s propozicijom 5.1.14 pokazuje da se unitarni operatori zaista mogu smatrati izomorfizmima unitarnih prostora.

Answer 5

Neka su V i W konacnodimenzionalni unitarni prostori i A€L(V,W). Sljedeći su uvjeti međusobno ekvivalentni:

i) A je unitaran;
ii) za svaku ortonormiranu bazu {b1,…,bn} od V skup {Ab1,…,Abn} je ortonormirana baza za V;
iii) postoji ortonormirana baza {e1,…,en} od V takva da je i skup {Ae1,…,Aen} ortonormirana baza za V.

Teorem koji smo upravo dokazali omogućuje da unitarne operatore konstruiramo na jednostavan način upotrebom propozicije 5.1.5. (Zadavanje na bazi i proširenje po linearnosti)

Question 6

Neka su V i W unitarni prostori i A€L(V,W) unitaran operator. Tada je =__________.

Answer 6

Neka su V i W unitarni prostori i A€L(V,W) unitaran operator.
Tada je =, ¥x€V, ¥y€W

Question 7

Sljedeća propozicija govori o spektru unitarnog operatora.
No, primjetimo da i unitarni operatori, unatoč brojnim dobrim svojstvima, mogu biti bez svojstvenih vrijednosti (već znamo da je operator rotacije takav).

Answer 7

Neka je V unitaran prostor i A€L(V) unitaran operator s nepraznim spektrom.
Sve svojstvene vrijednosti operatora A imaju apsolutnu vrijednost jednaku 1.
Svojstveni potprostori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima međusobno su okomiti.

Primjetimo da su, zbog prethodne propozicije, jedine moguće svojstvene vrijednosti unitarnog operatora na realnom unitarnom prostoru brojevi 1 i -1.
……* moze se pokazati da se svaki unitarni operator A na kompleksnom konačnodimenzionalnom prostoru V može dijagonalizirati u nekoj ortonormiranoj bazi prostora V.

Question 8

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V). Postoji jedinstven operator A*€L(V) takav da je = za sve vektore x,y iz V.

Operator A*€L(V) sa svojstvom =, ¥x,y€V, zove se _______________________ operatoru A.

Answer 8

Operator A*€L(V) sa svojstvom =, ¥x,y€V, zove se hermitski adjungiran operator operatoru A.

Prema prethodnom teoremu(1. tvrdnja), svaki operator na konačnodimenzionalnom unitarnom promotoru posjeduje hermitski adjungiran operator.
Vidjeli smo u propoziciji 6.2.6 da je ajdungirani operator unitarnog operatora upravo njegov inverz.
Definiciono svojstvo adjungiranog operatora sugerira da su i inače A i A* blisko povezani. To se ogleda i u njihovim matričnim prikazima.

Question 9

Sljedeća propozicija otkriva važnost pojma hermitski adjungirane matrice.

Answer 9

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor, te neka je e={e1,…,en} ortonormirana baza za V. Tada za svaki operator A€L(V) vrijedi
[A]gore e dolje e = ([A]gore e dolje e).

Question 10

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor. Preslikavanje
A |—> A* koje svakom operatoru A€L(V) pridružuje hermitski adjungiran operator A*€L(V) ima sljedeća svojstva:

Answer 10

1) (A+B)* = A* + B, ¥ A,B€L(V);
2) (alfa•A)=(alfa^—)•A, ¥alfa€F, ¥ A€L(V);
3) (AB)=BA, ¥ A,B€L(V)
4) (A)=A, ¥A€L(V)

Question 11

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V).

Tada je V=________ i V=________.

Nadalje, r(A*)=r(A).

Answer 11

Tada je V= Ker A +o ImA* i
V= KerA* +o ImA.

Nadalje, r(A*)=r(A).

Question 12

Napomena a i b

Answer 12

a) u svakoj je matrici jednak broj linearno nezavisnih redaka i stupaca

b) egzistencija hermitski adjungiranog operatora moze se dokazati i za operatore
A:V—>W između dva različita unitarna prostora nad istim poljem. U tom slučaju A*€L(W,V). I u ovoj situaciji vrijede formule analogne onima iz propozicija

Question 13

Vratimo se unitarnim operatorima. Propozicija 6.2.6. pokazuje: ako je A€L(V) unitaran operator, onda je A*=A^-1.
Lako se vidi da vrijedi i obrat:

Answer 13

Operator A€L(V) koji zadovoljava relaciju A=A^-1 nužno je unitaran.
Zaista, neka su x i y proizvoljni vektori u V i neka vrijedi A=A^-1. Tada je, posebno, === i operator A je po definiciji unitaran.

Question 14

Razmotrimo sada pobliže matrični zapis unitarnog operatora u ortonormiranoj bazi.

Answer 14

Neka je A€L(V) unitaran operator i neka je e={e1,…,en} ortonormirana baza prostora V. Tada za matrični zapis [A] gore e dolje e operatora A vrijedi
[A]gore e dolje e•([A]gore e dolje e)* = ([A]gore e dolje e)*•[A]gore e dolje e =I.

Question 15

Unitarna kompleksna kvadratna matrica

Ortogonalna realna kvadratna matrica

Answer 15

Kaže se da je kompleksna kvadratna matrica A unitarna ako vrijedi A•A=A•A=I.

Realna kvadratna matrica A je ortogonalna ako vrijedi A•A^t=A^t•A=I.

Question 16

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V) unitaran prostor. Matrica [A]gore e dolje e operatora A u svakoj ortonormiranoj bazi e prostora V je unitarna ako je prostor __________, odnosno ortogonalna ako je prostor _________.

Answer 16

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V) unitaran prostor. Matrica [A]gore e dolje e operatora A u svakoj ortonormiranoj bazi e prostora V je unitarna ako je prostor kompleksan, odnosno ortogonalna ako je prostor realan.

Question 17

Produkt dviju unitarnih/ortogonalnih matrica

Answer 17

je također unitarna/ortogonalna matrica.

Question 18

Primjetimo da je matrica prijelaza [S]gore e dolje e=[I]gore e dolje e’ iz jedne ortonormirane baze e u drugu ortonormiranu bazu e’ uvijek unitarna, odnosno ortogonalna.

Answer 18

To je zato što je zapravo riječ o matričnom zapisu operatora zadanog sa S: ei —> ei’, a on je, jer prevodi ortonormiranu bazu u ortonormiranu bazu, unitaran zbog teorema 6.2.5. i sad djeluje korolar 6.2.17.

Question 19

Hermitski operator

Answer 19

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V). Kažemo da je operator A hermitski ako vrijedi A*=A.

Question 20

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i neka je A€L(V) hermitski operator. Tada je V=

Answer 20

Tada je V=KerA +o ImA.

Question 21

Hermitska kvadratna matrica

Answer 21

Kaže se da je kvadratna matrica A=[alfaij]€Mn hermitska ako vrijedi A*=A, tj. Alfaij=(alfaij)^—, ¥ i,j=1,…,n

U slucaju kad je matrica realna pojam hermitske matrice svodi se na pojam simetrične matrice.

Question 22

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i neka je A€L(V).
Sljedeće tvrdnje su međusobno ekvivalentne:

Answer 22

i) A je hermitski operator;
ii) za svaku ortonormiranu bazu b u V matrica [A]gore b dolje b je hermitska;
iii) postoji ortonormirana baza e u V takva da je matrica [A]gore e dolje e hermitska.

Question 23

Sljedeća propozicija je jedna od fundamentalnih činjenica u proučavanju hermitski operatora. Naglasimo da propizcija govori o hermitskim operatorima na kompleksnim* prostorima.

Answer 23

Neka je V kompleksan konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V) hermitski operator.
Sve svojstvene vrijednosti operatora A su realni brojevi.

Question 24

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A€L(V) hermitski operator.
Svojstveni potprostori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima operatora A međusobno su _____________.

Answer 24

Okomiti

Question 25

Pripremni teorem, no i sam za sebe važan

Answer 25

Neka je V konačnodimenzionalan realan unitaran prostor, neka je A€L(V) hermitski operator. Tada je spektar operatora A neprazan.

Question 26

Prethodni teorem je toliko važan unoromjenama da se često susreću njegove različite reformulacije. Zabilježimo jednu:

Answer 26

Realna simetrična Marica ima svojstvenu vrijednost.

Question 27

Sljedeći teorem može se smatrati glavnim rezultatom za hermitske operatore :
Svaki hermitski operator dopušta dijagonalizaciju u nekoj ortonormiranoj bazi.
Treba uočiti da u formulaciji teorema nema razlike između realnih i kompleksnih prostora.

Answer 27

Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor, neka je A€L(V) hermitski operator.
Postoji ortonormirana baza e prostora V u kojoj je matrični zapis [A]gore e dolje e operatora A dijagonalna matrica.

Question 28

Ako je dan hermitski operator A na realnom unitarnom promotoru V, onda je, prema propoziciji 6.2.24 u svakoj ortonormiranoj bazi e prostora V matrica [A]gore e dolje e simetrična.
Sad možemo primjetiti prethodni teorem: postoji druga ortonormirana baza e’ prostora V u kojoj će matrica [A]gore e’ dolje e’ biti dijagonalna.
Uočimo da je prema napomeni 6.2.19 matrica prijelaza [S]gore e dolje e=[I]gore e dolje e’ ortogonalna.
Odavde dobivamo sljedeći korolar, koji predstavlja često prisutnu klasičnu reformulaciju prethodnog teorema. 😍

Answer 28

Svaka simetrična matrica he ortogonalno slična dijagonalnoj matrici.