Predavanje 12 Flashcards
U prostoru V^3 su netrivijalni vektori koji su međusobno ortogonalni evidentno linearno nezavisni. Željeli bismo da koncept ortogonalnosti koji smo upravo uveli i u apstraktne unitarne prostore također ima takvo svojstvo.
Iduća propozicija nam kaže da je zaista tako.
Neka je V unitaran prostor. Svaki ortogonalan skup {e1,…,ek} podskup od V, k€N, čiji su svi članovi netrivijalni vektori je lienarno nezavisan. Posebno, svaki ortonormiran skup je linearno nezavisan.
Ortonormirana baza
Ortonormiran skup {e1,e2,…,en} u unitarnom prostoru V je ortonormirana baza ako je taj skup ujedno i baza za V.
Ortonormiran skup {e1,…,en} će biti ortonormirana baza unitarnog prostora V čim je taj skup ujedno i sustav izvodnica za V; to je očita posljedica prethodne propozicije.
Neka je skup {e1,…,en} ortonormirana baza unitarnog prostora V. Svaki vektor iz V dopusta jedinstven prikaz u obliku x=suma kada i ide od 1 do n alfai ei.
No sada, za razliku od obične baze u nekom običnom vektorskom prostoru, ortonormirana baza “dopusta” da koeficijente vektora x jednostavno i prirodno odredimo: skalarnim množenjem prethodne jednakosti s ej odmah dobivamo alfa j = za sve j=1,2,…,n.
Vrijedi, dakle, x = suma kada i ide od 1 do n
ei, ¥ x€V.
Osim toga, i skalarni produkt dvaju vektora možemo jednostavno izraziti pomoću njihovih komponenti u bilo kojoj ortonormiranoj bazi.
Zaista, ako je {e1,…,en} ortonormirana baza za V, onda za x,y€V imamo
= ei, suma kada j ide od 1 do n ej>= suma kada i ide od 1 do n • suma kada j ide od 1 do n • •= suma kada i ide od 1 do n • suma kada j ide od 1 do n kronceker ij= suma kada i ide od 1 do n • •.
Sljedeći teorem osigurat će egzistenciju ortonormirane baze u svakom konačnodimenzionalnom prostoru. -Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije
Neka je dan linearno nezavisan skup {x1,…,xk}, k€N, u unitarnom prostoru V. Tada postoji ortonormiran skup {e1,…,ek} u V takav da je [{e1,…,ej}]=[{x1,…,xj}], ¥ j = 1,…,k.
Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije je zapravo ime dokaza, odnosno konstrukcije, a ne tvrdnje teorema.
Instruktivno je promisliti kako dokaz funkcionira u V^3 ( iako se tamo ovaj postupak može sastojati od najviše tri koraka).
Zapravo se radi o tome da u svakom koraku od vektora Xj+1 oduzimalo njegovu ortogonalnu projekciju na sve do tada uzete smjerove.
Upravo tako konstrukcija teče i na apstraktnoj razini, u što ćemo se uvjeriti u napomeni 6.1.23.
Svaki konačnodimenzionalan unitaran prostor ima _________________ bazu.
Svaki konačnodimenzionalan unitaran prostor ima ortogonalnu bazu.
Neka je V unitaran prostor i M potprostor od V. Ortogonalni komplement potprostora M je M^okomito={x€V: =0, ¥v€M}.
Po definiciji je M^okomito samo podskup od V pa je naziv ortogonalni komplement prejudiciran.
Za sada možemo primijetiti da je uvijek 0€M^okomito pa je, dakle, uvijek M^okomito razl od praznog skupa.
Također je odmah jasno da vrijedi V^okomito={0} i {0}^okomito = V.
Neka je V unitaran prostor i M potprostor od V. Ortogonalni komplement potprostora M je također _____________ od V.
Neka je V unitaran prostor i M potprostor od V.
Ortogonalni komplement potprostora M je također potprostor od V.
Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i M potprostor od V. Tada je
Tada je M^okomito (jedan) direktan komplement od M u V.
Napomene uz teorem 6.1.21.
a,b,c
TM 6.1.21. Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i M potprostor od V. Tada je M^okomito (jedan) direktan komplement od M u V.
a) Važno je primjetiti da dokaz tog teorema daje algoritam za efektivno nalaženje ortogonalnog komplementa
b) Obično pišemo V=M+oM^okomito. Kako je M^okomito jednoznačno definiran (za razliku od običnog direktnog komplementa), ovdje je smislena oznaka M^okomito=V-oM.
c) Taj dokaz pokazuje da vrijedi (M^okomito)^okomito = M.
Također vrijedi (L + M)^okomito = L^okomito presjek M^okomito i (L presjek M)^okomito=L^okomito+M^okomito.
149., 150. str😱🤔
Prethodnu diskusiju mozemo rekapitulirati na sljedeći nacin:
Neka je A€Mnk(R) te neka vrijedi r(A)=r.
Postoje matrice Q€Mnr(R) čiji su stupci ortonormirani i gornjetrokutasta R€Mrk(R) takve da vrijedi A=QR.
Pritom, stupci matrice Q čine ortonormiranu bazu za ImL(indeks A), Q^t•Q=I€Mr(R), L(indeks QQ^t) je ortogonalni projektor na ImL(indeks A), KerL(indeks A)=KerL(indeks R), te vrijedi r(A)=r(R)=r.
