Predavanje 7

Question 1

L(V,W) skup svih linearnih operatora s V u W. Taj skup je uvijek neprazan (npr. nuloperator je jedan njegov element)
Želimo i u L(V,W) uvesti strukturu vektorskog prostora.

Answer 1

Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F. Za A,B€L(V,W) definira se A+B: V—>W s (A+B)x=Ax+Bx.
Nadalje, za A€L(V,W) i alfa€F, definira se
alfa•A: V—>W s (alfa•A)x=alfa•A•x

Ovako uvedene operacije nazivaju se zbrajanje po točkama i množenje skalarima po točkama. Uz njih uređena trojka (L(V,W),+,•) postaje kandidat za vektorski prostor nad poljem F.

Question 2

TEOREM

Answer 2

Neka su V i W vektorski prostori nad poljem F. Tada je i L(V,W) vektorski prostor nad F.

Question 3

Neka su V i W konacnodimenzionalni vektorski prostori nad istim poljem. Tada je dim L(V,W) = dimV•dimW.

Answer 3

Razmotrimo još specijalan slučaj V=W. Tada je dimL(V)=n^2. Prostor L(V) ima i dodatnu strukturu. U propoziciji 5.1.15. vidjeli smo da je kompozicija dvaju linearnih operatora opet linearan operator. Tako uočavamo da je komponiranje operatora još jedna binarna operacija na L(V). Često umjesto A kružić B jednostavno pisemo AB, a obično i govorimo da se radi o množenju operatora.

Question 4

Neka je V vektorski prostor. Skup L(V) je asocijativna algebra s jedinicom, tj. vrijedi:

Answer 4

(1) L(V) je vektorski prostor
(2) A(BC)=(AB)C, ¥ A,B,C€L(V)
(3) A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC, ¥ A,B,C€L(V)
(4) (alfa•A)B=alfa•(AB)=A(alfa•B), ¥alfa€F, ¥A,B€L(V)
(5) postoji I€L(V) takav da je AI=IA=A, ¥A€L(V)

Question 5

Algebre Mn (Mn(F) je asocijativna algebra s jedinicom) i L(V) su jednakodimenzionalne te, prema porpoeziciji 5.1.17 predstavljaju izomorfne vektorske prostore. No u ovom slucaju željeli bismo nesto više od toga.

Answer 5

Željeli bismo konstruirati izomorfizam vektorskih prostora fi: L(V)—>Mn koji bi bio usklađen i s operacijama množenja, tj. zadovoljavao i fi(AB)=fi(A)fi(B) za sve A,B€L(V). Takav izomorfizam (koji se onda, logicno 🤷🏼‍♀️, naziva izomorfizam algebri) uspostavit ćemo u korolaru 5.4.13.

Question 6

MATRIČNI ZAPIS LINEARNOG OPERATORA
Ovdje ćemo detaljno proučiti postupak pridruživanja matrica vektorima i operatorima. U razmatranjima u ovoj točki svi će prostori biti konacnodimenzionalni, a njihove baze ćemo smatrati uređenima. Istaknimo još jednom da poredak vektora u bilo kojoj bazi nekog vektorksog prostora inace nije bitan;to je posljedica komutativnosti zbrajanja. Ovdje će, međutim m, priroda naših razmatranja zahtijevati da u bazama s kojima operiramo unaprijed odaberemo i fiksiramo neki uređaj.

Answer 6

Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e={e1,…,en} neka baza za V.
Svaki vektor x€V ima jedinstven prikaz oblika x=suma kada i ide od 1 do n alfai•ei.
Sad možemo formirati jednostupčanu matricu [x]^e=[u stupcu alfa1,…,alfan]€F^n koja se zove matrični zapis(prikaz) vektora x u bazi e.

Question 7

Neka je V vektorski prostor nad F i e={e1,…,en} neka baza za V.

Answer 7

Preslikavanje fi: V—>F^N, fi(x)=[x]^e , je izomorfizam.

Question 8

Zamislimo sada da je dan operator A€L(V,W), te da su zadane baze e={e1,…,en} i f={f1,…,fm} za V, odnosno W. Sjetimo se da je A potpuno određen svojim djelovanjem na bazi: ako znamo Ae1,…,Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A. Vektore Ae1,….,Aen€W možemo pisati u obliku Aej=suma kada i ide od 1 do m alfaij•fi, j=1,…,n.

Answer 8

Dobivene koeficijente možemo posložiti u matricu kako nalažu njihovi indeksi:

[A] gore f dolje e= [prvi stupac:alfa11…alfam1; zadnji stupac:alfa1n…alfamn]€Mmn(F).
Dobivena matrica se zove matrični zapis(prikaz) operatora A u paru baza (e,f). Primjetimo da je j-ti stupac matrice [A] gore f dolje e- zapravo [Aej]^f (dakle, matrični zapis vektora Aej u bazi f), ¥ j=1,…,n.

Question 9

Neka su V i W vektorski prostori nad F, neka su e={e1,…,en} i f={f1,…,fm} baze za V, odnosno W.

Answer 9

Preslikavanje fi: L(V,W)—>Mnn(F),

fi(A)=[A]gore f dolje E, je izomorfizam.