Mechanische harmonische Schwingungen

Question 1

Was versteht man unter einer Schwingung?

Answer 1

Vorgänge, bei denen sich eine physikalische Größe in Abhängigkeit von der Zeit periodisch ändert.
-> Damit verbunden ist immer ein periodischer Wechsel zwischen zwei Energieformen (bei mechanischen Schwingungen sind dies potenzielle und kinetische Energie)

Question 2

Was versteht man unter einer harmonischen Schwingung?

Answer 2

Die zeitliche Änderung der charakteristischen physikalischen Größe im Sinne einer Sinusfunktion.
-> Sämtliche andere Schwingungsarten sind anharmonisch

Question 3

Wie können mechanische Schwingungen beschrieben werden?

Answer 3

• ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
• Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Funktionen der Zeit
• wegen der Periodizität jeder Schwingung wiederholt sich der Bewegungsablauf nach einer als Schwingungsdauer (Periodendauer) bezeichneten Zeit T

Question 4

Wie entstehen mechanische Schwingungen?

Answer 4

Wen einem schwingungsfähigem System Energie zugeführt wird (z.B. in Form eines Impulses).

Question 5

Nenne die verschiedenen Schwingungsarten.

Answer 5

• Ungedämpfte Schwingung -> konstante Amplitude => es wird vorausgesetzt, dass die zugeführte Energie dem System erhalten bleibt (in der Realität nicht der Fall -> der Energieverlust muss durch regelmäßige Energiezufuhr ausgeglichen werden)
• gedämpfte Schwingung -> gesetzmäßig abnehmende Amplitude => ohne Energiezufuhr ist jede Schwingung mehr oder weniger stark gedämpft.

Question 6

Welches sind die wichtigsten Kenngrößen einer Schwingung?

Answer 6

• Elongation y=y(t) (momentaner Abstand von der Ruhelage)
• Amplitude A (Maximalwert der Elongation)
• Schwingungsdauer (Periodendauer) T=1/f
• Frequenz f=1/T (Anzahl der Schwinungen / Zeit t)
• Kreisfrequenz (Winkelfrequenz) omega=2pif (Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung, deren Projektion die harmonische Schwingung ergibt)
• Phasenwinkel phi=omega*t+phi[0] (bestimmt den Schwingungszustand zur Zeit t
• Nullphasenwinkel (Phasenkonstante) phi[0] (Phasenwinkel zur Zeit t=0)
• Phase -> kennzeichnet den augenblicklichen Zustand der Schwingung (wird durch die Schwingungsgrößen Elongation und Zeit bestimmt)

Question 7

Wie kann eine ungedämpfte harmonische Schwingung beschrieben werden?

Answer 7

Entspricht der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung eines Körpers (Stellt man die Elongation als Funktion des Drehwinkels grafisch dar, so ergibt sich eine Sinuskurve)
=> harmonische Schwingungen werden als Sinusschwingungen bezeichnet

Question 8

Wie ist die Geschwindigkeit für eine Schwingung definiert?

Answer 8

v=yomegacos(phi)=v[max]cos(phi)
Beim Durchschwingen der Ruhelage ist phi=0°/180° und damit =+/- 1.
(mit omega=Kreisfrequenz=2pif=2pi/T, phi=Phasenwinkel=omega*t+phi[0])

Question 9

Wie ist die Beschleunigung für eine Schwingung definiert?

Answer 9

Eine harmonische Schwingung ist eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung -> a=a(t)
a=-y[max]omega²sin(phi)
=a[max]sin(phi)
=-yomega² (In den Umkehrpunkten ist phi=90°/270° und damit sin(phi)=+/-1)
Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, das die Beschleunigung stets zur Ruhelage gerichtet ist.

Question 10

Was versteht man unter der Rückstellkraft?

Answer 10

Eine Kraft die zu jedem Zeitpunkt einer harmonischen Schwingung eine Beschleunigung in Richtung der Mittellage verursacht -> Rückstellkraft F[R]
F[R]=-momega²y[max]sin(phi)
=ma[max]sin(phi)
=-momega²*y
=> Die Rückstellkraft ist der Elongation proportional -> lineares Kraftgesetz
=> Das Minuszeichen besagt, dass die Rückstellkraft der Elongation stets entgegengerichtet ist.

Question 11

Was versteht man unter der Richtgröße (k)?

Answer 11

Ist der Proportionalitätsfaktor zwischen Rückstellkraft F[R] und Elongation y.
k=m*omega²=-F[R]/y
-> Die Richtgröße k ist bei elastischen Schwingungen identisch mit der Federkonstanten k.

Question 12

Wie lautet die Schwingungsgleichung für eine harmonische Schwingung?

Answer 12

a+yomega² (a=2te Ableitung der Elongation y und omega=Kreisfrequenz 2pif=2pi/T)
-> Folgt aus dem Grundgesetz der Dynamik: F[R]=m*a

Question 13

Was versteht man unter einer linearen Federschwingung?

Answer 13

Schwingung bei der die Rückstellkraft ihre Ursache in der Elastizität hat -> nach dem Hooke´schen Gesetz ist (innerhalb bestimmter Grenzen) die verformende Kraft proportional der Verformung
-> Elastische Schwingungen sind harmonische Schwingungen
-> die Richtgröße k wird als Federkonstante bezeichnet
-> k=F/dl
-> omega=Wurzel(k/m)
-> f=1/2piWurzel(k/m)
-> T=2piWurzel(m/k)
=> omega, f und T sind unabhängig von der Amplitude

Question 14

Was versteht man unter einer Drehschwingung?

Answer 14

Eine periodische Rotationsbewegung welche durch ein Rückstelldrehmoment verursacht wird -> ist der Auslenkung (Drehwinkel epsilon) zu jeder Zeit proportional, aber entgegengerichtet: M[R]~-epsiolon

• > die Richtgröße wird Winkelrichtgröße D=M/epsilon (M=Drehmoment)
• > omega=Wurzel(D/J) [J=Trägheitsmoment)
• > f=1/wpiWurzel(D/J)
• > T=2piWurzel(J/D)

Question 15

Was versteht man unter einer Pendelschwingung?

Answer 15

Die Drehschwingung eines Pendels, dessen Rückstellkraft (Drehmoment M) die Schwerkraft ist.

Question 16

Wie lauten die Formeln für die Schwingungsdauer T von idealen und von realen Pendeln?

Answer 16

ideales Pendel -> mathematisches Pendel:
T=2piWurzel(l/g)

reales Pendel -> Physisches Pendel:
T=2piWurzel(J[A]/mgs) [mit J[A]=Trägheitsmoment mit Drehpunkt A und s=Abstand vom Drehpunkt A / Schwerpunkt S)
=> gelten nur für Amplituden unter 8°

Question 17

Was versteht man unter dem Begriff Schwingungsenergie?

Answer 17

Die Summe aus potentizieller (E[pot]) und kinetischer Energie (E[kin]) eines ungedämpften Schwingenden Systems ist konstant E=E[pot]+E[kin]
-> E=1/2ky[max]²=1/2mv[max]²
=> Die periodische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie (und umgekehrt) erfolgt mit der doppelten Frequenz des Schwingers
=> Beim Nulldruchgang besitzt der Schwinger nur kinetische Energie, die potenzielle Energie ist null. In den Umkehrpunkten ist es umgekehrt.

Question 18

Was versteht man unter einer freien gedämpften Schwingung?

Answer 18

Die Energie eins schwingenden Systems wird durch bremsende Kräfte allmählich aufgebraucht -> E~y[max]² =>Amplitude y[max] nimmt auch bis zu null ab

Question 19

Was versteht man unter dem Begriff Dämpfung?

Answer 19

Das gesetzmäßige Abnehmen der Amplitude im Verlauf einer Schwingung.
-> es werden zwei Möglichkeiten unterschieden:
=> lineare Abnahme (Kraft ist konstant)
=> exponentielle Abnahme (Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit

Question 20

Wie lautet die Schwingungsgleichung einer gedämpften Schwingung?

Answer 20

a+2sigmav+omega[0]²*y=0

• sigma=ß/(2m) -> Abklingkoeffizient mit Dämpfungskonstante ß (Porportionalitätsfaktor: F[d]=-ßv)
• omega[0] -> Eigenkreifrequenz der gleichen Schwingung ohne Dämpfung =2pif[0]
• a -> zweite Ableitung von y
• v -> erste Ableitung von y

Question 21

Wie ist die Elongation (für harmonische Schwingungen) definiert?

Answer 21

y=A[0]e^(-sigmat)*sin(phi)

• A[0] -> Anfangswert der Amplitudenhüllenkurve (t=0)
• sigma -> Abklingkoefffizient
• phi -> Phasenwinkel

Question 22

Was versteht man bei Schwingungen unter Abklingzeit?

Answer 22

Erforderliche Zeit, bis die Amplitude auf den e-ten Teil des Anfangswertes zurückgegangen ist.
tau=1/sigma [sigma=Abklingkoeffizient)

Question 23

Was versteht man bei Schwingungen unter Halbwertszeit?

Answer 23

Die Zeit, nach der die Amplitude auf die Hälfte ihres Ausgangswertes gesunken ist.
T[H]=ln2/sigma [sigma=Abklingkoeffizient]

Question 24

Welche Auswirkungen hat eine Dämpfung auf die Kenngrößen einer Schwingung (f, omega und T)?

Answer 24

Dämpfung bewirkt bei jeder Schwingung eine Verkleinerung von Kreisfrequenz (omega) und Frequenz (f) bzw. eine Vergrößerung der Schwingungsdauer T

• > omega[d]=Wurzel(omega[0]²-sigma²)
• > T[d]=2*pi/Wurzel(omega[0]²-sigma²)

Question 25

Was versteht man unter einer erzwungenen Schwingung?

Answer 25

Von außen durch Kopplung auf ein System einwirkende periodisch veränderliche Kraft, die das System zum Mitschwingen zwingt.
Auf dieses schwingungsfähige System wirken 3 Kräfte:
- Rückstellkraft F[R]=-ky
- Dämpfungskraft F[D]=-ßy[max]
- Erregerkraft F[E]=F[E;max]cos(omegat)

Question 26

Wie lautet die Schwingungsgleichung für die erzwungene Schwingung?

Answer 26

a+2sigmay[max]+omega[0]²y=F[E;max]/mcos(omega*t)

Question 27

Was gilt bei den Überlagerungen von Schwingungen?

Answer 27

Das Prinzip der ungestörten Superposition: Wird ein Körper zu mehreren Schwingungen angeregt, so überlagern sich diese unabhängig voneinander, d.h. ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.
Es muss unterschieden werden zwischen der Überlagerung von:
- Schwingungen mit gleicher Schwingungsrichtung
- Schwingungen, deren Schwingungsrichtungen einen rechten Winkel bilden

Question 28

Was passiert bei der Überlagerung von Schwingungen mit gleicher Richtung und Frequenz?

Answer 28

Es entsteht wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, deren Amplitude von den Einzelamplituden und den Nullphasenwinkeln abhängt.
-> Die resultierende Elongation ist zu jedem Zeitpunkt gleich der algebraischen Summe der Einzelelongationen.

Question 29

Was passiert bei der Überlagerung von Schwingungen mit gleicher Richtung aber ungleicher Frequenz?

Answer 29

Es entsteht eine nichtharmonische Schwingung.

-> Kann als Resultierende mehrerer harmonischer Schwingungen dargestellt werden => Fourier-Analyse

Question 30

Was passiert bei der Überlagerung von Schwingungen mit ungleicher Richtung?

Answer 30

Die resultierende Elongation zur Zeit t wird durch eine Vektoraddition bestimmt.
Die Bahnkurve der Endpunkte der resultierenden Elongationen zu den verschiedenen Zeiten ergibt die sogenannten Lissa-Jous-Figuren.

Question 31

Was versteht man unter gekoppelten Schwingungen?

Answer 31

Zwei miteinander gekoppelte Schwinger die sich gegenseitig beeinflussen. Sie sind nicht mehr unabhängig voneinander, weil sie über die Kopplung Energie austauschen können.
-> Die Kopplung kann auf Elastizität, Reibung oder Trägheit beruhen