matematica Flashcards
ax^2 + c = 0 - como resolver nesse caso
resolva como se fosse uma equação do primeiro grau, e quando for colocar a raiz no segundo membro coloque ‘+’ e ‘-‘ pois é uma equação que possuí duas raízes.
ax^2 - bx = 0 - como resolver nesse caso
colocar o fator em evidência (fator comum/fatoração). Nesse caso obrigatoriamente um das raízes vai ser 0 / x = 0 . e a outra você resolver como se fosse uma equação do 1 grau (só tirar os parênteses.)
qual a fórmula de baskhara
-B +- raiz de B^2 -4 vezes A vezes C dividido por duas vezes o A
na baskhra, a soma e produto é muito útil quando
quando o A é igual a 1
Soma e Produto: x´+ x´´ tem que ser igual á:
2- x´. x´´ tem que ser igual á:
tem que ser igual a -b/a.
2- tem que ser igual a c/a
{1,2,3,4.} que conjunto?
naturais* (N*) naturais não nulos pois tem o zero
{0,1,2,3,4..}
naturais (N)
{…-5,-7/3,0,2/5,6,…}
Racionais (Q)
{..-2,-1,0,1,2,3..}
Inteiros(Z)
i = raiz de -1
Complexos(C)
{…-raiz de 2,o,e,π,..}
Irracionais (i)
{Q, I}
Reais (R)
qual a ordem dos conjuntos numéricos do maior pro menor
C > R > (‘I’ estão dentro dos ‘R’, porém não englobam, nem estão dentro dos ‘Q’) > Q > Z > N ou N*
Condição para ser do conjunto Q
se ele pode ser escrito em forma de fração, faz parte dos conjunto Q
Condição para ser do conjunto I
não pode ser escrito em fração
diferença de reais para complexos
Os números reais são números representados em uma reta, enquanto que os numeros complexos são representados no plano cartesiano.
o que é multiplo de um número
Múltiplos de um número inteiro são o resultado da multiplicação desse número por todos os outros números inteiros (por exemplo, 35 é múltiplo de 7 pois 7x5 = 35
o que é divisor de um número
Um número natural n é dito divisor de um número natural p quando a divisão de p por n for exata, isto é, se o resto for zero
Por exemplo, 8 é divisor de 16, pois 16÷8=2 com resto 0
Linguagem matemática: quando tivermos ‘de,do,da’ significa o que?
quanto tivermos essas preposições significa o mesmo que ‘MULTIPLICAÇÃO’ ou seja, 1/2 de 1/3 de 48 é a mesma coisa que 1/2 . 1/3 . 48
Linguagem matemática: Preposição ‘por’, o que isso significa??
POR significa DIVISÃO, ou seja 1 POR 4 é a mesma coisa que 1/4, ou 40% é 40/100
Linguagem matemática: VERBO -“Equivale, será, é, tem,..” o que isso significa??
IGUALDADE, ou seja se joão e maria tem juntos 25 anos : j + m = 25
Linguagem matemática: E o X da questão?
é sempre algo que NÃO SABEMOS ou QUEREMOS DESCOBRIR, logo
um número: ‘x’
dobro de um número: 2x
triplo de um número: 3x
um número vezes ele mesmo: x^2
a metade de um número:x/2
a terça parte de um número: x . 1/3
quando o delta ou determinante (são as mesmas coisas) é 0. Significa o que?
significa que a equação tem uma solução real, ou seja duas raízes iguais
como é a forma fatorada de uma equação do segundo grau?
a(x-x1).(x-x2)
sabendo que a forma fatorada tem as raízes da equação, o que se pode tirar disso?
pode se tirar que, atráves das raízes, podemos descobrir os coeficientes, e atráves dos coeficientes podemos descobrir as raízes e para descobrir a forma fatorada de uma fração basta fazer a baskhara e colocar as raízes na forma fatorada
fatores de um número
é número que o divide sem deixar resto
o que se descobre de um x número fatorando ele?
se descobre todos os fatores primos do mesmo
o que é o inverso multiplicativo de um número
é um número que quando multiplicamos por outro o resultado é 1
Quadrado da soma de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos
Produto da soma pela diferença de dois termos
Cubo da soma de dois termos
Cubo da diferença de dois termos
a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2
a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
(a+b).(a-b) = a^2-b^2
a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3
a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3
Radiação - radicando negativo
1) se o índice for par?
2) se o índice for ímpar?
Se o índice for par, não tem resposta no conjunto dos números reais(R)
Se o índice for ímpar, o sinal é negativo.
Critérios de divisibilidade:
Números divisíveis por 2?
Números divisíveis por 3?
Números divisíveis por 4?
Números divisíveis por 5?
Números divisíveis por 6?
Números divisíveis por 7?
Números divisíveis por 8?
Números divisíveis por 9?
Números divisíveis por 10?
Por 2 “A divisibilidade por 2 é feita em qualquer número par, ou seja, quaisquer números terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8”
Por 3 “para encontrarmos os números que são divisíveis por 3, basta somarmos os algarismos dos números e se o resultado for divisível por 3, certamente, o número é divisível por 3.”
Por 4 “ temos duas opções: a primeira delas é que todo número que termina em 00 com certeza é divisível por 4; e a segunda é quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4”
Por 5 “Qualquer número natural que tenha final 0 ou 5 é divisível por 5. É só pensar na tabuada do 5 e observar como cada número termina.”
Por 6 “são todos os números que são divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Lembrando que os números que são divisíveis por 2 são todos os números pares, isso já exclui os números ímpares da divisibilidade por 6, e a soma os algarismos desses números precisam ser divisíveis por 3”
Por 7 “Para verificarmos se um número é divisível por 7, basta multiplicar o último algarismo por 2 e com o resultado subtrair dos números que sobraram (não incluir o último), se esse resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Se o número foi grande, repetir o processo até conseguir verificar se o número é divisível por 7”
Por 8 “os números que são divisíveis por 8 são todos aquelas que possuem final 000 ou que os três últimos algarismos sejam divisíveis por 8 (bem parecido com o critério de divisibilidade por 4). Por exemplo:”
Por 9 “O critério de divisibilidade por 9 segue a mesma linha de raciocínio do critério de divisibilidade por 3, ou seja, vamos somar os algarismos e se o resultado por divisível por 9, o número será divisível por 9:”
Por 10 terminam sempre com 0.
Propriedade das potências
-Multiplicação de potências de mesma base
-Divisão de potências de mesma base
-Potência de potência
-Potência de produto
-Potência de quociente
-Potência de quociente e expoente negativo
-Potência de expoente negativo
-Potência com expoente racional
-Potência com expoente igual a 0
–Potência com expoente igual a 1
-Potência de base negativa e expoente ímpar
-Potência de base negativa e expoente par
Conservar as bases e somar os expoentes
Conservar as bases e subtrair os expoentes
(a^m)^n = a^m.n
quando a base de uma potência é um produto elevamos cada fator a potência
quando a base de uma potência é um quociente, elevamos cada fator à potência
invertemos a base e o sinal da potência
quando o expoente é negativo devemos inverter a base para tornar o expoente positvo (ex: a^-n = {1/a}^n)
quando o expoente é racional devemos colocar a base em raiz
o resultado é igual a 1
o resultado é igual a ele mesmo
o resultado é negativo
o resultado é positivo
Propriedade das raízes
Raiz de uma potência
Multiplicação de índices e expoentes
Raiz de um produto
Raiz de um quociente
Potência de uma raiz
Raiz de uma raiz
é o próprio número
Se eu multiplicar o índice e o expoente do radicando pelo mesmo número, a raiz não se altera (vale para divisão também)
raiz de a.b = raiz de A . raiz de B
a raiz e o índice vai para o numerador e denominador
o expoente vai para o radicando
mantem o radicando e multiplica os índices
quando se tem uma fração com raíz no denominador o que se deve fazer?
Métodos de racionalizar
deve racionalizar ela, se tem uma raiz de 3 no denominador, por exemplo; multiplique tanto o numerador quanto o denominador por raiz de 3, dessa maneira o denominador ira ser raiz de 9( que é 3) ou seja, acabou de se eliminar a raiz do denominador.
Métodos:
1)Denominador com raiz quadrada: multiplica a fração pela raiz quadrada, isso irá eliminar a raiz do denominador e sobra apenas o radicando
2)Denominador com índice maior que 2: Multiplica o denominador por um raiz de mesmo índice em que o radicando possua um expoente que somado ao expoente do radicando da raiz original se torne o mesmo valor do índice.
3)Denominador com soma ou subtração envolvendo radicais: Produto da diferença de dois quadrados
como transformar dízima periódica em fração??
primeiro você ve qual o período da dízima, por exemplo em 0, 232323 o período é 2 pois o 23 se repete a cada dois algarismos. O período é a quantidade de números ‘9’ que tem no denominador. Já no numerador vai ser o próprio ‘23’. Caso seja uma dízima periódica onde tenha um algarismo antes da vírgula, basta somar esse número á fração que você calculou através do método, assim resultando na solução.
quando podemos classificar que duas grandezas são GDP?
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a divisão entre as variáveis correspondentes é uma constante (a/b = k)
quando podemos classificar que duas grandezas são GIP?
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre as variáveis correspondentes é uma constante (a . b = k); como exemplo temos a função horária do tempo que é (Vm . t = s)
KAGADADECIMAL o que isso significa??
ordem dos nanometros
e como converter
isso significa a tabela de medidas para comprimento, massa, e capacidade
comprimento - Tm Gm(giga) Mm(mega) km hm dam m dm cm mm micrômetro nanômetro picômetro
(ABAIXO DE MM É DE 3 EM 3 ASSIM COMO ACIMA DE KM
massa - kg hg dag g deg cg mg
capacidade - kl hl dal l del cl ml
o último algarismo(ou a vírgula) deve estar na unidade inicial
quando é metro quadrado ou metro cúbico, como você move os algarismos e as vírgulas?
se for cúbico é 2 algarismos por bloco, e cúbico é 3.
relação de metro cúbico com capacidade
1ml é igual a cm3
1l é igual a dm3
1000l é igual a m3
como transformar horas / minutos / segundos
horas pra minutos = 60x
horas pra segundos = 3600x
minutos pra horas = 60 divisão
minutos pra segundos = 60x
segundos pra horas = 3600 divisão
segundos pra minutos = 60 divisão
relação km/s m/s
km/s para m/s basta dividir 3,6
m/s para km/s basta multiplicar 3,6
tabela de relação - km/s 18 /// m/s 5
adcione mais 18 ao km e mais 5 ao m e assim por diante e seguirá proporcional
grandezas que são inversamente proporcionais ao tempo e que caem recorrentemente em provas
máquina - quanto mais máquina menos tempo de produção
ser vivo - quantos mais operários fazerem algo, menos tempo fazendo
torneira - quando mais torneira aberta mais rápido o tanque irá encher
tempo - trabalho 6 horas por dia durante 10 dias, e se eu trabalhar 8 horas por dia? quantos dias precisarei trabalhar
velocidade - quanto mais rápido, menos tempo
duas frações no mesmo lado da equação quando for multiplicação o que se pode fazer?
e se tiver em lados diferentes?
lados iguais , eu posso cancelar denomiandor com numerador caso sejam multiplos
lados diferentes cancela numerador com numerador e denominador com denominador
um número natural N com três algarismos
um número natural N com três algarismo pode ser escrito genericamente dessa forma “N = 100 . z + 10 y + x”
quando uma questão pede a escala (linear) de algo o que isso significa?
escala = distância no desenho/distância real
quando uma questão pede a escala (em área) de algo o que isso significa?
(escala)^2 = área do desenho / área real
como descobrir a densidade demográfica?
densidade demográfica = número de habitantes/ área em km2
quais são as propriedades das proporções
o produto dos meios é igual a dos extremos
troca de posição entre os extremos ou os meios
soma ou subtração de numerador ou denominador da mesma fração
soma ou subtração de numeradores de frações diferentes
soma ou subtração de numeradores e denominadores de frações diferentes
fórmula da recorrência?
te permite calcular o próximo termo em função do anterior
fórmula do termo geral
te permite calcular qualquer termo na sequência, basta saber o número de termos
fórmula do termo geral da P.A
an = a1 + (n -1) . r
fórmula qualquer termo em função de qualquer termo
a4 = a2 + 2r / a116 = a3 + 113r
soma de n termos de uma pa
Sn = (a1 + an) . n / 2
média aritmética
o termo do meio é a média dos equidistantes(termos que tem a mesma distância para o centro)
am = a1 + an / 2
combine a média com a soma de n termos
Sn = am + n
fórmula da concorrência P.G
an = (an-1) . q
fórmula do termo geral P.G
an = a1 . q^n-1
fórmula da soma de N termos P.G (finita)
Sn = a1 (q^n - 1) / q - 1
fórmula da soma de N termos (infinita)
Sn = a1 / 1-q
Notações práticas com P.A
de 3 termos:
de 4 termos:
de 5 termos:
3 - (x-r; x ; x+r)
4 - (x-3a; x-a; x; x+a; x+3a)
onde o “A = r/2
5- (x-2r; x - r; x; x + r; x + 2r )
Notações práticas P.G
de 3 termos:
de 4 termos:
de 5 termos:
3 - (x/q; x; x . q)
4 - (x/a^3; x/a; x . a; x . a^3)
onde o “A^2 = q”
5- (x/q^2; x/q; x ; x . q; x . q^2
O que é módulo
módulo é a distância de um número em relação a origem da reta numérica, portanto o módulo não pode ser negativo.
Propriedade da fatoração
Fator comum em evidência
Agrupamento
dicas para faturar um trinômio perfeito
quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio, esse fator pode conter número e letras, que será colocado na frente de parênteses. Nos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo.
Caso não exista um fator que se repita em todos os termos, usamos por agrupamento. Identifique os termos que podem ser agrupados.
ele será o quadrado da diferença de dois termos (ou a soma)
Defina logaritmos e suas propriedades
log(2)
log(3)
log(5)
Logaritmo é o inverso da potenciação (ex log de 8 na base 2) Qual expoente devemos elevar a base para que o resultado seja 2? esse é o raciocínio
Logaritmando é o 8, base é o 2 e logaritmo é o resultado.
Propriedades: log de potência (cada fator do logaritmando é elevado ao log com a mesma base e depois somado, o mesmo pra quociente porém depois é subtraído)
quando o logaritmando é elevado a um expoente, mova o expoente para o início do log, assim multiplicando o log.
Mudança de base: dividir o logaritmando pela base, onde os dois serão logs de mesma base
se a base é elevada ao expoente, podemos inverter o expoente e move-lo para o início, da mesma maneira em que acontece quando elevemos o logaritmando a um expoente
TABELA DOS LOGS
log(2) = 0,3010
log(3) = o,4772
log(4) = 0,6021
log(5) = 0,6990
log(6) = 0,7782
log(7) = 0,8451
log(8) = 0,9031
log(9) = 0,9542
Propriedades da divisão
vírgula no dividendo e divisor: os dois devem ter o mesmo número de casas após a vírgula para que ela possa ser eliminada.
vírgula apenas no dividendo: reescreva o divisor para que tenha o mesmo número de casa decimais do dividendo, elimine a vírgula.
vírgula apenas no divisor: adcione uma vírgula no dividendo e a quantidade de casas decimais após a vírgula no divisor, deve ser a quantidade de casas com 0 após a vírgula no dividendo. elimine a vírgula.
propriedades números binomiais
desenvolvimento binominal
qual o padrão de desenvolvimento?
atalhos que escondem o padrão
TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON
e dicas importantes para o desenvolvimento
FÓRMULA DO TERMO GERAL
Tp+1 = (np) a^n-p b^p
1) se p = 0 o resultado do binômio é igual a 1
2) se p = 1 o resultado do binômio é igual a N
3)se n = p o resultado é igual a 1
4) um número binomial é igual ao outro se e somente se a + b = n OU a = b ///////// (n / a ) = (n / b )
(a + b ) n = a^n + (n / 1) a^n-1b^1 + (n / 2) a^n-2 b^2 + … + b^n
1) começam com combinações Cn,0 como denominador aumentando um grau
2) potências de A começam em N e diminuem um grau até chegar a 0
3)potências de B começam com 0 e aumentam em 1 grau até chegar a N
(a+b)^n sempre vão ser n+1 termo
Cn,0 = Cn,n = 1
Cn,1 = Cn,n-1 = n
Cn,p = Cn,n-p
(b)^0 = (a)^0 = 1
usa uma linha para cada termo
quando for (a-b)^n utilize colchetes no desenvolvimento binominal, por ex: [a + [-b])
propriedades do triângulo de pascal
triângulo de pascal ate a 8
1) todas as linhas começam e terminam com 1
2) cada elemento (execto o primeiro e o último) é a soma do elemento diretamente acima com o da esquerda
(n / p) = (n / p + 1) = (n + 1 / p + 1)
3) os coeficientes equidistantes das extremidades são iguais (n / p) = (n / n-p)
4) a soma dos coeficientes de qualquer linha sempre dá uma potência de 2
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Propriedade específicas das inequações, inequações simultâneas e inequações exponenciais
se multiplicarmos ambos os lados por algum valor negativo o sinal da inequação deve ser invertido.
Inequações simultâneas são intervalos, portanto o a variável entre o intervalo deve estar sozinha, ex: 12 < x < 16
quando a base estiver entre 0 e 1, devemos inverter o sinal da inequação quando isolamos as potências.
Matriz
tipos de matriz
multiplicação de matriz
calcular determinante
calcular cofator
Propriedades dos determinantes
como calcular matriz inversa
propriedades das matrizes
RESOLVER QUESTÃO FUVES 2000 NÚMERO 31 NO PDF DE MATRIZES.
classficação de um sistema
32 tambem 34 tambem
matriz linha: apenas 1 linha
matriz coluna: apenas 1 coluna
matriz quadrada: número de i e J iguais
matriz retangular: número de i e j diferentes
matriz nula: todos elementos iguais a zero
matriz diagonal: somente os elementos da diagonal principal não são nulos
matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são igual a 1, é uma matriz quadrada e diagonal
matriz transposta: linha vira coluna (A^t)
oposta de uma matriz: inverter o sinal de todos os elementos (-A)
matriz de cofatores: cada elemento é substituído por seu
cofator (A´)
matriz adjunta: matriz transposta de cofatores (Ā)
matriz inversa: (A^-1)
matriz triangular: onde todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulas. Se acima é uma matriz triangular superior, se abaixo é uma matriz triangular inferior
matriz ortagonal: é considerada quando a matriz inversa é igual a matriz transposta.
matriz simétrica: quando a matriz transposta é igual a matriz original
matriz assimétrica: quando a matriz transposta é igual a matriz oposta
diagonal principal: i = j
diagonal secundária: i+j = n+1
traço: soma dos elementos da diagonal principal.
REQUISITOS DO PRODUTO: a quantidade de colunas da primeira deve ser igual a quantidade de linhas da segunda.
multiplicar i da matriz 1 por j da matriz 2. cada linha tem que multiplicar todas as colunas da outra matriz. A ordem da nova matriz será a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda.
constante por matriz: basta multiplicar cada elemento pela constante.
matriz N=1: o próprio elemento
matriz N=2: diagonal principal X diagonal secundária Det (a) = dir - esq
matriz N >= 3: Método Sarrus
repita a primeira e segunda coluna e calcule as diagonais principais e secundárias. Some os resultados de cada diagonal e subtraia a principal pela secundária.
para matrizes n>3 usamos o teorema de laplace, que é o produto de um elemento e seu cofator é igual o determinante da matriz, ou seja, iremos escolher uma coluna com a maior quantidade de 0 possíveis, após isso, iremos cortar a linha e coluna a qual o elemento em questão pertence, daí iremos obter uma matriz de ordem 3. Calculamos o determinante da matriz e o seu cofator para descobrir o sinal, após isso multiplicamos o primeiro elemento escolhido por esse que acabamos de descobrir. Esse será o determinante da matriz.
teorema de binet: caso seja preciso calcular o determinante da matria a x matriz b, invés de multiplicarmos as matrizes e depois calcular o determinante, basta calcular o determinante de cada um e depois multiplicá-los.
o determinante de uma matriz inversa é o 1 sobre o determinante da matriz original
Cofator: Aij = (-1)^i + j . (o elemento que sobrar, após você eliminar a linha ‘i’ e a coluna ‘j’.
1) Fila = uma coluna ou uma linha.
Se multiplicarmos uma linha por uma constante, o seu determinante também será multiplicado por essa constante, ou seja, isso significa que não precisamos calcular o determinante dessa nova matriz, basta multiplica-lo pela constante.
2)Se multiplicarmos um número constante por toda a matriz, o seu determinante será o número elevado a ordem da matriz multiplicado pelo determinante da matriz original
3)Se trocarmos filas paralelas de lugar, isto é, trocar linha por linha ou coluna por coluna, o determinante inverte o sinal.
4)Filas paralelas iguais ou proporcionais, isto é, filas que mantém uma proporção, seja sendo multiplicada/dividida pelo mesmo número ou somada/subtraída. Por exemplo a coluna 2 é igual a coluna um porém multiplicada por 3, quando acontece isso o determinante será igual a 0.
5)Combinação linear de filas, isto é, quando por exemplo a 3º fila é a soma da 1º e o dobro da 2º, ou a soma da 1º com a 2º(seja lá qual for a operação, desde que siga o padrão de fila por fila) o determinante será 0.
o determinante da raiz transposta é o mesmo do que a original.
matriz inversa:
A^-1 = 1/det(a) . Ā
Matriz x Matriz inversa = Matriz Identidade (portanto, a matriz inversa será representada genericamente,e assim iremos multiplicar uma matriz e outra. Formando um sistema de equações quando igualamos a matriz identidade.
BIZU Regra prática para inversa de matriz 2x2:
1)Calcular o determinante da matriz original
2) Inverter posições dos elementos da diagonal principal. Trocar os sinal dos elementos da diagonal secundária.
3) Dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original.
Propriedade das matrizes
Multiplicar uma matriz pela identidade, resulta na própria matriz.
Multiplicar a matriz por sua inversa resulta na matriz identidade.
classficação de um sistema através de escalonamento:
Última linha não nula do sistema escalonado - todos coeficientes nulos e termo independente não nulo: SI
Última linha não nula do sistema escalonado - pelo menos um coeficiente não nulo - grau de liberdade for igual a 0 é SPD, caso seja diferente de zero e número positivo= SPI.
Propriedades algébricas e de polinômios
-Se o produto de 2 números resulta em 0
-Como determinar o que é um nômio (termo)
-Determinar o grau de um polinômio
-Valor numérico de um polinômio
-igualdade entre polinômios
-operações básicas entre polinômios
-Teoremas fundamentais
-Isso significa que um dos é igual a zero (iguale cada termo igual a zero e resolva à equação, provavelmente irá se encontrar um intervalo ou valor de x).
-ele precisa ter as seguintes características: -sinal; coeficiente; variável(signo) e expoente
obs: podem existir variáveis elevadas a 1 ou seja não haverá nada em cima da variável, assim como podem existir termos independentes onde a variável é elevada a 0 logo ela não aparece.
expoentes DEVEM ser números NATURAIS.
-É o maior expoente da variável de um polinômio.
- Semelhante as funções. F(x) substitui o x na equação e resultará em um valor numérico, caso o valor seja igual a 0 , significa que o valor é a raiz do polinômio. Caso p(1), o valor numérico será a soma dos coeficientes.
-organizar a equação normalmente se passa tudo para o primeiro termo, assim podemos começar a manipular esse polinômios, normalmente se usa bastante fatoração nesse caso, usualmente se tem diversos termos com o mesmo grau apenas não fatoramos. Fazemos isso até ficar o mais enxuto e organizado possível, para assim partirmos para as operações a fim de descobrir a incógnita.
- adição e subtração: fazer as operações com os termos de mesmo grau. obs - na subtração basta inverter os sinais do segundo termo.
multiplicação: cada termo deve multiplicar cada termo do outro polinômio.
divisão tradicional entre polinômios:
Organize os Polinômios: certifique-se de que todos os graus estão representados, mesmo que seja necessário adicionar termos com coeficiente zero.
Divida os Termos de Maior Grau: inicie a divisão pelo termo de maior grau do dividendo, encontrando o termo que, multiplicado pelo divisor, se aproxima ou iguala esse termo.
Subtraia e Repita: após multiplicar todos os termos do divisor pelo valor do passo 2 e subtrair dos termos equivalentes do dividendo, repita o processo para o polinômio resultante até que o grau do resto seja menor que o do divisor.
O seu resultado será p(x) = q(x) . d(x) + r(x) // q = quociente; d = divisor; r = resto.
divisão Briot Ruffini
só pode ser feita quando o divisor for do tipo: x +- b
. Listagem dos Coeficientes: inicie listando os coeficientes do polinômio em ordem de grau.
- Determinação da Raiz: para o divisor , use como raiz. Se o divisor for , utilize como raiz.
- Repetição do Primeiro Coeficiente: o primeiro passo do processo é copiar o primeiro coeficiente do polinômio para a linha abaixo.
- Processo de Multiplicação e Adição: multiplique o primeiro coeficiente pela raiz do binômio e some o resultado ao próximo coeficiente. Coloque o resultado no próximo espaço vazio da segunda linha. Repita sequencialmente, para cada resultado da segunda linha.
- Resultados: os resultados obtidos na segunda linha representam os coeficientes do quociente, exceto o último número que indica o resto.
Teoremas:
Teorema do resto: o resto da divisão de um polinômio p(x) por um binômio (x-a). Será p(a). [basta substituir o ‘a’ com o sinal invertido no polinômio que é o dividendo, e fazer as operações. O resultado será o resto.
Teorema de D´alembert: Um desdobramento do teorema do resto, caso o resultado do valor numérico do polinômio seja 0 quando substituímos o ‘a’, isso significa que a divisão é exata.
Teorema do Fator: se p(a) = 0, isso significa que (x - a) é um fator de p(x). Ou seja se (x - a) é um fator de p(x), p(a) é = 0.
Se resto da divisão de p(x) por q(x) for igual 0, então q(x) é fator de p(x).
BIZU NÉCTAR: nas provas é bem provável que as raízes do polinômio estejam entre 1 e 3(tanto negativo como positivo)
Sistemas lineares
métodos de resolução desse sistemas
classificação de sistemas
1)isolar a variável
2) somar termos com sinais opostos. Um ponto crucial é que podemos multiplicar a equação por uma constante para que consigamos eliminar alguma variável.
3) escalonamento. Normalmente se usa em um sistema com 3 variáveis/equações ou mais. Consiste em escolher uma equação e uma variável mais próxima de 1, desse modo uso os 2 modos anteriores para eliminar a variável nas outras equações, assim formando um novo sistema de 2 que provisoriamente servirá como um sistema para descobrir uma das variáveis.
4)Método de crammer. Podemos representar um sistema linear através de equações matriarcais, assim como descobrir o valor de variáveis através de um método que consiste em descobrir o determinante da matriz, após isso, substituir a coluna dos coeficientes da respectiva variável com os resultados das equações lineares. Obtendo-se esses dois determinantes divida o determinante da variável pelo determinante da matriz original, isso resultará no valor da variável. Matriz A . Matriz [x,y,z] = [resulados das equações lineares.
Existem 3 tipos:
Sistemas possíveis determinados (SPD)
Sistemas possíveis indeterminados (SPI) - Normalmente uma variável como parâmetro para justificar os valores das restantes em função dessa.
Sistemas impossíveis (SI)
Grau de liberdade: define se um sistema é determinado ou indeterminado. Grau de liberdade = variáveis - posto
variáveis = quantidade de variáveis.
posto = quantidade de equações não nulas e diferentes no sistema.
Caso o valor seja 0 é um SPD, caso seja um número inteiro e positivo é SPI
Sistema impossível é aquele que não possui solução, ou seja, as equações se contradizem e são ambíguas.
Bizu: usando o teorema de crammer,
D diferente de 0 = SPD
D = 0 = SPI caso todos os D das outras variáveis seja igual a 0
D = 0 = SI caso possua alguma variável diferente de 0.
propriedade do corta corta. Cuidado. (raiz de x elevado ao quadrado)
sabemos que pela propriedade podemos cortar, porém nesse caso não sabemos o sinal de x, portanto devemos fazer o módulo de x e a solução para as duas possibilidades e testar qual é a certa
uma propriedade interessante da P.A quando se tem 3 termos
o 2 termo - o 1 = o 3 termo - 2
quanto temos uma equação que para todo x a igualdade é verdadeira
temos uma identidade, portanto os coeficientes no primeiro termo tem que ser iguais aos termos
nome dos algarismos após a vírgula
1º após a vírgula: décimo;
2º após a vírgula: centésimo;
3º após a vírgula: milésimo;
4º após a vírgula: décimo de milésimo;
5º após a vírgula: centésimo de milésimo
quadrado da soma de três termos
(a^2 + b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
fórmula permutação caótica
n! [1 / 0! - 1/1! + 1/2!….]
questão típicas do ENEM
quando eu tenho uma certa situação, na qual a probabilidade de algo é acontecer é X e eu quero que essa probabilidade aumente ou diminua para algum fim. Eu irei mudar alguma coisa na minha situação para que isso ocorra, e ai a pergunta vai ser? O quanto eu preciso para que a probabilidade de certa coisas acontecer seja menor/maior que um valor. Como resolver isso?
Normalmente resolve-se com Log.
Ou seja, para que a probabilidade de eu acertar ser maior que 9/10, tendo em vista que cada tentativa eu tenho 1/2 de acertar, quantas vezes eu preciso jogar?
1/2 elevado a N, que é a quantidade de vezes que eu preciso jogar é maior que 9/10.
Joga pra log e resolve que o N irá se revelar
Sistema binário, como funciona
Sistema binário é base 2, ou seja o primeiro algarismo da direita para a esquerda é 2^0, o segundo é 2^1 e assim por diante
o que são números primos entre si
aqueles que tem apenas o 1 como MDC
Diferença entre MDC e MMC e suas aplicações
O MDC é útil quando queremos o maior número que divide exatamente dois ou mais números. Ou seja, se temos dois valores, e precisamos dividir esses valores em partes que tenham a mesma QUANTIDADE, usamos o MDC. Isto é, caso eu tenho 400 ingressos do tipo A, e 320 do tipo B, e eu preciso dividir esses ingressos igualmente entre cinemas, com a condição de que eles não podem se misturar, quantos ingressos serão divididos para cada cinema? Podemos usar também para descobrir o máximo divisor entre frações.
já o MMC é útil quando queremos o menor número que é múltiplo de dois ou mais números. Usado para somar frações com denominadores diferentes ou sincronizar eventos que se repetem. Por exemplo, O menor número que é múltiplo de dois ou mais números. Usado para somar frações com denominadores diferentes ou sincronizar eventos que se repetem.
Na formula da soma de N termos, dentro do parêntesi, podemos usar que termos?
Na fórmula da soma dos termos de uma PA podemos utilizar, dentro dos parêntesis, a soma de quaisquer dois termos equidistantes, ou seja que tenham a mesma distância para os termos centrais da sequência. Essa soma será uma constante na PA.
Media aritmética (DENTRO DE PROGRESSÕES ME)
termos equidistantes somados resultam no termo médio a progressão
Variação de porcentagewm
(Valor final - Valor incial / Valor inicial ) . 100
questão de achar a linha do número 2022
o resto é a coluna, o resultado somado 1 é a linha
símbolos de intervalo
1 [a, b]
2 (a, b)
3 [a, b)
4 (a, b]
5 a ⊢ b
1 Intervalo fechado; inclui ambos os extremos
2 Intervalo aberto; exclui ambos os extremos
3 Intervalo semiaberto ou semicerrado à direita, inclui A mas excluí B
4 Intervalo semiaberto ou semicerrado à esquerda
5 mesmo que o 3
divisão diretamente proporcional
e inversamente
(x / 20) = k ou seja 20.k é o valor que o cara vai receber
inversamente: 20x = k ou seja k/20 é o valor que o cara vai receber
