geometria Flashcards
o que é um polígno?
um figura geométrica cujo nenhum segmento se cruza, exceto em suas extremidades
o que é um polígono convexo
um polígono convexo é quando qualquer segmento de reta PQ está contido no interior ou lado do polígono
o que é a diagonal de um polígono
é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos
o que significa lado ou ângulos serem congruentes?
quer dizer que tem a mesma medida
o que é um polígono regular?
quando os seus ângulos internos e lados são congruentes e é um polígono convexo
defina os triângulos:
triângulo isósceles
triângulo retângulo
triângulo escaleno
triângulo equilátero
isósceles: dois lados congruentes e dois ângulos internos congruentes adjacentes a base *a base é sempre o lado não congruente
retângulo: possui um ângulo reto
escaleno: possui três medidas de ângulos e lados diferentes
equilátero: todos os lados e ângulos são congruentes
OS QUATRO PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO E O PORQUE DELES SE COINCIDIREM NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
o que é ceviana de um triângulo
defina os tipos de ceviana que são pontos notáveis:
1 - mediana
2 - bissetriz
3 - altura
4 - mediatriz
qualquer segmento que liga uma vértice ao uma (reta suporte) no lado oposto
1-divide a reta suporte um duas partes congruentes. Todo triângulo tem 3 três cevianas e o centro em comum das três é chamado de baricentro ou ponto g. O ponto g divide o segmento da mediana em uma escala 2:1.
2-um segmento de reta que divide um ângulo em duas partes congruentes. Existe a bissetriz interna e externa. Todo triângulo tem três bissetriz e o único ponto em comum entre elas é chamada de incentro, esse ponto é o centro de uma circunferência inscrita na figura. O raio da circunferência produz um ângulo de 90º graus
3 - a altura de um triângulo é um segmento que sai do vértice até o lado oposto ao vértice. Esse segmento é uma reta perpendicular portanto sempre forma um ângulo 90º no lado oposto ao vértice. o encontro das três alturas é o ortocentro. As alturas podem sair para fora do triângulo
4-são retas perpendiculares passando pelo ponto médio do seu lado. Quaisquer ponto nesse segmento é equidista nas extremidades de um segmento. Todo triângulo possui três e o único ponto em comum entre elas é chamado de circuncentro, pois é o centro de uma círculo circunscrito na figura.
defina os triângulos
triângulo acutângulo
triângulo obtusângulo
triângulo retângulo
acutângulo: todos os ângulos internos são menores que 90º
obtusângulo: apresente um dos ângulos internos maior que 90º
retângulo: apresenta um ângulo de 90º
defina o que é trapézio e seus subconjuntos:
trapézio escaleno
trapézio isósceles
trapézio retângulo
propriedades
trapézio é um polígono cujo dois lados são paralelos
escaleno: que tem base paralelas e os lados adjacentes não congruentes
isósceles: dois lados congruentes e dois ângulos congruentes
retângulo: dois ângulos congruentes
a soma dos ângulos do mesmo lado adjacente deve ser igual à 180º
a base média divide os lados adjacentes em duas partes congruentes. a base média é a média aritmética das bases.
Propriedades:
base que intercepta o encontro das diagonais:
esse ponto divide a base no meio;
um lado dessa base é igual o produto entre as bases originais sobre a soma das bases originais;
a medida da base inteira é igual a 2vezes o produto das bases originais sobre a soma das bases originais.
defina paralelogramos e seus subconjuntos
conceitos básicos
retângulo
quadrado
losango
ordem dos maiores para os menores
paralelogramos são quadriláteros em que seus lados opostos são paralelos.
1)lados opostos congruentes; traçando uma diagonal no paralelogramo temos pela propriedade das retas paralelas lados opostos congruentes, pois teremos a congruência de ALA.
2)ângulos opostos congruntes
3)As diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.
Retângulo:
Paralelogramo com todos os ângulos retos;
Diagonais de mesmo tamanho, e o ponto médio entre as diagonais divide elas em partes iguais.
losângulo:
equilátero;
as diagonais são bissetrizes;
o encontro das diagonais dividem elas na metade e são perpendiculares entre si.
quadrado:
todas as propriedades do losângulo e retângulo são válidas para o quadrado.
1) o baricentro de um paralelogramo divide a mediana em duas partes iguais.
T > P (R > Q < L)
volume do cilindro;
área do cilindro.
V = πR^2 . h
At = 2πR(h + R)
área lateral do cone
área da base do cone
Área total
Volume do cone
Al = πRg
Ab = πR^2
At = πR(g+R)
V = 1 / 3 πR^2 . h
O que é geratriz e como calcular
geratriz é a medida da face
g^2 = r^2 + h^2
Trigonometria em triângulos
ângulo e suas formas de medidas
o que são razões trigonométricas.
(SOH CAH TOA)
(Cos Sec Cotg)
Unidades de medida: graus e radiano
Graus: uma circunferência é dividida em 360 partes, cada parte é um 1 ângulo. 1 ângulo são 60 minutos e 1 minuto são 60 segundos (isso não tem relação alguma com as horas).
Radianos: 1 radiano é a medida igual ao comprimento do raio da circunferência.
o raio de qualquer circunferência cabe π vezes na meia volta.
ou seja π = 180º; 2π = 360º
Arco = parte da circunferência, parte de um círculo.
Fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência: C = 2π . r
Conversões:
Grau para radiano
1) multiplica por π e divide por 180º
Radiano para grau:
1) substitui o π por 180º e faça as operações.
Razões trigonométricas.
cosseno: é o comprimento da projeção ortagonal da hipotenusa em porcentagem. Ou seja, imagine um prédio, ao inclinarmos esse prédio para baixo ele projetará uma sombra no chão, e o comprimento dessa sombra se dá pela razão entre o tamanho do prédio pelo tamanho da sombra. Ou seja, o ângulo entre essas duas retas define o o comprimento da sombra projetada.
seno: o seno é a reta que define o tamanho do prédio quando ele está sendo inclinado, e segue o mesmo raciocínio do cosseno, porem dessa vez para definirmos a medida vertical.
SOH CAH TOA
sen = cateto oposto / hipotenusa (vertical)
cos = cateto adjacente / hipotenusa (horizontal)
tan = cateto oposto / cateto adjacente (razão entre cosseno e seno)
Cossecante = 1 / sen(x)
Sec = 1 / cos(x)
Cotg = cos(x) / sen(x)
Lei dos senos
A lei dos senos afirma que a razão entre cada lado do triângulo e o seno do ângulo oposto é igual à , sendo o raio da circunferência que a circunscreve.
útil quando: você sabe os comprimentos de dois lados de um triângulo e o ângulo oposto a um desses lados, ou se você sabe os comprimentos dos três lados do triângulo.
Lei dos cossenos: Essa fórmula permite encontrar o comprimento de um lado desconhecido de um triângulo quando se conhece os comprimentos dos outros dois lados e o ângulo entre eles, ou encontrar um ângulo quando se conhecem os comprimentos dos três lados.
lado qualquer^2 = lado restante^2 + outro lado restante^2 -2 . lado restante . lado restaten . cos (ângulo oposto do lado qualquer)
Tabela medida da circunferência de radianos para graus
π/6 = 30º | π/4 = 45º | π/3 = 60º | π/2 = 90º | 2π/3 = 120º| 3π/4 = 135º| 5π/6 = 150º| π = 180º | 7π/6 = 210º | 5π/4 = 225º | 4π/3 = 240º |3π/2 = 270º| 5π/3 = 300º | 7π/4 = 215º | 11π/6 = 330º | 2π = 360º
geometria: conceitos básicos
tipos de retas e postulados
segmentos de reta
ângulos / convexo x côncavo
Retas concorrentes: duas retas que possuem apenas um ponto em comum.
Retas paralelas: duas retas que são paralelas entre si ou são retas coincidentes que são retas que possuem todos os pontos em comum.
Retas reversas: São retas que não estão no mesmo plano e nunca se cruzam.
Postulado: se uma reta intercepta outra duas retas, formam-se ângulos internos, e se a soma de dois ângulos internos do mesmo lado forem menor que 180º essas retas são concorrentes, se a soma for igual à 180º essas retas são paralelas.
reta é diferente de segmento, segmento é a distância em um reta de dois pontos distintos
segmentos colineares: segmentos que estão na mesma reta suporte, ou seja, que compartilham da mesma reta.
segmentos consecutivos: são segmentos que compartilhar de um extremidade em comum, seja na mesma reta ou não
segmentos adjacentes: quando são colineares e consecutivos ao mesmo tempo, e possuem apenas um ponto em comum.
ponto médio de um segmentos: um ponto que divide o segmento em dois segmentos congruentes.
convexo = qualquer figura que quando definidos dois pontos na parte interna da figura e traçados uma reta entre eles, forma um segmento de reta contido no interior da figura, côncavo é ao contrário.
ângulos: diferença de direção entre semirretas
ângulos adjacentes: dois ângulos são adjacentes quando não possuem nenhum ponto interno em comum
ângulos consecutivos: quando um lado de um deles coincide com o de outro
ângulos OPV: ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Condição de existência: os lados desse ângulos são as retas opostas dos lados do ângulo oposto.
ângulo raso = 180º
ângulo reto = 90º
ângulo agudo = < 90º
ângulo obtuso = > 90º
ângulo complementar = a soma de dois ângulos é 90º
ângulo suplementar = a soma de dois ângulos é 180º
ângulo replementar = a soma de dois ângulos é 360º
ângulo explementar = a diferença de um ângulo para o outro é 180º
bissetriz = semireta que divide o ângulo em duas partes iguais.
como descobrir o comprimento de um arco
inscrito x circunscrito
Comprimento do arco = comprimento de ab / comprimento do raio
podemos descobrir também através do ângulo central. (quando o polígono é regular.
Ac = 360 / n
inscrito: dentro
circunscrito: fora
Polígonos
soma dos ângulos internos;
soma dos ângulos externos;
soma do número de diagonais totais
propriedades
1 - Si = (n-2) . 180º
2 - Se = 360 º
3 - Sd = n(n-3) / 2
ângulos externos são sempre suplementares de ângulos internos
polígonos regulares inscritos na circunferência.
triângulo isósceles
quadrado inscrito (circunscrito)
hexágono inscrito (circunscrito)
triângulo equilátero inscrito (circunscrito)
peculiaridades de polígonos inscritos e circunscritos
apótema - parte do centro da figura até um lado da figura, formando um ângulo de 90º.
ângulo central - podemos descobrir o ângulo central também.
através dessa relação, conseguimos algumas fórmulas para descobrir certas medidas
isósceles - R^2 = An^2 + (Ln / 2) ^2
an = apótema.
quadrado =
L = r. raiz de 2
a = r . raiz de 2 / 2
hexágono inscrito:
L = r
a = r . raiz de 3 / 2
triângulo equilátero:
L = r . raiz de 3
a = L / 2
circunscrito (o raio é a apótema e vice versa)
triângulo equilátero:
L = 2r. raiz de 3
Quadrado circunscrito:
L = 2r
Hexágono circunscrito:
L = 2. raiz de 3 / 3
quando temos um polígono inscrito o segmento do ângulo central é o raio, e a apótema é o segmento que divide o lado em duas partes congruentes.
quando temos um polígono circunscrito o segmento do ângulo central não é mais o raio, a apótema é o próprio raio.
Teorema angular de tales.
postulado 1 e postulado 2
1) A soma dos ângulos internos sempre é 180º
2)O ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos dois ângulos não adjacentes a ele.
fórmula da diferença das tangentes
Tg(a - b) = tg(a) - tg(b) / 1 + tg(a) . tg(b) (a soma só muda os sinais)
congruência de triângulos
LAL
ALA
LAA
LLL
LAL: Se dois triângulos tiverem dois lados e o ângulo entre esses lados congruentes, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes.
ALA:Se o lado e os ângulos adjacentes de dois triângulos forem congruentes ordenadamente, podemos afirmar que os triângulos são congruentes.
LAA:Se dois lados, os ângulos adjacentes, e os opostos a esses lados forem iguais, esses triângulos são congruentes.
LLL:Se os três lados de dois triângulos são ordenadamente congruentes, esses triângulos são congruentes.
relações métricas de um triângulo
BAM CAN HMN BCAH BHCN BMCH
b^2 = an
c^2 = am
h^2 = mn
bc = ah
bh = cn
ch = bm
1/h^2 = 1 / b^2 + 1/c^2
quadriláteros
princípios básicos
quadriláteros notáveis
A soma dos ângulos internos é 360º, assim como a dos externos
Conseguimos dividir todo quadrilátero em 2 triângulos
Fórmula da área do retângulo, losango e trapézio
R^2 = B . h | R^2 = B . hipotenusa . sen(x)
L^2 = D . d / 2 /////// D = diagonal | d = outra diagonal
T^2 = (B + b) . h / 2
Formula área do triângulo
Genérica: A = b . h / 2
Equilátero = A = l^2 raiz de 3 / 4 (retirando o expoente se torna a fórmula da altura e trocado o 4 por 2)
retângulo = A cateto maior x cateto menor / 2
Pelo seno = a . b . sen(x) / 2
Conhecendo os dois lados e o seno do ângulo entre eles: l^2 . sen(2x) / 2
fórmula de heron = A = raiz de semiP . (p-a) . (p-b) . (p-c)
fórmula da soma de dos senos:
sen(a +- b) (canção do exílio)
cos(a +- b)
arco duplo relações:
sen(2a)
cos(2a)
tg(2a)
metade de um arco duplo:
sen(a/2)
cos(a/2)
tg(a/2)
Soma e diferença de arco em produtos:
sen(p) + sen(q)
sen(p) - sen(q)
cos(p) + cos(q)
cos(p) - cos(q)
relação básica da trigonometria
sen(x)^2 + cos(x)^2 = 1
Fórmula da soma dos arcos:
sen (x + y) = sen(a) . cos(b) + cos(a) . sen(b) (subtraindo só mudo o sinal)
cos(x + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b) (subtraindo só muda o sinal)
Arco duplo:
sen(2a) = 2sen(a) . cos(a)
cos(2a) = cos(a)^2 - sen(a)^2
tan(2a) = 2tan(a) / 1- tan^2(a)
metade de um arco duplo:
cos(a/2) = +-raiz de (1+cos(a) / 2)
sen(a/2) = +-raiz de (1-cos(a) /2 )
tg(a/2) = +-raiz de (1-cos(a) / 1 + (cos(a) )
Soma e diferença de arco em produtos:
sen(p) + sen(q) = 2sen( p+q / 2 ) . cos( p-q / 2 )
sen(p) - sen(q) = 2sen( p-q / 2 ) . cos( p+q / 2 )
cos(p) + cos(q) =2cos(p+q / 2 ) . cos( p-q / 2 )
cos(p) + cos(q) =2sen(p+q / 2 ) . sen( p-q / 2 )
Simetria de ângulos das funções trigonométricas
simetria nas cofunções
ângulo do primeiro quadrante.
2 quadrante: 180 - a
3 quadrante: 180 + a
4 quadrante: 360 - a
Existe uma simetria nos valores das razões trigonométricas, é o mesmo valor em módulo, o que muda é o sinal, de acordo com o sinal dos quadrantes
Seno e cosseno
sen(x) = cos(90 - x)
cos(x) = sen(90 - x)
Tangente e cotagente
tg (x) = cotg(90 - x) e vice versa
secante e cossecante
sec(x) = cossec(90 - x) e vice versa
função tangente: seu domínio
função trigonométrica: explique cada elemento
O domínio da função tangente = [x pertence aos reais / x não pertence a pi/2 + kpi
f(x) = |A| sen(bx + c) + d
A = módulo da amplitude
b = número de ciclos | período = 2pi / b
c = translação horizontal
d = translação vertical
as retas prolongadas de um ângulo central alfa forma o que
forma um metade do ângulo alfa
quanto temos um triângulo A = 50, C = 30 e B = 40 nessa ordem, temos:
temos que M é igual a N
como achar o sen(4a)
use a seguinte relação, 2x = 2.2a
invés de na fórmula ser 2sen(a) . cos(a) será 2sen(2a) . cos (2a)
o suplementar do cosseno de um ângulo .
e o suplementar do seno de um ângulo.
cosseno: o suplementar do cosseno de uma ângulo é -cos(x). (é o próprio ângulo porém negativo)
seno: o suplementar do seno de um ângulo é o próprio sen(X)
quando o enunciado te informar o valor da tangente o que fazer?
faça um triângulo retângulo e descubra o cateto oposto e o adjacente para descobrir o seno e o cosseno.
podemos multiplicar os meios pelos extremos também.
bizu para ajudar interpretar o gráfico de funções trigonométricas
As vezes pode ser necessário visualizar o gráfico em quadrantes, lembre-se caso você tenha o valor de um sen, ele será simétrico em módulo nos outros quadrantes
bizu zig zag
os soma dos ângulos da direita tem que ser igual os ângulos da esquerda (anotação em teorema de tales)
teorema da bissetriz do ângulo interno de um triângulo
toda vez que há uma bissetriz no ângulo interno de um triângulo existe uma proporção entre os lados adjacentes ao ângulo e opostos a ele (teorema de tales) ou seja, o lado adjacente está para o lado oposto
propriedades dos segmentos tangentes
Se duas retas concorrentes tangenciam a mesma circunferência, os lados tangentes são congruentes, devido a congruência de triângulos ALL (ângulo de 90º com raio já que é reta tangente a circunferência, raio igual e bissetriz do triângulo maior é o lado de ambos os triângulos)
posição entre duas circunferências.
secantes;
tangentes;
internas;
concêntricas;
secantes: possuem dois pontos em comum; a distância de um centro para o outro está entre |r1-r2| < O1,O2 < r1 + r2
tangentes externa: Possuem um ponto em comum, a distância entre os centros é r1 + r2.
tangentes internas: Possuem um ponto em comum, a distância entre os centros é |r1 - r2|.
internas: nenhum ponto em comum e a distância entre os centros é < |r1 - r2|.
concêntricas: o1 = o2
calcular a área de um triângulo retângulo através de trigonometria
área do triângulo retângulo = ca . co / 2
Ex = sen(X) = co / h | h . sen(X) = co
fazemos a mesma coisa com o ca, e basta substituir na fórmula
ângulos na circunferência:
ângulo central;
ângulo inscrito;
ângulo de segmento (semi-inscrito);
triângulo retângulo inscrito na circunferência;
ângulo central é o qual possuí vértice no centro da figura e a sua medida é igual o comprimento do arco.
ângulo inscrito é o ângulo cujo vértice está tocando a circunferência e sua medida é metade do ângulo central.
ângulo de segmento (semi-inscrito): é o menor ângulo entre a reta tangente e a reta secante que passa pelo ponto de tangência. Sua medida é metade do arco.
triângulo retângulo inscrito na circunferência sempre tem um ângulo de 90º(normalmente tangente a circunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro.
quando o enunciado possuir as seguintes frases “triângulo inscrito na semicircunferência; lado é diâmetro; diâmetro é hipotenusa” o que isso implica?
implica que há a existência de um triângulo retângulo na circunferência.
potência de ponto:
1)cruzamento entre duas cordas;
2)Dois segmentos secantes partindo do mesmo ponto;
3)Um segmento secante e um segmento tangente;
1)Existe um ponto em comum entre os dois segmentos, que possuí um ângulo OPV, e caso o outro ângulo seja congruente em ambos os triângulos, isso significa que são triângulo semelhantes, logo os segmentos podem ser calculados a partir da potência de ponto onde PA . PB = PC . PD
2)vão estar observando o mesmo arco, portanto possuíram o mesmo ângulo. PA . PB = PC . PD
3)nesse caso falta um segmento portanto devemos elevar ao quadrado o segmento isolado, logo ficará (PA)^2 = PB . PC
Fórmula calcular a área de um polígono regular
Apol = n . l . a(apótema) / 2
para calcular a área basicamente precisa-se dê que
sempre procure a base da figura, e sua altura, podemos usar nas figuras as razões trigonométricas para substituir a altura pela hipotenusa multiplicando o seno
área de região circulares
setor circular:
segmento circular:
coroa circular:
lúnula
comprimento do arco
setor circular: (0 / 2pi ) . piR^2 *se o ângulo estiver em graus use 360 [R^2.ângulo /2]
segmento circular: basta calcular a área do triângulo e subtrair com a área do setor circular, Fórmula R^2 / 2 (0/ 180 pi - sen(0)) *se tiver em graus basta substituir por 180 nessa fórmula.
Coroa circular: subtrair uma área pela outra. Fórmula pi(r1^2 - r2^2) r1 > r2
comprimento do arco: ângulo . R (quando em radianos)
(ângulo / 360) . 2piR
fórmula lar
o comprimento do arco é igual o ângulo entre os segmentos e o raio ( l = r . a) se tudo estiver na mesma medida você receberá o valor em radianos
medida do ângulo central do setor circular
0(deta) = 360 . R / g
regra de três para descobrir o comprimento do arco (funciona para a área tbm)
2πR - 360
(comprimento do arco) - (ângulo do arco)
O raio substituí só depois
caso eu tenha figuras dentro de uma figura, cujo a área dessas figuras são iguais. Isso implica em que?
isso implica que a área dessas figuras vai ser a área da figura dividido sobre a quantidade de figuras
recebeu dois lados de um triângulo, o que pode se fazer
posso calcular a área se tiver o ângulo entre eles, ou o ângulo se tiver a área.
se a questão me der o raio de uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo, o que pode se tirar disso?
podemos formar um quadrado com o raio em relação ao ângulo de 90 e podemos usar os lados do raio para usar o teorema do chapéu de palhaço
fórmula para calcular a área de um quadrilátero através das diagonais
Diagonal x 2 Diagonal x Sen(a) /2
o ângulo deve ser agudo
relação de euler
em todo poliedro convexo vale a relação fundamental euler:
V - A + F = 2
soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo
S = (V-2) . 360
o que é um poliedro convexo regular e a diferença para os de platão
todas as faces possuem o mesmo número de arestas
de cada vértice, parte o mesmo número de arestas
todas as faces são polígonos regulares e congruentes entre si.
a diferença para o poliedro de platão é que no de platão as faces não são polígonos regulares.
o que é um prisma
Um prisma é um sólido geométrico no qual duas de suas faces são chamadas de base. Ou seja um prisma é o poliedro que tem duas bases.
Explicação: imagine dois planos paralelos, em que se desenha uma figura geométrica plana em um deles e espelha-se essa figura no plano paralelo. (essas são as bases). Os vértices dessas duas figuras planas irão ser ligados por arestas que formaram faces, essas por sua vez serão chamadas de face lateral, e as arestas de arestas laterais.
As faces laterais sempre são paralelogramos
volume do prisma;
quando dois prismas possuem área equivalentes
V = área da base . h
quando a área da base e a altura forem iguais os dois prismas tem áreas equivalentes
diagonal de um paralelepípedo
D = raiz de a^2 + b^2 + c^2 -2ab. cos(a)
(caso for um paralelepípedo reto retângulo elimina-se essa parte “-2ab.cos(a)”
área de um paralelepípedo e volume
At = 2(ab + bc + ac)
V = a . b . c
diagonal de um cubo
lado . raiz de 3
o que é uma pirâmide regular
Dizemos que uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice é o centro da base. Nesse caso, as arestas laterais são todas congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles.
área da pirâmide;
área do volume
área da base + área lateral
1 / 3. área da base . h
fórmulas para pirâmides regulares
pode se usar bastante o teorema de Pitágoras. Por ex:
(ap) ^2 = (h)^2 + (apBase) ^2
ap = apótema
tetraedro regular fórmulas
(você sempre pode chegar nessa fórmulas através do teorema de Pitágoras *em pirâmides tbm)
-todas suas arestas são congruentes
-todas as faces são triângulos equiláteros
At = a^2 raiz de 3
altura = a . raiz de 6 / 3
volume = a^3 raiz de 2 / 12
semelhança entre sólidos geométricos, especialmente em pirâmides
Temos três regras básicas para quando 2 sólidos 3D são semelhantes:
Existe proporcionalidade entre medidas lineares correspondentes (altura, aresta, apótema…) e a constante de proporcionalidade será chamada de 𝑘;
Existe proporcionalidade entre áreas equivalentes (área da base, área da face lateral…) e elas são vinculadas por uma constante de área 𝑘²;
Existe proporcionalidade entre os volumes equivalentes e eles são vinculados por uma constante de volume (𝑘³).
volume do tronco de uma pirâmide regular
existem dois caminhos
Fórmula do Tronco da pirâmide
Dado o tronco de uma pirâmide de altura e áreas das bases e , o cálculo do seu volume será dado por:
Vt = Ht / 3(A1 + A2 + raiz de a1.a2
Segundo método
subtrair o volume da pirâmide maior pelo volume da menor
a maior distância entre dois vértices no paralelepípedo
é a diagonal
quando temos a soma de todas as arestas de um polígono, podemos fazer o que
podemos dividir ela pelo número de cada aresta para obter a soma das arestas únicas
em um poliedro onde todas as faces são triângulos como descobrir o número de arestas
A = 3f / 2
pois cada face possuí três arestas e essa arestas estão em duas faces
falou em cilindro equilátero?
o diâmetro é igual a altura.
volume da esfera
área da superfície da esfera
V = 4 / 3 πR^3
A = 4πR^2
falou que o cone é equilátero?
a Geratriz é igual a 2R
Fórmulas para aplicar no tronco de um cone
1)Envolve Volume
2)Envolve Geratriz
3)Área lateral do tronco de cone
1)Vt = πhr /3 (R^2 + r^2 + Rr)
Gt^2 = ht^2 + (R-r)^2
Alt = πGt(R+r)
como saber se três pontos são colineares.
Para saber se três pontos são colineares, basta calcular o determinante de suas coordenadas e verificar se ele é nulo
como podemos manipular a fórmula do ponto médio de um ponto na geometria analítica
o ponto médio é x1 + x2 / 2 = M
se tivermos M descobrimos um ponto
se tivermos os pontos descobrimos o ponto médio
como calcular as coordenadas de o baricentro de um triângulo
basta realizar a média aritmética dos Pontos X e pontos Y.
como encontrar a equação geral da reta sabendo apenas dois pontos?
Basta fazer o determinante de suas coordenadas criando dois parâmetros (x,y) para os termos ausentes. Assim você terá a equação geral da reta
como encontrar a equação reduzida da reta
meu xoxo yoyo
nesse caso, precisamos apenas do coeficiente angular. basta fazer a tangente desse ângulo. Multiplicando meio pelos extremos (que são os catetos, ou variâncias dos pontos) e encontraremos a equação reduzida.
tg(a) = (y1 - y2) / (x1 - x2).
ou simplesmente
m(x - x0) = (y - y0)
em geometria analítica (até em funções) o que podemos fazer com dois pontos conhecidos
1)o coeficiente angular = m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
2)o ponto médio = (Xm;Ym) = [ (x1 + x2) /2 ; (y1 + y2/2) ]
3)distância entre eles: d^2 = (x2 - x1) ^2 + (y2 - y1)^2 (pitágoras)
descobrir o ponto de intersecção entre duas retas na geometria analítica
faça um sistema com a equação geral das duas retas
tangentes com ângulos suplementares?
é o mesmo valor com o sinal trocado
considerando duas retas no plano cartesiano como descobrir o menor ângulo entre elas?
Usando essa fórmula = tg(a) = Mr - Ms / 1 + Mr . Ms
Mr & Ms = coeficiente angular
g & h = são as retas
como descobrir se uma reta é perpendicular a outra? (geometria analítica)
e paralela?
basta multiplicarmos o coeficiente angular de uma pelo coeficiente angular da outra, o resultado precisa ser -1
Mr . Ms = -1
Mr = Ms
olhando para a equação geral da reta, como saber quais são os tipos de retas
Equação geral da reta:
1) Paralelas - a1 / a2 = b1 / b2
2)coincidentes - a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2
3) concorrentes = a1 / a2 diferente de b1 / b2
calcular a distância de um ponto para uma reta
D = equação geral da reta com as variáveis sendo a coordenada dos pontos / raiz de a^2 + b^2
calcular a distância de um ponto para uma reta sabendo que o ponto está na origem do plano cartesiano:
Dp,r = c / raiz de a^2 + b^2
calcular a distância de um ponto para uma reta sabendo que o ponto está em outra reta:
Dp,s = Cs - Cr / raiz de a^2 + b^2
como calcular a área de um triângulo e um polígono na geometria analítica?
triângulo: método do determinante. O resultado divide por 2 (em módulo)
polígono: matriz de coluna 2, faz o determinante multiplicando em diagonal (tanto a principal quanto a secundária). O resultado divide por 2.
obs: repita o primeiro vértice
geometria analítica
quando o enunciado te dá que os pontos estão na bissetriz dos quadrante -pares. O que pode ser feito?
você pode fazer que Y = -X. Isso implica que as coordenadas do ponto só ficam em função de X. possibilitando usar fórmulas para descobrir o valor de x.
Elementos de uma elipse
A elipse é composta por diversos elementos principais, entre eles:
- Focos ( e ): pontos fixos dentro da elipse, essenciais para sua definição. A soma das distâncias de qualquer ponto na elipse até esses focos é sempre constante, caracterizando a elipse como o conjunto dos pontos que mantêm essa propriedade.
- Centro: o ponto equidistante entre os dois focos da elipse, servindo como um ponto de referência central.
- Eixo Maior (): Representa o diâmetro mais longo da elipse, passando pelos dois focos.
- Eixo Menor (): O diâmetro perpendicular ao eixo maior, sendo este o menor diâmetro da elipse.
- Distância Focal (): A distância total entre os dois focos, conhecida também como a distância focal da elipse.
definição de elipse
A definição geométrica da elipse é intuitiva: para qualquer ponto na borda da elipse, a soma das distâncias a cada um dos dois focos é constante, equivalente ao comprimento do eixo maior ().
DF1 + DF2 = constante.
relação fundamental da elipse
a^2 = b^2 + c^2
excentricidade da elipse
esta sempre entre 0 < e < 1.
quanto mais próximo de 1, mais achatada a eclipse é.
quanto mais próximo de 0, mais sinuosa a eclipse é.
e = c / a
equação reduzida da elipse
(x - X0)^2 + (y - Y0)^2
———- ———– = 1
A^2 B^2
(Os denominadores dependem de qual diâmetro é maior)
definição de parábola
A parábola é definida geometricamente como o conjunto de todos os pontos de um plano que mantêm distâncias iguais a um ponto fixo, denominado foco, e a uma reta fixa, conhecida como reta diretriz.
elementos principais da parábola
distância do vértice até o foco?
- Foco (): o ponto interior da parábola que, junto com a reta diretriz, define sua curvatura.
- Vértice (): o ponto da parábola mais próximo (ou distante) do foco, atuando como um ponto de mínimo (ou máximo) na curva.
- Reta Diretriz: uma linha perpendicular ao eixo da parábola que, com o foco, determina a curva da parábola.
- Parâmetro (): Representa a distância entre o foco e a reta diretriz, sendo crucial para a definição geométrica da parábola.
VF = P / 2
Equação da parábola na origem
equação da parábola com o vértice fora da origem
x^2 = 2py
(x - X0) ^2 = 2p(y - Y0)
lembre-se: inverta o x e o y caso o eixo de simetria seja invertido
definição de hipérbole
A hipérbole é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo módulo da diferença a dois pontos fixos, e , é uma constante.
PF1 - PF2 |= 2a
elementos da hipérbole
O -centro da hipérbole
F1e F2 - pontos focais
A1;A2- eixo real ou eixo transversal
B1;B2- eixo imaginário ou eixo conjugado
2c-distância focal
2a- medida do eixo real
2b- medida do eixo imaginário
Perceba que, ao contrário da elipse, o valor é menor do que a distância dos focos,.
relação fundamental da hipérbole
c^2 = b^2 + a^2
excentricidade de um hipérbole
um número maior que um, e quanto maior for mais achatada é
e = c / a
equação reduzida de um hipérbole
x^2 - y^2
—— —— = 1
a^2 b^2
as variáveis mudam de posição dependendo do eixo de simetria.
como encontrar a equação das retas assíntotas da hipérbole
1) descobrir o coeficiente angular das retas, para isso use a fórmula: m = +- b / a
onde o “b” e o “a” são variáveis da hipérbole
2) igual a equação da hipérbole à zero. fatorar com o produto da soma pela diferença, isso resultará em um produto de dois termos que resulta em 0.
como conhecer uma cônica
equação de qualquer cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
se o delta > 0 = hipérbole
delta < 0 & A diferente de C = elipse
delta < 0 & A igual a C = circunferência
delta = 0 = parábola
relação para polígono regular inscrito em uma circunferência
Ln = 2R . sen(pi/n)
como descobrir a intersecção de duas retas? (geometria analítica)
fazer um sistema linear com a fórmula das duas retas
