geometria Flashcards
o que é um polígno?
um figura geométrica cujo nenhum segmento se cruza, exceto em suas extremidades
o que é um polígono convexo
um polígono convexo é quando qualquer segmento de reta PQ está contido no interior ou lado do polígono
o que é a diagonal de um polígono
é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos
o que significa lado ou ângulos serem congruentes?
quer dizer que tem a mesma medida
o que é um polígono regular?
quando os seus ângulos internos e lados são congruentes e é um polígono convexo
defina os triângulos:
triângulo isósceles
triângulo retângulo
triângulo escaleno
triângulo equilátero
isósceles: dois lados congruentes e dois ângulos internos congruentes adjacentes a base *a base é sempre o lado não congruente
retângulo: possui um ângulo reto
escaleno: possui três medidas de ângulos e lados diferentes
equilátero: todos os lados e ângulos são congruentes
OS QUATRO PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO E O PORQUE DELES SE COINCIDIREM NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
o que é ceviana de um triângulo
defina os tipos de ceviana que são pontos notáveis:
1 - mediana
2 - bissetriz
3 - altura
4 - mediatriz
qualquer segmento que liga uma vértice ao uma (reta suporte) no lado oposto
1-divide a reta suporte um duas partes congruentes. Todo triângulo tem 3 três cevianas e o centro em comum das três é chamado de baricentro ou ponto g. O ponto g divide o segmento da mediana em uma escala 2:1.
2-um segmento de reta que divide um ângulo em duas partes congruentes. Existe a bissetriz interna e externa. Todo triângulo tem três bissetriz e o único ponto em comum entre elas é chamada de incentro, esse ponto é o centro de uma circunferência inscrita na figura. O raio da circunferência produz um ângulo de 90º graus
3 - a altura de um triângulo é um segmento que sai do vértice até o lado oposto ao vértice. Esse segmento é uma reta perpendicular portanto sempre forma um ângulo 90º no lado oposto ao vértice. o encontro das três alturas é o ortocentro. As alturas podem sair para fora do triângulo
4-são retas perpendiculares passando pelo ponto médio do seu lado. Quaisquer ponto nesse segmento é equidista nas extremidades de um segmento. Todo triângulo possui três e o único ponto em comum entre elas é chamado de circuncentro, pois é o centro de uma círculo circunscrito na figura.
defina os triângulos
triângulo acutângulo
triângulo obtusângulo
triângulo retângulo
acutângulo: todos os ângulos internos são menores que 90º
obtusângulo: apresente um dos ângulos internos maior que 90º
retângulo: apresenta um ângulo de 90º
defina o que é trapézio e seus subconjuntos:
trapézio escaleno
trapézio isósceles
trapézio retângulo
propriedades
trapézio é um polígono cujo dois lados são paralelos
escaleno: que tem base paralelas e os lados adjacentes não congruentes
isósceles: dois lados congruentes e dois ângulos congruentes
retângulo: dois ângulos congruentes
a soma dos ângulos do mesmo lado adjacente deve ser igual à 180º
a base média divide os lados adjacentes em duas partes congruentes. a base média é a média aritmética das bases.
Propriedades:
base que intercepta o encontro das diagonais:
esse ponto divide a base no meio;
um lado dessa base é igual o produto entre as bases originais sobre a soma das bases originais;
a medida da base inteira é igual a 2vezes o produto das bases originais sobre a soma das bases originais.
defina paralelogramos e seus subconjuntos
conceitos básicos
retângulo
quadrado
losango
ordem dos maiores para os menores
paralelogramos são quadriláteros em que seus lados opostos são paralelos.
1)lados opostos congruentes; traçando uma diagonal no paralelogramo temos pela propriedade das retas paralelas lados opostos congruentes, pois teremos a congruência de ALA.
2)ângulos opostos congruntes
3)As diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.
Retângulo:
Paralelogramo com todos os ângulos retos;
Diagonais de mesmo tamanho, e o ponto médio entre as diagonais divide elas em partes iguais.
losângulo:
equilátero;
as diagonais são bissetrizes;
o encontro das diagonais dividem elas na metade e são perpendiculares entre si.
quadrado:
todas as propriedades do losângulo e retângulo são válidas para o quadrado.
1) o baricentro de um paralelogramo divide a mediana em duas partes iguais.
T > P (R > Q < L)
volume do cilindro;
área do cilindro.
V = πR^2 . h
At = 2πR(h + R)
área lateral do cone
área da base do cone
Área total
Volume do cone
Al = πRg
Ab = πR^2
At = πR(g+R)
V = 1 / 3 πR^2 . h
O que é geratriz e como calcular
geratriz é a medida da face
g^2 = r^2 + h^2
Trigonometria em triângulos
ângulo e suas formas de medidas
o que são razões trigonométricas.
(SOH CAH TOA)
(Cos Sec Cotg)
Unidades de medida: graus e radiano
Graus: uma circunferência é dividida em 360 partes, cada parte é um 1 ângulo. 1 ângulo são 60 minutos e 1 minuto são 60 segundos (isso não tem relação alguma com as horas).
Radianos: 1 radiano é a medida igual ao comprimento do raio da circunferência.
o raio de qualquer circunferência cabe π vezes na meia volta.
ou seja π = 180º; 2π = 360º
Arco = parte da circunferência, parte de um círculo.
Fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência: C = 2π . r
Conversões:
Grau para radiano
1) multiplica por π e divide por 180º
Radiano para grau:
1) substitui o π por 180º e faça as operações.
Razões trigonométricas.
cosseno: é o comprimento da projeção ortagonal da hipotenusa em porcentagem. Ou seja, imagine um prédio, ao inclinarmos esse prédio para baixo ele projetará uma sombra no chão, e o comprimento dessa sombra se dá pela razão entre o tamanho do prédio pelo tamanho da sombra. Ou seja, o ângulo entre essas duas retas define o o comprimento da sombra projetada.
seno: o seno é a reta que define o tamanho do prédio quando ele está sendo inclinado, e segue o mesmo raciocínio do cosseno, porem dessa vez para definirmos a medida vertical.
SOH CAH TOA
sen = cateto oposto / hipotenusa (vertical)
cos = cateto adjacente / hipotenusa (horizontal)
tan = cateto oposto / cateto adjacente (razão entre cosseno e seno)
Cossecante = 1 / sen(x)
Sec = 1 / cos(x)
Cotg = cos(x) / sen(x)
Lei dos senos
A lei dos senos afirma que a razão entre cada lado do triângulo e o seno do ângulo oposto é igual à , sendo o raio da circunferência que a circunscreve.
útil quando: você sabe os comprimentos de dois lados de um triângulo e o ângulo oposto a um desses lados, ou se você sabe os comprimentos dos três lados do triângulo.
Lei dos cossenos: Essa fórmula permite encontrar o comprimento de um lado desconhecido de um triângulo quando se conhece os comprimentos dos outros dois lados e o ângulo entre eles, ou encontrar um ângulo quando se conhecem os comprimentos dos três lados.
lado qualquer^2 = lado restante^2 + outro lado restante^2 -2 . lado restante . lado restaten . cos (ângulo oposto do lado qualquer)
Tabela medida da circunferência de radianos para graus
π/6 = 30º | π/4 = 45º | π/3 = 60º | π/2 = 90º | 2π/3 = 120º| 3π/4 = 135º| 5π/6 = 150º| π = 180º | 7π/6 = 210º | 5π/4 = 225º | 4π/3 = 240º |3π/2 = 270º| 5π/3 = 300º | 7π/4 = 215º | 11π/6 = 330º | 2π = 360º
geometria: conceitos básicos
tipos de retas e postulados
segmentos de reta
ângulos / convexo x côncavo
Retas concorrentes: duas retas que possuem apenas um ponto em comum.
Retas paralelas: duas retas que são paralelas entre si ou são retas coincidentes que são retas que possuem todos os pontos em comum.
Retas reversas: São retas que não estão no mesmo plano e nunca se cruzam.
Postulado: se uma reta intercepta outra duas retas, formam-se ângulos internos, e se a soma de dois ângulos internos do mesmo lado forem menor que 180º essas retas são concorrentes, se a soma for igual à 180º essas retas são paralelas.
reta é diferente de segmento, segmento é a distância em um reta de dois pontos distintos
segmentos colineares: segmentos que estão na mesma reta suporte, ou seja, que compartilham da mesma reta.
segmentos consecutivos: são segmentos que compartilhar de um extremidade em comum, seja na mesma reta ou não
segmentos adjacentes: quando são colineares e consecutivos ao mesmo tempo, e possuem apenas um ponto em comum.
ponto médio de um segmentos: um ponto que divide o segmento em dois segmentos congruentes.
convexo = qualquer figura que quando definidos dois pontos na parte interna da figura e traçados uma reta entre eles, forma um segmento de reta contido no interior da figura, côncavo é ao contrário.
ângulos: diferença de direção entre semirretas
ângulos adjacentes: dois ângulos são adjacentes quando não possuem nenhum ponto interno em comum
ângulos consecutivos: quando um lado de um deles coincide com o de outro
ângulos OPV: ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Condição de existência: os lados desse ângulos são as retas opostas dos lados do ângulo oposto.
ângulo raso = 180º
ângulo reto = 90º
ângulo agudo = < 90º
ângulo obtuso = > 90º
ângulo complementar = a soma de dois ângulos é 90º
ângulo suplementar = a soma de dois ângulos é 180º
ângulo replementar = a soma de dois ângulos é 360º
ângulo explementar = a diferença de um ângulo para o outro é 180º
bissetriz = semireta que divide o ângulo em duas partes iguais.
como descobrir o comprimento de um arco
inscrito x circunscrito
Comprimento do arco = comprimento de ab / comprimento do raio
podemos descobrir também através do ângulo central. (quando o polígono é regular.
Ac = 360 / n
inscrito: dentro
circunscrito: fora
Polígonos
soma dos ângulos internos;
soma dos ângulos externos;
soma do número de diagonais totais
propriedades
1 - Si = (n-2) . 180º
2 - Se = 360 º
3 - Sd = n(n-3) / 2
ângulos externos são sempre suplementares de ângulos internos
polígonos regulares inscritos na circunferência.
triângulo isósceles
quadrado inscrito (circunscrito)
hexágono inscrito (circunscrito)
triângulo equilátero inscrito (circunscrito)
peculiaridades de polígonos inscritos e circunscritos
apótema - parte do centro da figura até um lado da figura, formando um ângulo de 90º.
ângulo central - podemos descobrir o ângulo central também.
através dessa relação, conseguimos algumas fórmulas para descobrir certas medidas
isósceles - R^2 = An^2 + (Ln / 2) ^2
an = apótema.
quadrado =
L = r. raiz de 2
a = r . raiz de 2 / 2
hexágono inscrito:
L = r
a = r . raiz de 3 / 2
triângulo equilátero:
L = r . raiz de 3
a = L / 2
circunscrito (o raio é a apótema e vice versa)
triângulo equilátero:
L = 2r. raiz de 3
Quadrado circunscrito:
L = 2r
Hexágono circunscrito:
L = 2. raiz de 3 / 3
quando temos um polígono inscrito o segmento do ângulo central é o raio, e a apótema é o segmento que divide o lado em duas partes congruentes.
quando temos um polígono circunscrito o segmento do ângulo central não é mais o raio, a apótema é o próprio raio.
Teorema angular de tales.
postulado 1 e postulado 2
1) A soma dos ângulos internos sempre é 180º
2)O ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos dois ângulos não adjacentes a ele.
fórmula da diferença das tangentes
Tg(a - b) = tg(a) - tg(b) / 1 + tg(a) . tg(b) (a soma só muda os sinais)
congruência de triângulos
LAL
ALA
LAA
LLL
LAL: Se dois triângulos tiverem dois lados e o ângulo entre esses lados congruentes, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes.
ALA:Se o lado e os ângulos adjacentes de dois triângulos forem congruentes ordenadamente, podemos afirmar que os triângulos são congruentes.
LAA:Se dois lados, os ângulos adjacentes, e os opostos a esses lados forem iguais, esses triângulos são congruentes.
LLL:Se os três lados de dois triângulos são ordenadamente congruentes, esses triângulos são congruentes.
relações métricas de um triângulo
BAM CAN HMN BCAH BHCN BMCH
b^2 = an
c^2 = am
h^2 = mn
bc = ah
bh = cn
ch = bm
1/h^2 = 1 / b^2 + 1/c^2
quadriláteros
princípios básicos
quadriláteros notáveis
A soma dos ângulos internos é 360º, assim como a dos externos
Conseguimos dividir todo quadrilátero em 2 triângulos
