geometria Flashcards
o que é um polígno?
um figura geométrica cujo nenhum segmento se cruza, exceto em suas extremidades
o que é um polígono convexo
um polígono convexo é quando qualquer segmento de reta PQ está contido no interior ou lado do polígono
o que é a diagonal de um polígono
é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos
o que significa lado ou ângulos serem congruentes?
quer dizer que tem a mesma medida
o que é um polígono regular?
quando os seus ângulos internos e lados são congruentes e é um polígono convexo
defina os triângulos:
triângulo isósceles
triângulo retângulo
triângulo escaleno
triângulo equilátero
isósceles: dois lados congruentes e dois ângulos internos congruentes adjacentes a base *a base é sempre o lado não congruente
retângulo: possui um ângulo reto
escaleno: possui três medidas de ângulos e lados diferentes
equilátero: todos os lados e ângulos são congruentes
OS QUATRO PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO E O PORQUE DELES SE COINCIDIREM NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
o que é ceviana de um triângulo
defina os tipos de ceviana que são pontos notáveis:
1 - mediana
2 - bissetriz
3 - altura
4 - mediatriz
qualquer segmento que liga uma vértice ao uma (reta suporte) no lado oposto
1-divide a reta suporte um duas partes congruentes. Todo triângulo tem 3 três cevianas e o centro em comum das três é chamado de baricentro ou ponto g. O ponto g divide o segmento da mediana em uma escala 2:1.
2-um segmento de reta que divide um ângulo em duas partes congruentes. Existe a bissetriz interna e externa. Todo triângulo tem três bissetriz e o único ponto em comum entre elas é chamada de incentro, esse ponto é o centro de uma circunferência inscrita na figura. O raio da circunferência produz um ângulo de 90º graus
3 - a altura de um triângulo é um segmento que sai do vértice até o lado oposto ao vértice. Esse segmento é uma reta perpendicular portanto sempre forma um ângulo 90º no lado oposto ao vértice. o encontro das três alturas é o ortocentro. As alturas podem sair para fora do triângulo
4-são retas perpendiculares passando pelo ponto médio do seu lado. Quaisquer ponto nesse segmento é equidista nas extremidades de um segmento. Todo triângulo possui três e o único ponto em comum entre elas é chamado de circuncentro, pois é o centro de uma círculo circunscrito na figura.
defina os triângulos
triângulo acutângulo
triângulo obtusângulo
triângulo retângulo
acutângulo: todos os ângulos internos são menores que 90º
obtusângulo: apresente um dos ângulos internos maior que 90º
retângulo: apresenta um ângulo de 90º
defina o que é trapézio e seus subconjuntos:
trapézio escaleno
trapézio isósceles
trapézio retângulo
propriedades
trapézio é um polígono cujo dois lados são paralelos
escaleno: que tem base paralelas e os lados adjacentes não congruentes
isósceles: dois lados congruentes e dois ângulos congruentes
retângulo: dois ângulos congruentes
a soma dos ângulos do mesmo lado adjacente deve ser igual à 180º
a base média divide os lados adjacentes em duas partes congruentes. a base média é a média aritmética das bases.
Propriedades:
base que intercepta o encontro das diagonais:
esse ponto divide a base no meio;
um lado dessa base é igual o produto entre as bases originais sobre a soma das bases originais;
a medida da base inteira é igual a 2vezes o produto das bases originais sobre a soma das bases originais.
defina paralelogramos e seus subconjuntos
conceitos básicos
retângulo
quadrado
losango
ordem dos maiores para os menores
paralelogramos são quadriláteros em que seus lados opostos são paralelos.
1)lados opostos congruentes; traçando uma diagonal no paralelogramo temos pela propriedade das retas paralelas lados opostos congruentes, pois teremos a congruência de ALA.
2)ângulos opostos congruntes
3)As diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.
Retângulo:
Paralelogramo com todos os ângulos retos;
Diagonais de mesmo tamanho, e o ponto médio entre as diagonais divide elas em partes iguais.
losângulo:
equilátero;
as diagonais são bissetrizes;
o encontro das diagonais dividem elas na metade e são perpendiculares entre si.
quadrado:
todas as propriedades do losângulo e retângulo são válidas para o quadrado.
1) o baricentro de um paralelogramo divide a mediana em duas partes iguais.
T > P (R > Q < L)
volume do cilindro;
área do cilindro.
V = πR^2 . h
At = 2πR(h + R)
área lateral do cone
área da base do cone
Área total
Volume do cone
Al = πRg
Ab = πR^2
At = πR(g+R)
V = 1 / 3 πR^2 . h
O que é geratriz e como calcular
geratriz é a medida da face
g^2 = r^2 + h^2
Trigonometria em triângulos
ângulo e suas formas de medidas
o que são razões trigonométricas.
(SOH CAH TOA)
(Cos Sec Cotg)
Unidades de medida: graus e radiano
Graus: uma circunferência é dividida em 360 partes, cada parte é um 1 ângulo. 1 ângulo são 60 minutos e 1 minuto são 60 segundos (isso não tem relação alguma com as horas).
Radianos: 1 radiano é a medida igual ao comprimento do raio da circunferência.
o raio de qualquer circunferência cabe π vezes na meia volta.
ou seja π = 180º; 2π = 360º
Arco = parte da circunferência, parte de um círculo.
Fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência: C = 2π . r
Conversões:
Grau para radiano
1) multiplica por π e divide por 180º
Radiano para grau:
1) substitui o π por 180º e faça as operações.
Razões trigonométricas.
cosseno: é o comprimento da projeção ortagonal da hipotenusa em porcentagem. Ou seja, imagine um prédio, ao inclinarmos esse prédio para baixo ele projetará uma sombra no chão, e o comprimento dessa sombra se dá pela razão entre o tamanho do prédio pelo tamanho da sombra. Ou seja, o ângulo entre essas duas retas define o o comprimento da sombra projetada.
seno: o seno é a reta que define o tamanho do prédio quando ele está sendo inclinado, e segue o mesmo raciocínio do cosseno, porem dessa vez para definirmos a medida vertical.
SOH CAH TOA
sen = cateto oposto / hipotenusa (vertical)
cos = cateto adjacente / hipotenusa (horizontal)
tan = cateto oposto / cateto adjacente (razão entre cosseno e seno)
Cossecante = 1 / sen(x)
Sec = 1 / cos(x)
Cotg = cos(x) / sen(x)
Lei dos senos
A lei dos senos afirma que a razão entre cada lado do triângulo e o seno do ângulo oposto é igual à , sendo o raio da circunferência que a circunscreve.
útil quando: você sabe os comprimentos de dois lados de um triângulo e o ângulo oposto a um desses lados, ou se você sabe os comprimentos dos três lados do triângulo.
Lei dos cossenos: Essa fórmula permite encontrar o comprimento de um lado desconhecido de um triângulo quando se conhece os comprimentos dos outros dois lados e o ângulo entre eles, ou encontrar um ângulo quando se conhecem os comprimentos dos três lados.
lado qualquer^2 = lado restante^2 + outro lado restante^2 -2 . lado restante . lado restaten . cos (ângulo oposto do lado qualquer)
Tabela medida da circunferência de radianos para graus
π/6 = 30º | π/4 = 45º | π/3 = 60º | π/2 = 90º | 2π/3 = 120º| 3π/4 = 135º| 5π/6 = 150º| π = 180º | 7π/6 = 210º | 5π/4 = 225º | 4π/3 = 240º |3π/2 = 270º| 5π/3 = 300º | 7π/4 = 215º | 11π/6 = 330º | 2π = 360º
geometria: conceitos básicos
tipos de retas e postulados
segmentos de reta
ângulos / convexo x côncavo
Retas concorrentes: duas retas que possuem apenas um ponto em comum.
Retas paralelas: duas retas que são paralelas entre si ou são retas coincidentes que são retas que possuem todos os pontos em comum.
Retas reversas: São retas que não estão no mesmo plano e nunca se cruzam.
Postulado: se uma reta intercepta outra duas retas, formam-se ângulos internos, e se a soma de dois ângulos internos do mesmo lado forem menor que 180º essas retas são concorrentes, se a soma for igual à 180º essas retas são paralelas.
reta é diferente de segmento, segmento é a distância em um reta de dois pontos distintos
segmentos colineares: segmentos que estão na mesma reta suporte, ou seja, que compartilham da mesma reta.
segmentos consecutivos: são segmentos que compartilhar de um extremidade em comum, seja na mesma reta ou não
segmentos adjacentes: quando são colineares e consecutivos ao mesmo tempo, e possuem apenas um ponto em comum.
ponto médio de um segmentos: um ponto que divide o segmento em dois segmentos congruentes.
convexo = qualquer figura que quando definidos dois pontos na parte interna da figura e traçados uma reta entre eles, forma um segmento de reta contido no interior da figura, côncavo é ao contrário.
ângulos: diferença de direção entre semirretas
ângulos adjacentes: dois ângulos são adjacentes quando não possuem nenhum ponto interno em comum
ângulos consecutivos: quando um lado de um deles coincide com o de outro
ângulos OPV: ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Condição de existência: os lados desse ângulos são as retas opostas dos lados do ângulo oposto.
ângulo raso = 180º
ângulo reto = 90º
ângulo agudo = < 90º
ângulo obtuso = > 90º
ângulo complementar = a soma de dois ângulos é 90º
ângulo suplementar = a soma de dois ângulos é 180º
ângulo replementar = a soma de dois ângulos é 360º
ângulo explementar = a diferença de um ângulo para o outro é 180º
bissetriz = semireta que divide o ângulo em duas partes iguais.
como descobrir o comprimento de um arco
inscrito x circunscrito
Comprimento do arco = comprimento de ab / comprimento do raio
podemos descobrir também através do ângulo central. (quando o polígono é regular.
Ac = 360 / n
inscrito: dentro
circunscrito: fora
Polígonos
soma dos ângulos internos;
soma dos ângulos externos;
soma do número de diagonais totais
propriedades
1 - Si = (n-2) . 180º
2 - Se = 360 º
3 - Sd = n(n-3) / 2
ângulos externos são sempre suplementares de ângulos internos
polígonos regulares inscritos na circunferência.
triângulo isósceles
quadrado inscrito (circunscrito)
hexágono inscrito (circunscrito)
triângulo equilátero inscrito (circunscrito)
peculiaridades de polígonos inscritos e circunscritos
apótema - parte do centro da figura até um lado da figura, formando um ângulo de 90º.
ângulo central - podemos descobrir o ângulo central também.
através dessa relação, conseguimos algumas fórmulas para descobrir certas medidas
isósceles - R^2 = An^2 + (Ln / 2) ^2
an = apótema.
quadrado =
L = r. raiz de 2
a = r . raiz de 2 / 2
hexágono inscrito:
L = r
a = r . raiz de 3 / 2
triângulo equilátero:
L = r . raiz de 3
a = L / 2
circunscrito (o raio é a apótema e vice versa)
triângulo equilátero:
L = 2r. raiz de 3
Quadrado circunscrito:
L = 2r
Hexágono circunscrito:
L = 2. raiz de 3 / 3
quando temos um polígono inscrito o segmento do ângulo central é o raio, e a apótema é o segmento que divide o lado em duas partes congruentes.
quando temos um polígono circunscrito o segmento do ângulo central não é mais o raio, a apótema é o próprio raio.
Teorema angular de tales.
postulado 1 e postulado 2
1) A soma dos ângulos internos sempre é 180º
2)O ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos dois ângulos não adjacentes a ele.
fórmula da diferença das tangentes
Tg(a - b) = tg(a) - tg(b) / 1 + tg(a) . tg(b) (a soma só muda os sinais)
congruência de triângulos
LAL
ALA
LAA
LLL
LAL: Se dois triângulos tiverem dois lados e o ângulo entre esses lados congruentes, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes.
ALA:Se o lado e os ângulos adjacentes de dois triângulos forem congruentes ordenadamente, podemos afirmar que os triângulos são congruentes.
LAA:Se dois lados, os ângulos adjacentes, e os opostos a esses lados forem iguais, esses triângulos são congruentes.
LLL:Se os três lados de dois triângulos são ordenadamente congruentes, esses triângulos são congruentes.
relações métricas de um triângulo
BAM CAN HMN BCAH BHCN BMCH
b^2 = an
c^2 = am
h^2 = mn
bc = ah
bh = cn
ch = bm
1/h^2 = 1 / b^2 + 1/c^2
quadriláteros
princípios básicos
quadriláteros notáveis
A soma dos ângulos internos é 360º, assim como a dos externos
Conseguimos dividir todo quadrilátero em 2 triângulos
Fórmula da área do retângulo, losango e trapézio
R^2 = B . h | R^2 = B . hipotenusa . sen(x)
L^2 = D . d / 2 /////// D = diagonal | d = outra diagonal
T^2 = (B + b) . h / 2
Formula área do triângulo
Genérica: A = b . h / 2
Equilátero = A = l^2 raiz de 3 / 4 (retirando o expoente se torna a fórmula da altura e trocado o 4 por 2)
retângulo = A cateto maior x cateto menor / 2
Pelo seno = a . b . sen(x) / 2
Conhecendo os dois lados e o seno do ângulo entre eles: l^2 . sen(2x) / 2
fórmula de heron = A = raiz de semiP . (p-a) . (p-b) . (p-c)
fórmula da soma de dos senos:
sen(a +- b) (canção do exílio)
cos(a +- b)
arco duplo relações:
sen(2a)
cos(2a)
tg(2a)
metade de um arco duplo:
sen(a/2)
cos(a/2)
tg(a/2)
Soma e diferença de arco em produtos:
sen(p) + sen(q)
sen(p) - sen(q)
cos(p) + cos(q)
cos(p) - cos(q)
relação básica da trigonometria
sen(x)^2 + cos(x)^2 = 1
Fórmula da soma dos arcos:
sen (x + y) = sen(a) . cos(b) + cos(a) . sen(b) (subtraindo só mudo o sinal)
cos(x + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b) (subtraindo só muda o sinal)
Arco duplo:
sen(2a) = 2sen(a) . cos(a)
cos(2a) = cos(a)^2 - sen(a)^2
tan(2a) = 2tan(a) / 1- tan^2(a)
metade de um arco duplo:
cos(a/2) = +-raiz de (1+cos(a) / 2)
sen(a/2) = +-raiz de (1-cos(a) /2 )
tg(a/2) = +-raiz de (1-cos(a) / 1 + (cos(a) )
Soma e diferença de arco em produtos:
sen(p) + sen(q) = 2sen( p+q / 2 ) . cos( p-q / 2 )
sen(p) - sen(q) = 2sen( p-q / 2 ) . cos( p+q / 2 )
cos(p) + cos(q) =2cos(p+q / 2 ) . cos( p-q / 2 )
cos(p) + cos(q) =2sen(p+q / 2 ) . sen( p-q / 2 )
Simetria de ângulos das funções trigonométricas
simetria nas cofunções
ângulo do primeiro quadrante.
2 quadrante: 180 - a
3 quadrante: 180 + a
4 quadrante: 360 - a
Existe uma simetria nos valores das razões trigonométricas, é o mesmo valor em módulo, o que muda é o sinal, de acordo com o sinal dos quadrantes
Seno e cosseno
sen(x) = cos(90 - x)
cos(x) = sen(90 - x)
Tangente e cotagente
tg (x) = cotg(90 - x) e vice versa
secante e cossecante
sec(x) = cossec(90 - x) e vice versa
função tangente: seu domínio
função trigonométrica: explique cada elemento
O domínio da função tangente = [x pertence aos reais / x não pertence a pi/2 + kpi
f(x) = |A| sen(bx + c) + d
A = módulo da amplitude
b = número de ciclos | período = 2pi / b
c = translação horizontal
d = translação vertical
as retas prolongadas de um ângulo central alfa forma o que
forma um metade do ângulo alfa
quanto temos um triângulo A = 50, C = 30 e B = 40 nessa ordem, temos:
temos que M é igual a N
como achar o sen(4a)
use a seguinte relação, 2x = 2.2a
invés de na fórmula ser 2sen(a) . cos(a) será 2sen(2a) . cos (2a)
o suplementar do cosseno de um ângulo .
e o suplementar do seno de um ângulo.
cosseno: o suplementar do cosseno de uma ângulo é -cos(x). (é o próprio ângulo porém negativo)
seno: o suplementar do seno de um ângulo é o próprio sen(X)
quando o enunciado te informar o valor da tangente o que fazer?
faça um triângulo retângulo e descubra o cateto oposto e o adjacente para descobrir o seno e o cosseno.
podemos multiplicar os meios pelos extremos também.
bizu para ajudar interpretar o gráfico de funções trigonométricas
As vezes pode ser necessário visualizar o gráfico em quadrantes, lembre-se caso você tenha o valor de um sen, ele será simétrico em módulo nos outros quadrantes
bizu zig zag
os soma dos ângulos da direita tem que ser igual os ângulos da esquerda (anotação em teorema de tales)
teorema da bissetriz do ângulo interno de um triângulo
toda vez que há uma bissetriz no ângulo interno de um triângulo existe uma proporção entre os lados adjacentes ao ângulo e opostos a ele (teorema de tales) ou seja, o lado adjacente está para o lado oposto
propriedades dos segmentos tangentes
Se duas retas concorrentes tangenciam a mesma circunferência, os lados tangentes são congruentes, devido a congruência de triângulos ALL (ângulo de 90º com raio já que é reta tangente a circunferência, raio igual e bissetriz do triângulo maior é o lado de ambos os triângulos)
posição entre duas circunferências.
secantes;
tangentes;
internas;
concêntricas;
secantes: possuem dois pontos em comum; a distância de um centro para o outro está entre |r1-r2| < O1,O2 < r1 + r2
tangentes externa: Possuem um ponto em comum, a distância entre os centros é r1 + r2.
tangentes internas: Possuem um ponto em comum, a distância entre os centros é |r1 - r2|.
internas: nenhum ponto em comum e a distância entre os centros é < |r1 - r2|.
concêntricas: o1 = o2
calcular a área de um triângulo retângulo através de trigonometria
área do triângulo retângulo = ca . co / 2
Ex = sen(X) = co / h | h . sen(X) = co
fazemos a mesma coisa com o ca, e basta substituir na fórmula
ângulos na circunferência:
ângulo central;
ângulo inscrito;
ângulo de segmento (semi-inscrito);
triângulo retângulo inscrito na circunferência;
ângulo central é o qual possuí vértice no centro da figura e a sua medida é igual o comprimento do arco.
ângulo inscrito é o ângulo cujo vértice está tocando a circunferência e sua medida é metade do ângulo central.
ângulo de segmento (semi-inscrito): é o menor ângulo entre a reta tangente e a reta secante que passa pelo ponto de tangência. Sua medida é metade do arco.
triângulo retângulo inscrito na circunferência sempre tem um ângulo de 90º(normalmente tangente a circunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro.
quando o enunciado possuir as seguintes frases “triângulo inscrito na semicircunferência; lado é diâmetro; diâmetro é hipotenusa” o que isso implica?
implica que há a existência de um triângulo retângulo na circunferência.
