análise combinátória Flashcards
Quando normalmente se usa análise combinatória
Comumente vemos questões perguntando “quantas maneiras…”, “quantos modos…”, ou ainda, “de quantas formas..” podemos organizar elementos em conjuntos, usando todos ou apenas alguns deles.
em analise combinatória, quando se vê o “E” o que se deve fazer
Em geral, se você vir a palavra ‘E’, provavelmente precisará ‘MULTIPLICAR’. (guarde esse bizu!)
Você pode escolher 1 item dentre 4 canetas E 1 item dentre 5 lápis;
forma genérica do fatorial
fatorial de 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 e 0
n! = n . (n-1) . (n-2) …… 2 . 1
10! = 3.628.800
9! = 362.880
8! = 40.320
7! = 5.040
6! = 720
5! = 120
4! = 24
3! = 6
2! = 2
1! = 1
0! = 1
Permutações quando dois ou mais itens devem estar em lugares específicos
em algumas questões, você deverá organizar uma palavra onde letras específicas precisam ficar no primeiro e/ou no último lugar;
ou ainda, você será solicitado a organizar elementos onde itens específicos devem estar nas extremidades ou no meio.
Para resolver, imagine que esses elementos específicos estão presos no lugar solicitado. A partir daí, você poderá encontrar as várias maneiras de organizar o restante dos elementos em torno desses elementos ‘presos’.
Permutações quando elementos de um certo grupo devem estar separados dos elementos de outro grupo
se os grupos podem estar em qualquer lugar, sua resposta deverá multiplicada por dois, pois temos duas possibilidades: primeiro vogais ou primeiro consoantes.
de forma, geral, se existirem n grupos que podem estar em qualquer ordem, sua resposta deverá ser multiplicada por n!
Permutações quando dois ou mais elementos devem estar juntos
esses itens se tornarão “um” dentro do arranjo;
permute este “único” elemento com os outros normalmente;
permute os itens dentro deste “único” elemento;
multiplique essas duas permutações.
Permutações quando dois ou mais elementos não podem estar juntos no agrupamento
calcule o total de permutações sem levar em consideração a restrição;
calcule o número de maneiras que esses dois elementos estariam juntos;
subtraia o número de grupos onde os dois elementos estão juntos do número total de permutações sem restrição;
Porém, se os itens devem ser todos completamente separados , então:
organize o resto dos elementos com um espaço entre cada um deles (assim, os itens que não podem estar juntos, podem estar nesse espaço em branco);
note que isso também pode incluir o espaço antes do primeiro elemento e o espaço depois do último elemento;
dessa forma, você conseguirá encaixar os itens que não podem estar juntos em qualquer desses espaços, usando a regra do arranjo, objeto de estudo do próximo item.
estratégia para resolver questões de análise combinatória.
restrições comuns
iniciar com consoantes
✓ iniciar com vogais
✓ um casal permanecer junto
✓ o número não se iniciar com zero
✓ o número ser par ou ímpar
✓ um anagrama apresentar as vogais ou consoantes juntas
Permutações com repetição
P^r/n
r = número de repetição de cada letra(por exemplo), coloque em forma fatorial
n = permutações sem restrição
portanto, a forma final fica dessa maneira = P = n/r
Permutação circular
Permutação circular é o número total de maneiras pelas quais n objetos distintos podem ser organizados em torno de um círculo fixo.
Todos os elementos são mudados de posição mas em posição equivalentes, devido a natureza circular ou cíclica do problema
PCn = (n-1) !
resolver questões com anagramas e condições
verifique o número de letrar, opções
confira se há opções/letras repetidas
faça o espaço amostral
permute agora com a restrição
divida a restrição pelo espaço amostral, se for em porcentagem, faça regra de três
Arranjos
notação arranjo simples
An,p = n! / (n-p)!
diferença entre combinação, arranjo e permutações
bizu pra dar diferenciar quando usar cada um
e de exemplos
combinação a ordem não importa, arranjo a ordem importa e permutação é quando o número de elementos é o mesmo do que iremos usar
pergunte se: a ordem importa? se não é combinação.
se sim,é permutação ou arranjo.
a quantidade que iremos precisar é menor do que a que temos? se sim é arranjo, se não é permutação
permutação - anagrama
combinação - dividir 15 atletas em comissões de 3
arranjo - dividir 30 alunos em comissões contendo 1 tesoureiro, 1 presidente e 1 vice-presidente
fórmula combinação ,arranjo e as das permutações
combinação é Cn,p = n! / p! . (n-p)!
arranjo = An,p = n! / (n-p)!
permutação circular = (n-1)!
permutação com repetição = n! / r!
como resolver
(Fuvest/2016) Vinte times de futebol disputam a Série 𝑨 do Campeonato Brasileiro,
sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus
adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é
(Fuvest/2001) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez
estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem
crescente, serão designadas por 𝒉𝟏, 𝒉𝟐, … , 𝒉𝟏𝟎 (𝒉𝟏 < 𝒉𝟐 < ⋯ < 𝒉𝟗 < 𝒉𝟏𝟎
). O professor vai
escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se
apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos
(
𝟏𝟎
𝟓
) = 𝟐𝟓𝟐
grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é 𝒉𝟔, ocupará a
posição central durante a demonstração?
(Unicamp/2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se
mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro
letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.
ESTRATÉGIA VESTIBULARES
AULA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA. 49
Considere o alfabeto com 𝟐𝟔 letras o os algarismos de 𝟎 a 𝟗. O aumento obtido com essa
modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria
(Vunesp/2017) Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2
vermelhos, 1 verde e 1 azul.
Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são
exemplificadas quatro das pilhas possíveis.
Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as
exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a
em um espaço amostral, quantos subjconjuntos podemos ter? (diferentes eventos)
espaço amostral equiprovável
espaço amostral não equiprovável
evento certo
evento impossível
P(a)
N(a)
união de eventos, intersecção de eventos e eventos complementares
em um conjunto n, podemos ter 2^n subconjuntos
é quando todos os elementos do conjunto possuem a mesma probabilidade de ocorrência. (palavra chave = não viciado)
é quando deformamos o espaço amostral onde cada elemento pode possuir uma probabilidade distinta de ocorrência. (palavra chave = vício)
é aquele evento que tem 100% (ou = 1) de chance de ocorrer, ou seja o evento é o próprio espaço amostral
é aquele evento que é impossível de acontecer, 0% de chance
é a probabilidade do evento ocorrer
indica quantos elementos existem no evento A
união de eventos representado pela forma U é transformar dois eventos em um, a intersecção é o elemento que está nos dois ao mesmo tempo, já os complementares é a negativa do evento, isto é, a chance daquele evento NÃO acontecer.
Probabilidade
Dicas que facilitam a resolução
probabilidade complementar
probabilidade da interseção
probabilidade da união
Use bastante igualar a 1 para descobrir uma variável
em probabilidade complementar, descubra como o evento pode não ocorrer e subtraia pelo todo para descobrir a porcentagem do outro evento ocorrer
em probabilidade da união, é a chance de 2 eventos ou mais acontecerem, isso se dá por = p(a) U p(b) = p(a) + p(b) - p(a ∩ b)
em probabilidade da interseção, é a chance de que eventos acontecam ao mesmo tempo, isso se dá por = p(a ∩ b) = p(a) . p(b|a)
Probabilidade condicional
p(b|a) = probabilidade do evento B ocorrer dado que o a já aconteceu.
p(b|a) = p( a ∩ b ) / p(b) ou n( a ∩ b ) / n(b)
dado que um evento ocorreu, seu S diminui, logo seu S será o evento acontecido, e a probabilidade do outro acontecer dado que já aconteceu o primeiro, é a interseção entre os dois.
