Grundlegende räumliche Konzept Flashcards
Geometrie
Geometrie formuliert abstrakte Eigenschaften von Strukturen im Raum
Erlanger Programm: Wissenschaftlich Programmschrift mit systematischen Klassifizierung der Teildisziplin der Geometrie ausgehend von der Idee, dass Geometrie lageinvariante Eigenschaften von Figuren untersucht.
Polygone
Eine Polylinie ist eine finite Mange von Liniensegmenten, die über Endpunkte miteinander verknüpft sind. Diese Endpunkte des Liniensegmentes heißen Knoten. Zwei durch eine Kante verbundene Knoten sind noch keine Polylinie. Eine oft verwendete Bedingung für Polylinien ist, dass sich die Kanten nicht kreuzen dürfen.
Geschlossene Polylinie: Anfangspunkt = Endpunkt
Konvexe Polygon: alle Innenwinkel unter 200 g
Mengen
- Elemente: die zu modellierende Objekte
- Mengen: Sammlung von Objekten
- Mitgliedschaft: Verbindung zwischen Elementen und Mengen
Jedes Element kann nur Mitglied oder nicht Mitglied einer Menge sein. Die einzige Ausnahme sind unscharfe Mengen.
Aspekte der Modellieung
- Equality: Gleichheit (selbe Elemente)
- Subset: Teilmenge (Elemente sind auch Teil einer anderen Menge)
- Power Set: Menge aller Teilmengen
- Empty Set: Leere Menge
- Kardinalität: Anzahl der Elemente einer Menge
- Intersection: Durchschnitt
- Union: Vereinigung
- Differenz
- Komplementär: Menge aller Elemente, die in einer anderen Menge nicht enthalten sind.
Relationen
Verbindungen zwischen den Elementen aus 2 oder mehr Mengen.
Mögliche Anzahl = Kardinalität Menge 1 * Kardinalität Menge 2
Arten:
- Symmetrie
- Transitivität
Funktionen
Eine Funktion gibt eine deterministische Antwort auf eine Frage. “Deterministisch” heißt, dass bei derselben Frage immer dieselben Antworten kommen.
Eine Funktion ist eine Abbildungsvorschrift von einer Domäne zu einer Co-Domäne.
Arten on Funktionen
- Injektiv
- Surjektiv
- Bijektiv
Topologie
- ist die Gestalt- oder Formenlehre für räumliche Objekte
- ist eine Teilgebiet der Mathematik und Geometrie
- befasst sich mit geometrischen Eigenschaften, die bei topologischen Transformationen invariant bleiben.
Topologische Transformationen
Rubbersheeting
Einige Eigenschaften bleiben auch nach der Verzerrung erhalten.
Topologische Eigenschaften
Basieren auf nicht metrischen Informationen
- Konnektivität: Kann von einem Punkt P ein Punkt R erreicht werden?
- Orientierung: Wasser fließt in eine vorgegebene Richtung
- Adjazenz: Zwei Elemente sind miteinander verbunden
- Nähe: Wie nahe sind 2 Knoten?
- “Umschließung”: Eine Region liegt innerhalb einer anderen Region
Topologische Eigenschaften ermöglichen und verbesset die räumliche Analyse.
Netzwerk
Königsberger Brückenproblem
–> systematische Untersuchungen
Graph
Ein Graph ist ein theoretische Modell, bei dem es nicht auf die exakte Lage der einzelnen Elemente ankommt sondern nur auf die topologische Struktur, die die Elemente aufbauen. Ein Graph besteht aus Knoten und Kanten. Wo in einem Koordinatensystem diese Knoten und Kanten liegen ist für die Analyse irrelevant.
Metrische Räume
Metrische Räume basieren auf dem Konzept der Distanz zwischen Objekten im Raum. Einer Punktmenge S ist ein metrischer Raum wenn eine Funktion existiert, die den geordneten Paaren eine reelle Zahl zuordnet, die Distanz zwischen den Punkten.
Eigenschaften Distanzfunktion
Distanzfunktion d, Paare (s, t)
- d(s, t) > 0, wenn s ungleich t
- d(s, t) = 0, wenn s gleich t
- d(s, t) = d(t, s)
- Dreieckesungleichung: d(s, t) + d(t, u) > d(s, u)
Luftlinie
Die Distanz wird entlang einer geodätischen Linie ermittelt. Eine geodätische Linie ist eine Linie ohne Seitenkrümmung. In der Ebene ist das die Gerade, auf der Kugel der Großkreis, Es ist die geometrische kürzeste Verbindung zwischen den beiden Punkten.
