7c

Question 1

Om f(x) = e^x + 4x, vad är den primitiva funktionen av f(x)?

Answer 1

e^x + 2x^2 + C

Question 2

1: Integralen[f(x)+g(x)]dx går att skriva som?
2: Integralen[f’(x)/f(x)] = ?

Answer 2

1: Int[f(x)]dx + Int[g(x)]dx
2: ln|f(x)|+C

Question 3

Vad är Integralen[(x+1)/(1+x^2)]dx?
(Tänk på deriverings regler och isärskrivningar av uttrycket)

Answer 3

(Integralen=Int)
Int[x/(1+x^2)]dx+Int[1/(1+x^2)]dx –>
Int[x/(1+x^2)]dx+arctan x+C –>
Svar: ln(1+x^2)/2 + arctan x + C

Question 4

1: [f=F’] Vad är d/dx(1/kF(kx))?, (där F är en primitiv funktion till f och k är en konstant)
2: Vad är då Int[f(kx)]?
3: Vad är Int[f(k+x)]?

Answer 4

1: 0F(kx)+1/kf(kx)*k = f(kx)
2: F(kx)/k ,(då (F(kx)/k)’=f(kx)+C
3: F(k+x) ,(då (F(k+x))’=F’(k+x)=f(k+x)+C

Question 5

Vad är Int[sin(5x)]dx?

Answer 5

-cos(5x) / 5 + C

Question 6

Vad är Integralen till en funktion grafiskt sett?

Answer 6

Arean mellan funktionen och x-axeln. Är Arean under x-axeln är räknat som minus och ovanför x-axeln som pluss vid funktioner som skär x-axeln flera gånger

Question 7

Hur kan man skriva om följande formler som?
1: (a)Int(b)[k*f(x)]dx ?
2: (a)Int(b)[f(x)]dx om a>b
,(där Int=Integral, (a)Int(b)=Integral i intervallen mellan a och b på x-axeln, alltså a nere och b uppe på Int)

Answer 7

1: k*(a)Int(b)[f(x)]dx
,(man får bryta ut k om k=konstant ut ur Ingegralen)
2: -(b)Int(a)[f(x)]dx

Question 8

f(x) = x
Vad är (0)Int(2)[f(x)]dx ?

Answer 8

2
(Arean är 2 under grafen mot x-axeln, ingen konstant C för att det är ett bestämt intervall som söks)

Question 9

[F’(x)=f(x)] , i intervallet [a,b]
Vad är då den bestämda Integralen benämnt i Primativa funktioner?
Alltså, (a)Int(b)[f(x)]dx = ? (i F)

Answer 9

(a)Int(b)[f(x)]dx = F(b) - F(a)
eller
F(x)(b) ,(där a är nere och b uppe)

Question 10

Beräkna följande integral:
(0)Int(1,5)[e^(-x)]dx = ?

Answer 10

Svar: 1 - 1/e^(1,5)
F(1,5)-F(0) = F(x)(1,5)
F(x) = -1/e^x

Question 11

[f(x)=1+(x^2+1)/2 och g(x)=(x^2+1)/8]
Vad är arean mellan funktionerna i intervallet [-1 </= x </= 1] ?

Answer 11

F(x)=x+(x^3+3x)/6
G(x)=(x^3+3x)/24
(-1)Int(1)[f(x)]dx - (-1)Int(1)[g(x)]dx ,
Eftersom arean under f(x) - arean under g(x) = arean mellan dom två.
Alltså, [F(1)-F(-1)]-[G(1)-G(-1)] = 3 a.e.

Question 12

Vad är alla Primitiva funktioner till:
1: f(x) = 2sin x+cos x
2: f(x) = 10^x
3: f(x) = cos(x+4)
4: f(x) = sqrt(1-x)

Answer 12

1: -2cos x + sin x + C
2: 10^x/ln 10 + C
3: sin(x+4) + C
4: -2/3(1-x)^(3/2) + C

Question 13

Vad är alla Primitiva funktioner till:
1: f(x) = (x+8)/(1+x^2)
2: f(x) = x^2/(1+x^3)

Answer 13

1: (ln(1+x^2))/2 + 8arctan x + C
(använd: x/(1+x^2) + 8/(1+x^2))
2: ln|1+x^3|/3 + C

Question 14

Beräkna följande integraler:
1: (0)Int(1)[x^2]dx = ?
2: (0)Int(sqrt(3))[1/(1+x^2)]dx = ?
3: (1)Int(e)[1/x + 1/x^2 + 1/x^3]dx = ?

Answer 14

1: 1/3
2: pi/3
3: -(1+2e-5e^2)/2e^2

Question 15

Beräkna arean av området mellan dom två funktionerna f1(x)=x^2-2x och f2(x)=6x-x^2

Answer 15

Svar: 64/3
x1=0, x1=4 , f2(x) är ovanför f1(x) i intervallet [0,4].
(0)Int(4)[6x-x^2]dx -(0)Int(4)[x^2-2x]dx