7a

Question 1

Vad är differenskvoten betecknat med f, a och x?

Answer 1

(f(x)-f(a))/(x-a)

Question 2

Hur vet man om till exempel differenskvoten är detiverbar?

Answer 2

Om f prim (a) har ett gränsvärde när x går mot a är funktionen deriverbar.

f’(a) = lim(x–>a) (f(x)-f(a))/(x-a)

Question 3

Om en funktion, f(x) går mot [x–>a] och detta = 2a. Vad är då f’(10)?

Answer 3

lim(x–>a) df(x)/dx = f’(a) = 2a
Vilket betyder att f’(10) = 20

Question 4

Vad är f’(a) = ? Om man använder differenskvoten fast använder
x = a+h

Answer 4

lim(h–>0) (f(a+h)-f(a))/h

Question 5

Vad är skillnaden på f’ pch f’(a)?

Answer 5

f’ är derivatans funktion för alla x och f’(a) är derivatan i punkten a, alltså ett tal

Question 6

Vad är derivatan av följande?
1: f(x) = x^3
2: f(x) = x^n ,(där n är ett +heltal)

Answer 6

1: f’(x) = 3x^2
2: f’(x) = n*x^(n-1)

Question 7

Tangenten i punkten (a,f(a)) har riktningskofficienten f’(a). Vad är då Tangentens Linjes ekvation, L(x)?

Answer 7

L(x) = f’(a)(x-a)+f(a)

Question 8

Tangenten i punkten (a,f(a)) har riktningskofficienten f’(a). Vad är då Tangentens Linjes ekvation där a=2 på funktionen f(x) = 1/x

Answer 8

f(a) = 1/a –> f(2) = 1/2 och beräkning ger f’(a) = n1/(a^(n-1)) –> f’(2) = -1/4
Eftersom L(x) = f’(a)(x-a)+f(a) blir
L(x) = -1/4(x-2)+1/2 vilket blir att tangenten i punkten a till funktionen f är L = -x/4+1

Question 9

Vad har Normalen för förhållande till Tangenten i en funktion f(x)?

Answer 9

Normalen är vinkelrät mot Tangenten. Alltså: -1/f’(x) är Normalens riktingskofficient.
(Är f’(x)=0 är normalen parallell med y-axeln)

Question 10

Vad är Normalen till till funktionen f(x)=1/x i följande punkt?
: 2

Answer 10

f(2)=1/2, f’(2)=-1/4, k för N=1/f’(2)=4
Tangenten = -1/4(x-2)+1/2 = -x/4+1
Normalen = 4(x-2)+1/2 = 4x-15/2

Question 11

På vilka intervall växer och avtar funktionen f(x) = x^4 - 4x^3?

Answer 11

Svar: f(x) växer om x>3 och f(x) avtar om x<3

f’(x) är positiv om x>3
f’(x) är negativ om x<3
Eftersom f’(x) = x^2(4x-12) är
x = 0 och 3. Ställ upp en teckentabell

Question 12

Vad är Derivatan av följande?
1: D e^x
2: D ln x
3: D sin x
4: D cos x
5: D tan x

Answer 12

1: e^x
2: 1/x
3: cos x
4: -sin x
5: 1/((cos x)^2)

Question 13

Vad är Derivatan av följande?
1: D x^a
2: D cot x
3: D arctan x
4: D arcsin x
5: D sqrt(x)

Answer 13

1: ax^(a-1)
2: 1/((sin x)^2)
3: 1/(1+x^2)
4: 1/(sqrt(1-x^2))
5: 1/(2sqrt(x))

Question 14

Vad är följande deriveringsregel?
1: (f(x) + g(x))’ = ?
2: (f(x) - g(x))’ = ?
3: (cf(x))’ = ? ,(där c är en konstant)

Answer 14

1: f’(x) + g’(x)
2: f’(x) - g’(x)
3: cf’(x)

Question 15

Vad är följande deriveringsregel?
1: (f(x) * g(x))’ = ?
2: (f(x) / g(x))’ = ?
3: (f(g(x)))’ = ?

Answer 15

1: f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
2: (f’(x)g(x) - f(x)g’(x)) / g(x)^2
3: f’(g(x))*g’(x)

Question 16

Vad är derivatan på 5^x?

Answer 16

D a^x = ln a * a^x
D 5^x = ln 5 * 5^x

Question 17

Vad är derivatan av följande?
f’(3) = ? Om f(x) = ln(5x^2)

Answer 17

2/3
Använd (f(g(x)))’ = f’(g(x))*g’(x)
f’(x) = 2/x

Question 18

Om y=h(z)
z=g(x)
y=h(g(x))
Vad är derivatan uttryckt i dy/dx?

Answer 18

y’ = dy/dx = dy/dz * dz/dx
Eftersom
(f(g(x)))’ = f’(z) * g’(x) = f’(g(x)) * g’(x)
f’(z) = dy/dz och g’(x) = dz/dx

Question 19

Vad är följande?
1: D sqrt(g(x))
2: D sqrt(1-x)

Answer 19

1: g’(x) / 2sqrt(g(x))
2: -1 / 2sqrt(1-x)

Question 20

Vad är följande?
f’(x) = ? Då f(x) = ln g(x) ,(där g(x) är en funktion av x)

Answer 20

g’(x)/g(x)

Question 21

Beräkna derivatan om f(x) är följande
1: e^x*sqrt(9x)
2: 1/cos x
3: 1/(1+tan x)

Answer 21

1: (3e^x*(2x+1))/(2sqrt(x))
2: sin x/(cos x)^2
3: -1/(sin x+cos x)^2

Question 22

Beräkna derivatan om f(x) är följande
1: e^x/ln(x^2)
2: x^2*2^x
3: 3^x/x^3

Answer 22

1: (e^x(xln|x|-1)/(2x(ln|x|)^2)
2: 2^x(2x+x^2ln 2)
3: (3^x(x*ln 3-3))/x^4

Question 23

Vad är följande?
1: f’(pi/4) om f(x)=tan x
2: f’(4) om f(x)=2^x*ln(sqrt(x))

Answer 23

1: 2
2: 2+16*(ln 2)^2

Question 24

Bestäm f’(x) om f(x) är följande
1: (1-x^4)^3
2: cot (sqrt(x))
3: ln |(x-1)/(x+1)|

Answer 24

1: -12x^3(1-x^4)^2
2: -1/(2sqrt(x)(sin x)^2*sqrt(x))
3: 2/(x^2-1)

Question 25

Vad är följande?
1: f’(1/2) om f(x) = 3cos(pi*x)
2: f’(7) om f(x) = e^(x^2-5x-14)

Answer 25

1: -3pi
2: 9

Question 26

Derivera följande:
1: sin(e^(x^2))
2: e^((sin x)^2)

Answer 26

1: 2xe^(x^2)cos(e^(x^2))
2: 2sin xcos x*e^((sin x)^2)

Question 27

Vad är Tangenten, T(x), och Normalen, N(x) i följande uppgifter?
1: f(x) = x^3 och x0 = 2
2: f(x) = e^x-x och x0 = 0

Answer 27

1: T(x) = 12(x-2)+8 och
N(x) = -1/12(x-2)+8
2: T(x) = 1 och Normalen är x = 0
[Metod: räkna ut f’(x). Räkna ut k för tangenten genom
“lim(x–>x0) f’(x)-k=0”, k*(x-x0)+f(x0) är T(x) och samma fast -1/k är Normalens k-värde]
[I uppgift 2: så går det inte att dela -1/0 för att få Normalens k-värde, x är då = 0]