6

Question 1

lim(x–>/8/) f(x) = ? , (där /8/ är oändligt, x€N, där N är Naturliga tal)
f(x) = (x+1)/x

Answer 1

Svar: 1
[f(x) = 1+1/x]

Question 2

lim(x–>/8/) f(x) = ? , (där /8/ är oändligt, x€N, där N är Naturliga tal)
f(x) = 2+sin(10x)*e^-x

Answer 2

Svar: 2
[e^-x närmar sig 0 vilket gör att sin(10x)*e^-x närmar sig 0 när x går mot oändligheten]

Question 3

f(x) = (x^3-3x^2+4x-2)/(x-1)
lim(x–>1) f(x) = ?

Answer 3

Svar: 1
[Pröva vanliga tal för att hitta nollställe I täljaren. Bryt ut (x-1) i täljaren och förkorta: Det blir x^2-2x+2 [x : R{1}],R är Reella tal). Sätt in 1 i andragradsfunktionen = 1]

Question 4

En Asymptot är en…?

Answer 4

Linje som en graf ej kan vara och ej går igenom.
T.ex: x=0 är en vertikal asymptot för grafen (1+1/x), [x≠0]

Question 5

Beräkna följande gränsvärden:
1: lim(x–>2) 1/(x-1)
2: lim(x–>1) 1/(x-1)

Answer 5

1: 1
2: Gränsvärde Saknas

Question 6

Vad är följande gränsvärden?
1: lim(x–>0) 3+e^x cos x
2: lim(x–>/8/) 3+e^x cos x
3: lim(x–>/8/) 3+e^-x cos x
(Där /8/=+oändligt)

Answer 6

1: 4
2: Gränsvärde Saknas
3: 3

Question 7

Vad är följande gränsvärden?
1: lim(x–>/8/) tan x
2: lim(x–>/8/) arctan x
3: lim(x–>-/8/) arctan x
(Där /8/=+oändligt och -/8/=-oändligt)

Answer 7

1: Gränsvärde Saknas
2: pi/2
3: -pi/2

Question 8

lim(x–>2) (3x^2-5x-2)/(x^2-4) = ?

Answer 8

Svar: 7/4
[Bryt ut (x-2) i nämnare och täljare och förkorta, sätt sedan in x=2]

Question 9

lim(x–>/8/) f(x) ,(där /8/=oändligt)
f(x) = ((2x^2-x+1)*(2x^3+4x^2-x+2)) / (3x^5+4x^4-5x+1)

Answer 9

Svar: 4/3
[Bryt ut högstagradspotensen på x ur varje term. Det blir då (x^2(a)x^3(b)) / (x^5(c)) ,(där a,b,c=det som blir över efter utbrytningen. Förkorta x^2x^3 och x^5, kvar får vi ((a)(b))/(c) där vi kan sätta in oändligt och kvar blir då ((2)(2))/(3) = 4/3]

Question 10

lim(x–>/8/) f(x) ,(där /8/=oändligt)
f(x) = ((a)*(b))/(c) där a,b,c är olika polynom med olika grad. Vid utbrytning av högsta potens, vad blir svaret om…
1: …dom i täljaren=dom i nämnaren?
2: …dom i täljaren>dom i nämnaren?
3: …dom i täljaren<dom i nämnaren?

Answer 10

1: Kvoten av kofficienterna i bråket som återstår
2: Gränsvärdet Saknas (Sned asymptot om täljarens högsta exponent </= 1 grad större än nämnarens exponent)
3: Gränsvärdet = 0

Question 11

1: [x–>-3], (x^4+3x^3-3x^2-8x+3) /(x^3+4x^2+4x+3) ?
2: [x–>/8/], (x^2+7)/(5x^3+4x+1)
3: [x–>/8/], (3x^2+1)(1-5x)(x^2-x+6) / (4x^5+x^3-1)
4: [x–>/8/], (3x^3+1)(1-5x)(x^2-x+6) / (4x^5+x^3-1)
{där /8/ är oändligt}

Answer 11

1: -17/7
2: 0
3: -15/4
4: Gränsvärde Saknas

Question 12

Vilka två formler för k och m från en rak linje måste vara sant för att linjen ska vara en sned asymptot till f(x)?

Answer 12

lim(x–>/8/) f(x)-kx = m
lim(x–>/8/) f(x)/x = k
(där /8/=oändligt)

Question 13

Vilka asymptoter har följande?
f(x) = 3x^2/((x-1)*(x+2))

Answer 13

Svar: x=1, x=-2 och y=3
Kolla vertikala x asymptoterna vid [x–>(nollställerna i nämnaren)]
Kolla dom horisontella asymptoterna vid [x–>+/-oänligheten]
Ta reda på om x går mot + eller - oändligheten vid höger eller vänster sida på asymptoterna.

Question 14

Bestäm eventuella asymptoter till
f(x) = (x^2+1)/(x+1)

Answer 14

Svar: x = - 1 och y = x - 1
[x–>-1] = (+/8/ då x > -1)
[x–>-1] = (-/8/ då x < -1)
(Där /8/=oändligt)
[x–>/8/] = (Gränsvärde Saknas)
f(x)/x = k = ((x^2+1)/(x+1)) / x = 1 när [x–>/8/],
f(x) - kx = m = [(x^2+1)/(x+1)] - [(((x^2+1)/(x+1)) / x = 1)*x] = -1 när [x–>/8/],

Question 15

Bestäm eventuella asymptoter:
1: 1/(x-2)
2: x/(x+2)
3: (x+1)/((x-2)(x+3))

Answer 15

1: x=2 och y=0
2: x=-2 och y=1
3: x=-3, x=2 och y=0

Question 16

Bestäm asymptoterna:
1: (x^2-3)/(x+2)
2: (2x^2+x)/(8-4x)

Answer 16

1: x=-2 och y=x-2
2: x=2 och y=-1/2x-5/4

Question 17

Vad är kraven på att en punkt, a, på en funktion, f(x), ska vara kontinuerlig?

Answer 17

1: Den ska vara definierad i ett intervall där a är mittpunkten. T.ex. punkten (a-h;a+h)
2: Ett Gränsvärde ska existera när lim(x–>a) f(x)
3: Gränsvärdet måste vara = f(a)

Question 18

Bestäm intervall på formen [n,n+1], där n är ett heltal, för dom tre Reella rötterna i funktionen:
f(x) = x^3 - 3x - 1 = 0

Answer 18

Svar: [-2,-1], [-1,0] och [1,2]
Detta gäller då en kontinuerlig funktion antar alla värden mellan det störta och minsta värdet. Vid insättning av dom nämnda x värdena så ser vi att funktionen går från - till + och vice versa i intervallen (alltså från minsta till största eller vice versa). Därför måste också en rot till funktionen ligga i just det intervallet.

Question 19

Avgör om följande funktioner är kontinuerliga och förklara varför:
1: f(x) = {1 om x>0 och 0 om x<0}
2: f(x) = {1 om x>/=0 och 0 om x<0}
(Där >/= är större eller lika med)

Answer 19

1: Ja
2: Nej
Vrf: För att en funktion måste vara kontinuerlig så måste varje punkt i definitionsmängden vara kontinuerlig. Vi ser i 1: att x=0 är inte med i definitionsmängden, alla Reella x som är med i definitionsmängden har ett gränsvärde, antingen 1 eller 0. Detta är också varför 2: inte är kontinuerlig. Den har x=0 i sin definitionsmängd och x=0 är inte kontinuerlig eftersom grafen närmar sig 0 eller 1 beroende på vilket håll man mäter (alltså inte samma punkt).

Question 20

Bestäm, om möjligt, värdet på konstanten c så att funktionen f är kontinuerlig då:
f(x) {(x^3-2x^2+4x-3)/(x-1) om x≠1 och c om x=1}

Answer 20

f är kontinuerlig då gränsvärdet är c=3 om x=1 och om den är större eller mindre än 1 så har den värdet (x^3-2x^2+4x-3)/(x-1). Alltså är funktionen kontinuerlig då den har värden för alla definierade x.

Question 21

Är funktionen kontinuerlig?
f(x) {x^2-3x om x>/= 0 och 0 om x<0} (Där >/= är större eller lika med)

Answer 21

Svar: Ja
Vrf: Eftersom, från positivt till negativ, går x från andragradskurvan till 0 och också med 0 är denna sida kontinuerlig för sig. Den fortsätter sedan från 0 till att vara kvar 0 vilket gör att hela funktionen är kontinuerlig. Alla x i definitionsmängden är därför kontinuerlig.

Question 22

Bestäm intervallet i längden pi/4 till den positiva roten till följande:
2 sin x = x

Answer 22

[pi/2,3pi/4]
Gör en tabell med olika intervall värden i längd pi/4. Alltså 0, pi/4, pi/2, 3pi/4 osv… .VL=HL ska vara svaret. Detta kommer att ske mellan två på varandra följnde intervallvärden som har VL>HL och VL<HL. Vid insättning av intervallvärdena visas dett ske i (svaret).