7b Flashcards
Vad är n derivatan av f om
f(x) = e^(2x)?
n derivatan av f = 2^n * e^(2x)
[Eftersom f’(x) = 2^1 * e^(2x) och
f”(x) = 2^2 * e^(2x) och
f’’‘(x) = 2^3 * e^(2x)]
En derivata bestämmer slappt förklarat hur till exempel en funktion förändras. Om x(t) mäter en sträcka x efter en tid t, vad mäter då dess:
1: Derivata
2: Andraderivata
1: Hastigheten vid en viss t
2: Accelerationen vid en viss t
Vad signifierar följande på f(x)s tangent?
1: f”(x) >/= 0
,(där >/= är större eller lika medä
2: f”(x) </= 0
,(där </= är mindre eller lika med)
1: Tangenten är växande
2: Tangenten är avtagande
[Eftersom rikningskofficienten k på tangenten till f(x) = f’(x) och f”(x) bestämmer hur f’(x) växer och avtar]
1: Vad är en Korda på en graf?
2: Bestäm om f(x) = x^2 är konkav eller konvex med hjälp av begreppet korda
3: Vart är f(x) = sin x konkav och konvex i intervallet [0, 2pi]
1: En korda är en linje mellan två punkter på en rand, i detta fall en grafs rand
2: Konvex, då alla kordor ligger ovanför f(x)
3: Konkav i [0, pi] och Konvex i
[pi, 2pi] då alla kordor till funktionen är under f(x) I första intervallet och över f(x) i andra intervallet
[Konkav=Utåtstickande, Konvex=Inåtbuktande]
Kolla på grafen f(x)=x^3+x^2-x ,
Grafen har vad som kallas för en lokal maximipunkt och en lokal minimipunkt.
Vad är skillnaden på dessa lokala punkter och till exempel maximumpunkten och minimumpunkten?
Dom lokala punkterna bestämmer största eller minsta värdet i ett lokalt intervall i grafen medans maximum och minimum punkterna bestämmer funktionens allra största och minsta värde. Maximum och minimum punkter är ju också lokala punkter
På vilka 3 sätt ska man leta efter maximum och minimum punkter till en funktion f(x)?
1: där f’(x) = 0 (stationär punkt)
2: där f’(x) inte existerar (spetsar)
3: Ändpunkterna i definitionsintervallet till funktionen (randpunkter)
1: Vad är en terrasspunkt i en funktion f(x)?
2: Hur vet man om det är en terrasspunkt eller en maximi eller minimi punkt?
1: När vi vill veta maximi och minimi punkter till en funktion kontrolleras bland annat punkter vars f’(x)=0. När detta stämmer men inte är en maximi eller minimi punkt är det en terrasspunkt [T.ex: x=0 i f(x)=x^3]
2: a är en maximipunkt om f’(x) växlar från (+) till (-) i a.
a är en minimipunkt om f’(x) växlar från (-) till (+) i a.
a är en terrasspunkt om f’(x) går från antingen (+) till (+) eller (-) till (-) i a.
Sök lokala maximi, minimi och terrass punkter till f(x) = x^3 + 6x^2
Svar: x1=0 är en lokal minimipunkt och x2=32 är en lokal maximipunkt
*Definierad för alla x (inga ändpunkter)
*Har inga ogiltiga Reella x värden
*Har f’(x) = 0 i två punkter –>
–> f’(x)=3x(x+4) har x1=0 och x2=-4 –> testa om punkterna är maximi, minimi eller terrass genom att ta ett värde till vänster och ett till höger om punkter och gör en teckentabell. Sätt in dom hittade lokala maximi och minimipunkterna i f(x) för att få f(x)s lokala punkter
Vad är den lokala maximi och minimi punkterna i f(x) = |x+1| för definitionsmängden [-3 </= x < 2)
,(där </= är mindre eller lika med)
Lokal maximipunkt = 2 (då x=-3)
Minimum och Lokal minimipunkt = 0 (då x=-1)
*Definierad för vissa x (har -3 som ändpunkt, då 2 ej är definerad)
*Har inga ogiltiga Reella x värden
*Har f(x) är ett absolutbelopp så minsta möjliga värdet på x fås när f(x)=0 då värdemängden är 0 </= f(x)
[f(-3)=2 och f(x)=|x+1|=0 har x=-1]
Vad är f”(2) om f(x) = sqrt(x) + ln x?
-(4+sqrt(2))/16
Vad är f”(x) om f(x) = e^x*cos x
-2e^x*sin x
Vad är k? [y = e^(kx)]
1: y’ + 5y = 0
2: y” - y’ - 2y = 0
1: -5
2: -1 och 2
Sök lokalt maxima och minima, största och minsta värde och eventuella terrasspunkter i följande:
1: f(x) = 3x - x^3 + 2
2: f(x) = 8x^3 + 3x^2 - 6x^4 - 6x
1: Lokalt Mimima: 0 (då x=-1)
Lokalt Maxima: 4 (då x=1)
Ingen minst eller största värde då f(x) går mot minus och pluss oändlighet
2: Lokalt Mimima: -13/8 (då x=1/2)
Lokalt Maxima: 19/8 (då x=-1/2)
Lokalt Maxima: -1 (då x=1)
Störst Värde = 19/8
[Sätt f’(x) = 0 och lös ut x. Sätt upp en teckentabell för f’(x) på dom olika intervallen framtagna när man vet x och lös ut om det är maxima eller minima]
Sök lokalt maxima och minima, största och minsta värde och eventuella terrasspunkter i följande:
1: f(x) =|2x+1| för (-3 < x </= 1]
2: f(x) =|x^2-4| för [-3 </= x </= 4]
,(där </= är mindre eller lika med)
1: Lokalt Minima: 0 (då x=-1/2)
Lokalt Maxima: 3 (då x=1)
Minsta Värdet = 0
2: Lokalt Maxima: 12 (då x=4)
Lokalt Maxima: 5 (då x=-3)
Lokalt Maxima: 4 (då x=0)
Lokalt Minima: 0 (då x1=-2 och x2=2)
Störst Värde: 12
Minst Värde: 0
[Samma metod som förra uppgiften men sätt in ändvärderna i f(x) för att få extra svaren]
