5a

Question 1

Skriv -1 med komplexa tal

Answer 1

-1 = i^2

Question 2

Dom komplexa talen z=2+i3 och w=1-i2 skrivs i följande ekvation:
1: z + w = ?
2: z * w = ?

Answer 2

1: 3 + i
2: 8 - i

Question 3

Om E = a+ib (ett komplext tal), och
Ē = talet Es konjugat. Vad är produkten av E och Ē?

Answer 3

(a+ib)*(a-ib) = a^2 + b^2

Question 4

Om U:s konjugat är Ū.
1: Vad är Z/U utvecklat?
2: Sätt in följande i formeln:
Z=a+ib och U=c+id

Answer 4

1: Z(Ū/(UŪ))
2: (ac-iad+ibc+db)/(c^2+d^2)

Question 5

Vad är (1+i)/(2+i3) på formeln a+ib?

Answer 5

5/13 - i1/13

Question 6

Vad är beloppet för ett imaginärt tal och vad är argumentet för ett imaginärt tal?

Answer 6

Beloppet är längden på linjen som ritas i ett imaginärt koordinatsystem. Alltså |a+ib| vilket också är sqrt(a^2+b^2)

Argument är vinkeln mellan x-axeln och linjen som skapas i ett imaginärt koordinatsystem. Alltså arg z = arctan v = b/a, där a och b är talen tagna från z=a+ib

Question 7

u = a + ib, är då beloppet av u?
1: i a och b termer
2: i ett absolutbelopp
3: i u termer

Answer 7

1: sqrt(a^2 + b^2)
2: |u| eller |a+ib|
3: sqrt(u*ū), (där ū är u:s konjugat)

[u*ū=a^2+b^2=|u|^2=|a+ib|^2]

Question 8

Argumentet för z = arg z om z=a+ib
1: Vad är tan(arg z) = ?
Vad är arg z = ?
2: om a>0 , 3: om a<0
4: om a=0 o b>0 , 5: om a=0 o b<0

Answer 8

1: b/a
2: arctan(b/a) , 3: arctan(b/a)+pi
4: pi/2=90° , 5: -pi/2=3pi/2=-90°=270°

Question 9

Vilken bokstav benämner komplexa tal?

Answer 9

C

Question 10

Räkna efter ett komplext koordinatsystem, z = a+ib, |z|= r,
arg z = v.
1: Vad är a och vad är b i trigonomiska termer?
2: Vad är z i trigonomiska termer?

Answer 10

1: a = rcos(v) och b = rsin(v)
2: z = r*(cos(v) + i sin(v))

Question 11

1:Vad är dom olika termerna i a+ib?
2:Vad heter formen a + ib?
3:Vad heter formen r*(cos v + i sin v)?

Answer 11

1: a=Rella och ib=Imaginära
2: Kartesiska formen
3: Polära formen

Question 12

Vad är z = -3 + i sqrt(3) på polär form?

Answer 12

z = a + ib = r(cos v + i sin v)
r =|z|= sqrt(-3^2 + 3^2) = 2sqrt(3)
v = arctan(-sqrt(3)/3)+pi = 5pi/6
Svar: 2sqrt(3)(cos(5pi/6)+i sin(5pi/6))

Question 13

Vad är följande på kartesisk form?
|z|= sqrt(18) och arg z = pi/4

Answer 13

z = a + ib = r(cos v + i sin v)
sqrt(18)(cos pi/4 + i sin pi/4) =
sqrt(18)(sqrt(2)/2) +
i sqrt(18)(sqrt(2)/2) =
= sqrt(36)/2 + i sqrt(36)/2 = 3 + i3
Svar: 3 + i3

Question 14

1: r(cos v + i sin v)*s(cos u + i sin u)=?
2: r(cos v + i sin v)/(s(cos u + i sin u))=?

Answer 14

1: rs(cos(v+u) + i sin(v+u))
2: r/s(cos(v-u) + i sin(v-u))

Question 15

|z|= 2 och|w|= 3
arg z = 3pi/8 och arg w = pi/8
1: Vad är z*w i kartesisk form?
2: Vad är z/w i kartesisk form?

Answer 15

1: 6(cos pi/2 + i sin pi/2) = 60+i6 = i6
2: 2/3(cos pi/4 + i sin pi/4) =
= 2/3sqrt(2)/2+i2/3sqrt(2)/2 =
= sqrt(2)/3 + i sqrt(2)/3

Question 16

z = r(cos v + i sin v)
1: Vad är z^n?
2: Vad är (1+i)^100?

Answer 16

1: r^n(cos nv + i sin nv)
2: -2^50
[ |z|= sqrt(2), arctan 1 = pi/4
sqrt(2)^100(cos(pi/4100) + i sin(pi/4100)) = 2^50(cos 25pi + i sin 25pi) = 2^50(cos pi + i sin pi) =
= 2^50-1 + i2^500 = -2^50 ]

Question 17

Skriv följande på Polär form med argumentet i intervallet (-pi,pi]
-1-isqrt(3)

Answer 17

2(cos(-2pi/3)+i sin(-2pi/3))

Question 18

Skriv följande belopp och argument på formen a+ib
|z|= sqrt(5) , arg z = 2pi/3

Answer 18

-sqrt(5)/2 + i sqrt(15)/2

Question 19

Beräkna följande med de Moivres formel och svara på kartesisk form:
z = 1 - i , z^5 = ?

Answer 19

z^5 = -4 + i4
[z=sqrt(2)(cos -pi/4 + i sin -pi/4)]
[z^5=4sqrt(2)(cos 3pi/4 + i sin 3pi/4) då argumentet -5pi/4 = 3pi/4]
[Vinkeln ligger i 2:a kvadranten]