Vékony rudak hajlítása

Question 1

vékony rudak hajlítása

Energiakomponensek? Forgatónyomaték? Hajlítási nyomaték?

Answer 1

K = (ρA/2)∫(0,L) u(t)^2 dx
V(tr) = (F/2)∫(0,L) u(x)^2 dx
V(pot) = –ρgA∫(0,L) u dx
V(hajl.) = (EI/2)∫(0,L) 1/R^2 dx

I = ∫ z^2 dzdy —» (M = E/R)I, ahol z a távolság a neutrális zónától

Question 2

vékony rudak hajlítása

Teljes Lagrange-fv.? Kanonikus mennyiségek? Mozgásegyenlet?

Answer 2

L = K – V(tr.) –V(pot.) – V(hajl.) = ∫(0,L) Λ dx
Λ = (ρA/2)u(t)^2 – (F/2)u(x)^2 + ρgAu – (EI/2)u(xx)^2

f = ∂Λ/∂u = ρgA, p = ∂Λ/∂u(t) = ρAu(t), μ = ∂Λ/∂u(xx) = –EIu(xx), σ = –∂Λ/∂u(x) + μ(x) = Fu(x) – EIu(xxx)

f – p(t) + σ(x) = 0 —» ρAu(tt) = ρgA + Fu(xx) – EIu(xxxx) —» jobb oldalon: gravitációs, rugalmas nyírási, hajlítási erősűrűségek

Question 3

vékony rudak hajlítása

Két végén feltámasztott, erőfeszítésmentes rúd behajlása saját súlya mellett?

Answer 3

F = 0, u(tt) = 0 —» u(xxxx) =
ρgA/EI
PF: u(0) = u(L) = 0, u(xx)(0) = u(xx)(L) = 0

Question 4

vékony rudak hajlítása

Befogott, súlytalan rúd szabad vége húzva van merőlegesen?

Answer 4

M ≈FL, u(xxxx) = 0
PF: u(0) = 0, u(x) = 0, u(xx)(L) = 0, u(xx)(0) = FL/EI

Question 5

vékony rudak hajlítása

Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása?

Answer 5

Nemlineáris diszperzió —» Euler-instabilitás
Ha a rúd végei szabadon elfordulhatnak: a módusok helyfüggése szinuszos