Egydimenziós konzervatív rendszer Flashcards
EFFEKTÍV 1D MOZGÁS
Ha magasabb dimenziójú mozgás visszavezethető 1D-re.
Az energiamegmaradásos mozgásegyenlet megoldása?
• t menete?
• Fordulópont?
• Véges mozgás esetén?
• Periódusidő?
|x’| = √(2/m*(E–V(x))) —> t – t0 = √(m/2) * ∫(x0,x) |dx|/√(E–V(x))
• t mindenképp növekszik, akkor is, ha x amúgy csökken
• A legközelebbi olyan x_F hely, amire E = V(x_F) —> x’(x_F) = 0. x’így fordulópontban válthat előjelet, x(t) pálya monoton a következő fordulópontig.
• x0 kiindulópont mindkét oldalán min. 1-1 fordulőpont van: E = V(x0-) = V(x0+) —> a mozgás ezek között periodikus.
• A fordulópont között eltelt idő kétszerese: T = √(2m)* ∫(x0-,x0+) dx/(√(V(x_F) – V(x))
Fordulópontok közelében történő mozgás?
• Harmonikus oszcillátor? Pl. hol?
Ha a potenciál:
— közel lineáris: parabolikus időfüggésű trajektória
— kvadratikus maximumú: exponenciális időfüggés
• Kvadratikus potenciálban mozgó részecske. Pl. lokális potenciálminimum közelében.
FÁZISTÉR
• Fázistérbeli trajektóriák?
A mozgás szemléltetése az (x,v) síkon.
• (x(t),v(t)) paraméteres görbék: |v| = √((2/m)*E – V(x)). Az összefüggés az x-tengelyre tükörszimmetrikus, de a görbékhez végtelen sok KF van és a különböző görbéket E paraméterezi.
Harmonikus oszcillátor fázistere?
• Elliptikus fixpont?
• Növekvő E energia?
Ha a potenciál: V(x) = 1/2mω^2x^2
E = 1/2mv^2 + 1/2ω^2x^2 = 1/2mω^2A^2
x-v összefüggés: ellipszis —> v^2/(A^2*ω^2) + x^2/A^2 = 1
• x* stabil egyensúly, aminek közelében (V”(x) > 0) közel ellipszisek.
• Növekvő energiájú pályák.
Általános potenciál?
• Hiperbolikus fixpont?
• Szeparátrix?
A különböző E energiákhoz tartozó trajektóriák nem metszhetik egymást.
• Ha x* V“ < 0 (azaz lok. min.): stabil egyensúlyi helyzet.
• Pálya, ami átmegy min. egy hiperbolikus fixponton, bejárásához végtelen idő szükséges és kvalitatíven különböző pályákat választ el.
Perturbált harmonikus potenciál?
• Fordulópontok? Mi teljesül rájuk?
• Periódusidő felbontása?
V(x) = k/2x^2 + εV(x)
• A+, A- —> teljesül, hogy: E = V(A+) = V(–A-)
• x </> 0 tartományban eltöltött “féloldalas” idők: T(E) = T+(E) + T-(E)
Periódusidő sorfejtése? (Vezető korrekció?)
• Konklúzió a perturbációval kapcsolatban?
insert levezetés here
T = (2π/ω)[1 + 2εI(A0)/(πkA0^2)],
ahol I(A0) = ∫(0,2π) [v_s(A0*sinu) – v_s(A0)]/(cosu)^2 du
• A ptlan v(x) az ε-ban elsőrendben nem módosítja a periódusidőt. A féloldalas T+, T- idő változhatnak, de amennyivel a trajektória “siet”, annyival “késik” a másik.
egydimenziós konzervatív rendszer: fázistér
Másod-negyedfokú potenciál? μ szerint? Szeparátrix energiája?
V(x) = –μx^2/2 + αx^4/4, ahol α > 0 állandó, μ változik.
* μ < 0: origó stabil (elliptikus)
* μ > 0: origó instabil (hiperbolikus)
Szeparátrix: E(c) = 0
egydimenziós konzervatív rendszer: fázistér
Vasvilla (pitchfork) bifurkáció?
Fixpontokra vett összeg?
Példa?
insert bifurkációs diagram here
Az egyensúlyi helyzetek μ fv.-ében:
* μ < 0: stabil fixpont
* μ = 0: fix pont elveszti a stabilitását
* μ > 0: további két fixpont megjelenése
Σ(j,N) s(j) = állandó, ahol s(j) = +/–1 a stabilitási index
Vasvilla bifurkáció centrifugális szabályozóban.
egydimenziós konzervatív rendszer: fázistér
Stabilitásvesztés?
A potenciál valamely paraméterének változtatása esetén egy korábban stabil fix pont elvesztheti a stabilitását és új fix pontok jöhetnek létre.
egydimenziós konzervatív rendszer: fázistér
Tangens bifurkáció első-harmadfokú potenciálban?
V(x) = –kx + (α/3)x^3, α > 0
insert bifurkációs diagram here
Egyensúlyi helyzetek: V’(x) = –k+αx^2
* k < 0: nincs (mert akkor x^2 = negatív szám lenne), komplex számokra kiterjesztve képzetes
* k ≥ 0: +/–√(k/α) —» k = 0-ban mindkettő stabil, k > 0 esetben a pozitív stabil, a negatív instabil (V”(x) = 2αx) és távolódnak egymástól
egydimenziós konzervatív rendszer: fázistér
Tangens bifurkáció első-harmadfokú potenciálban?
V(x) = –kx + (α/3)x^3, α > 0
insert bifurkációs diagram here
Egyensúlyi helyzetek: V’(x) = –k+αx^2
* k < 0: nincs (mert akkor x^2 = negatív szám lenne), komplex számokra kiterjesztve képzetes
* k ≥ 0: +/–√(k/α) —» k = 0-ban mindkettő stabil, k > 0 esetben a pozitív stabil, a negatív instabil (V”(x) = 2αx) és távolódnak egymástól
egydimenziós konzervatív rendszer: fázistér
Síkinga fázistere?
Szeparátrix energiája?
insert fázistér ábrája here
Minden fizikai mennyiség periodikus φ -ben
E = K + V = (1/2)ml^2φ^2 – mglcosφ = áll.*
|φ| = √(2/ml^2)√(E + mglcosφ)**
Szeparátrix energiája szerint: E(c) = mgl
* E < E(c): φ0 < π —» |φ| = √[(2g/l)(cosφ – cosφ0)], leng
* E = E(c): φ0 = π — » |φ| = √[(2g/l)(cosφ + 1)] = 2√(g/l)|cos(φ/2)|*, éppen nem fordul körbe
* E > E(c): körbefordul
egydimenziós konzervatív rendszer: harmonikus oszcillátor
Mozgásegyenlet külső gerjesztéssel?
Megoldás Fourier-trafóval?
x” + ω0^2x = f(t)
x”(t) ~ x”(ω) = –ω^2x(ω)
(ω0^2 – ω^2)x(ω) = f(ω)
x(t) = (1/2π)∫[f(ω)/(ω0^2 – ω^2)]e^(iωt) dω
