Centrális mozgások Flashcards
síkmozgások: oszcillátor
Potenciálmozgás csillapítással?
* Egyensúlyi helyzet?
* Potenciál sorbafejtése?
L = (m/2)|r’|^2 – V(r), R = (mα/2)|r’|^2
m_r_”= –∇V(r) – mα_r_‘
Egyensúlyi helyzet: ∇V|(r) = 0
* α = 0: oszcillál r körül
* α > 0: relaxál r-hez
Potenciál sorbafejtése (másodrendig): *V(ij) = (∂^2)V(r)/∂x(i)∂y(j)|r=0
síkmozgások: oszcillátor
Harmonikus potenciál diagonizáló krd.-ákkal? Mozgásegyenletek? Megoldás?
V(r) = (m/2)(ω1^2x^2 + ω2^2y^2)
x” = –ω1^2x – αx’, y” = –ω1^2y – αy’
α = 0 mellett: x(t) = A1sin(ω1t+δ), y(t) = A2sin(ω2t)
síkmozgások: centrális potenciál
Centrális potenciál? r(t) megoldás? A pálya egyenlete?
V(eff) = V(cf) + V = (m/2)r^2φ’^2 + V = J/(2mr^2) + V
EMT —» E = mr’^2/2 + V(eff) = állandó
A sugár 1D mozgást végez effektív potenciálban.
r(t) = ld. a brahisztokronnál, csak V helyett V(eff)
dφ = J/(mr^2) dt —» dt = |d_r_|/v az előzőek szerint
síkmozgás: hatvány potenciál
Hatványfv. potenciál? A paraméter előjele szerint?
V(r) = –αm/(ar^a), α > 0, a ≠ 0
a szerint:
* a < 0: minden mozgás véges, periodikus (stabil)
* 0 < a < 2: véges mozgás E < 0 mellett, amúgy végtelenbe repül (stabil)
* a = 2: minden pálya kör/mindig beleesik a centrumba/mindig kirepül
* a > 2: KF-től függően instabil körpálya/beesik a centrumba/végtelenbe repül (instabil)
Kepler-mozgás
Kepler-mozgás?
Potenciál?
Nagy tömegű csillag gravitációs terében mozgó kisebb égitest mozgása, a végtelenből jövő vagy oda tartó test mozgása.
V(r) = –γMm/r
Kepler-mozgás
Hodográf?
A sebesség végpontjának mértani helye(?). A sebességvektorokat közös kezdőpontba tolva, a végpontjaik kiadnak egy vonalat, ez a hodográf.
Kepler-mozgás
Pályák polárkoordinátás egyenlete?
Pericentrum?
Kúpszeletek fokális polárkrd.-ás egyenlete:
r(φ) = p/(1+εcosφ), ahol p = J^2/(m^2α), α = γM
A pályán a KP-hoz való minimális távolság.
Kepler-mozgás
Energia? ε függvényében?
Minimum E adott J mellett?
//r = p/(1 – εcosφ), r’ = εsinφ(mα/J) //
E = (m/2)r’^2 + J^2/(2mr^2) – αm/r = (αm/2p)(ε^2 – 1) = +/–αm/2a, ahol a a félnagytengely (+: hiperbola, –: ellpiszis), tehát azonos nagytengely esetén különböző b kistengelyek mellett is azonos az energia.
ε függvényében:
* ε < 1: E < 0
* ε = 1: E = 0
* ε > 1: E > 0
ε = 0: E = –αm/2p
Kepler-mozgás
I. Kepler-törvény?
Pálya alakja:
A bolygók ellipszispályán mozognak, egyik gyújtópontban a Nap.
* a –1/r potenciál jellemzője
Kepler-mozgás
II. Kepler-törvény?
Felületi tétel:
A Naptól mért vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol.
* IMT következménye, minden centrális mozgásra igaz
* dt idő alatt súrolt elemi felület: df = (1/2)r^2dφ —» f’ = (1/2)r^2φ’ = J/2m = áll.
Kepler-mozgás
III. Kepler-törvény?
Keringési idő:
A keringési idő négyzete arányos a nagytengely köbével.
* a –1/r potenciál jellemzője
* a vezérsugár egy év alatt az ellipszis területét súrolja —» f’ = J/2m = πab/T —» T = 2π√(a^3/α)
Kepler-mozgás
Ellipszispályák időfüggése?
x = a(cosξ – ε)
y = bsinξ
ω = (1/ab)(xy’ – yx’) = ξ’(1 – εcosξ) = (d/dt)(ξ – εsinξ)
Kepler-egyenlet: ωt = ξ – εsinξ (transzcendens egyenlet ξ-re)
Kepler-mozgás
Laplace-Runge-Lenz-vektor?
A pálya orientációjának állandóságát fejezi ki, a pericentrum felé mutat. (Az impulzusmomentumon és az energián kívül.)
A = v x J – αm_e_(r) = αmε_e_(x)
Szórásszámítás: V(r) = –αm/r potenciál esetén
Vonzó potenciál?
Kis b vagy kis v0 esetén?
α > 0: a pálya hiperbola
Szórási szög: θ = 2φ0 – π
θ(b, v0) = 2arctg(α/(v0^2b))
θ ≈ π: visszaszórás
Szórásszámítás: V(r) = –αm/r potenciál esetén
Taszító potenciál?
α < 0: a pálya parabola(?)
p < 0
Taszító potenciálon szóródó részecske energiája: E > 0
Szórási szög: θ = π – 2φ0
θ(b, v0) = 2arctg(|α|/(v0^2b))
