Hamiltoni mechanika

Question 1

hamiltoni mechanika

Legendre-transzformáció?

Több dimenzióban?

Answer 1

Kiindulás:
* y = f’(x) = y(x) egyértelműen meghatározza x-et
* x(y) az inverz

Legendre-transzformáció: g(y) fv. bevezetése
g(y) = x(y)y – f(x(y))
* g(y) az f(x) érintőjének negatív tengelymetszete
* g’(y) = x(y) —» g’(y) és f’(x) egymás inverzei
* inverz LT: f(x) = xf’(x) – g(y(x)), a g(y) transzformáltja
* kétszer alkalmazva visszakapódik az eredeti fv.
* külső paraméter: a LT párok e szerinti deriváltjai egymás ellentettjei: ∂(α)g(y,α) = –∂(α)f(x(y),α)

Sima deriválás helyett gradiens (feltéve, hogy az invertálható).

Question 2

hamiltoni mechanika

Új változó? Hamilton-fv.?

Answer 2

Új változó: p kanonikus impulzus, mivel a LT sebességekben végződik
p = ∇(q’) L(q,q‘,t) —» q’ = q‘(p,q,t)
Hamilton-fv.: a Lagrange-fv. LT-ja
H(q,p,t) = q’ p – L
H(q,p,t) = E
* L és H LT párt alkotnak

Question 3

hamiltoni mechanika

Hamiltoni-/kanonikus egyenletek?

Answer 3

x = ∇q ~ q’ = ∇(p)H —» ∂H/∂p(i) = q’(i)
q(i) ~ α —» ∂H/∂q(i) = –∂L/∂q(i) = –F(i) = –p’(i) —» p’ = –∇(q)H —» ∂H/∂q(i) =– p’(i)
* 2f db elsőrendű diff.egyenlet
* fizikailag ekvivalensek az Euler-Lagrange-egyenletekkel, de numerikus szimulációra alkalmasabbak

Question 4

hamiltoni mechanika

Liouville tétele?

Answer 4

Fázistérbeli hely: X = (q,p)
Sebességtér: X’ = V(X) = (q‘,p’) = (∇(p)H,–∇(q)H)

Sebességtér divergenciája a fázistérben:
div(X) V = ∇(q)∇(p)H –∇(p)∇(q)H = 0
A divergenciamentes sebességtér miatt összenyomhatatlan “áramlás” folyik a fázistérben, azaz az adott fázistérbeli pontok által kitöltött fázistérfogat időben megmarad.

Question 5

Hamilton-Jacobi-féle mechanika

Hamilton-Jacobi-egyenlet?

Answer 5

A hatás teljes differenciálja: dS = p d_q_ + Hdt
Innen: S = S(q,t), p = ∇(q)S, –H = ∂S/∂t
Egymásba behelyettesítve:
H(q,∇(q)S,t) + ∂S/∂t = 0
A mechanika eikonál-egyenlete, az eikonál ennek megoldása.

Question 6

Hamilton-Jacobi-féle mechanika

Optikai Fermat-elv?

Answer 6

S(F)[y(x)] = ∫n(r) ds —» L(F)(y,y’,x) —» p = nsinθ —» E(F) = –cosθ
A geometriai optika eikonál-egyenlete:
–∂S(F)/∂x = –H(F)(y,∂S(F)/∂y,x) = √[n^2 – (∂S(F)/∂y)^2] —» |∇S(F)(r)| = n(r)

Question 7

Hamilton-Jacobi-féle mechanika

“Mechanikai” törésmutató?

Answer 7

EMT —» S(r,t) = W(r) –Et —»n(mech)(r) = √(2m(E–V(r))

Question 8

Hamilton-Jacobi-féle mechanika

Maupertuis-Euler-elv TP potenciálmozgására?

Answer 8

Az energiát megőrző potenciálmozgás is Fermat-elvnek tesz eleget —» Maupertuis-Euler-hatásfunkcionál:
S(ME)[r(s)] = ∫n(mech)(r) ds = ∫

Question 8

Hamilton-Jacobi-féle mechanika

Maupertuis-Euler-elv TP potenciálmozgására?

Answer 8

Az energiát megőrző potenciálmozgás is Fermat-elvnek tesz eleget —» Maupertuis-Euler-hatásfunkcionál:
S(ME)[r(s)] = ∫n(mech)(r) ds = ∫√(2m(E–V(r)) ds = ∫|p| ds = ∫p d_r_ = m∫ v d_r_ = m ∫ v^2 dt = 2∫K dt