Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Elméleti mechanika > A mechanika variációs elvei > Flashcards

A mechanika variációs elvei Flashcards

1
Q

FUNKCIONÁL

• Példák?

A

Függvények terén értelmezett függvény.

• Egyszeres/többszörös határozott integrál, Dirac-delta funkcionál.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Variációszámítás alapfeladata?

• Általánosan?

A

Legyen S[y(x)] = ∫(x0,x1) L(y(x),y’(x),x) dx.
Meghatározni, milyen y(x) mellett van S-nek szélsőértéke, minimum vagy maximuma, amennyiben a végpontokban az y(x0) = y0, y(x1) = y1 értékek rögzítve vannak.

• S stacionárius pontját kereshetjük, olyan y(x) fv.-t, amelytől való kicsiny eltérésektől S lineáris rendben nem függ.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Kanonikus erő?

Kanonikus impulzus?

A

Erő: ∂L/∂y = ∂L(u,y’(x),x)/∂u |(u=y(x) = F(y,y’,x)

Impulzus: ∂L/∂y’ = ∂L(y,v,x)/∂v |(v=y’(x) = p(y,y’,x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

EIKONÁLT

• Példa?

A

Az S hatásfunkcionálnak a stacionárius y(x) fv.-en felvett értéke, ami csak a végpontok fv.-e.
S(..) = S(x0,y0,x1,y1) = S[y(x),x0,y0,x1,y1] | y(x)=stac.

• Síkgörbe hossza, mint funkcionál: a megoldás egyenes lesz ofc.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

STACIONARITÁS

  • Többváltozós fv. esetén?
  • Lokális extrémumok?
A

Funkcionál stacionárius pontja analóg egy egyváltozós valós fv. zérus derviálttal jellemzett stacionárius pontjaival, azaz az utóbbi stac. pont környékén lineáris rendben nem változik.
f’(x0) = 0 —» f(x0+dx) ≈ f(x0) + f’(x0)dx = f(x0)

• Az az x hely, ahol a fv. minden argumentuma szerinti parciális deriváltjai eltűnnek.
∂f/∂x_j = 0, j =1,2,…,n ~ ∇f = 0
• Sima funkcionálnál a stacionaritás speciális esetei (ha van egy stac. pont, ahhoz, hogy meg lehessen mondani, hogy szélsőérték-e, másodrendű számítások kellenek, azt meg lenope-oljuk egyelőre).

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

FUNKCIONÁLDERIVÁLT

  • A fv. variációjára kiszabott feltételek?
  • A módosított funkcionál?
  • FUNKCIONÁLIS/VARIÁCIÓS DERIVÁLT?
A

S funkcionál δS megváltozása: S[y(x)+δy(x)]

  • δy(x): y(x)-től ftlen, kicsi (első rendig van sorbafejtve), δy(x0) = δy(x1) = 0, azaz a végpontok rögzítettek.
  • S[y(x)+δy(x)] = S[y(x)] + δS[y(x)]
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

FUNKCIONÁLDERIVÁLT

  • A fv. variációjára kiszabott feltételek?
  • A módosított funkcionál?
  • FUNKCIONÁLIS/VARIÁCIÓS DERIVÁLT?
  • EULER-LAGRANGE-KIFEJEZÉS?
A

S funkcionál δS megváltozása: S[y(x)+δy(x)]

  • δy(x): y(x)-től ftlen, kicsi (első rendig van sorbafejtve), δy(x0) = δy(x1) = 0, azaz a végpontok rögzítettek.
  • S[y(x)+δy(x)] = S[y(x)] + δS[y(x)] ≈ S[y(x)] + ∫(x0,x1) [(∂L/∂y)δy + (∂L/∂y’)δy’] dx = —» csak a variációban lineáris tagok tartódnak meg.
  • δS = ∫(x0,x1) [Fδy – pδy’] dx = ∫(x0,x1) (F – p’)δydx + pδy |(x1,x0) –» innen: δS/δy = F-p’
  • δS/δy = F-p’ = ε(y,y’,y’‘,x)
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

EULER-LAGRANGE-EGYENLET

  • Jellemzők?
  • Példák?
A

Stacionaritási feltétel: δS/δy = F-p’ = ε = 0 —» F = p’

  • Ha y(x) megoldja az E-L-egyenletet: y(x) stacionárius pontja az adott Lagrange-fv.-nyel definiált S[y(x)] funkcionálnak. A diff.egyenlet ált. másodrendű, mert lin. tartalmazza y”-t. Peremfeltételek vagy kezdőfeltételek is egyértelművé tehetik az egyenlet megoldását.
  • Legrövidebb út a síkon rögzített végpontok között, az ívhossz E-L-kifejezése éppen a görbület.
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Eikonál deriváltja a végpontok szerint?

A

Az ott számított kanonikus impulzus.

dS(…) = p(x1)dy1 —» ∂S(…)/∂y1 = p(x1)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Eikonál deriváltja az integrálás felső határa (x1) szerint?

• Eikonál differenciálja?

A

Az ott számított kanonikus energia ellentettje.
A P1 végpont y(x)-en infinitezimálisan elmozdítva: dS(…) = d ∫(x0,x1) L dx = L |(x1) dx1 (az arg.-ban a stac. fv. van).
∂S(…)/∂x1 = (L-py’) |(x1)

• dS(…) = [∂S(…)/∂y1]dy1 + [∂S(…)/∂x1]dx1 = [p(x1)y’(x1) + ∂S(…)/∂x1]dx1 = L |(x1) dx1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

KANONIKUS ENERGIA

• Deriváltja?

A

Másnéven Beltrami-fv.: E = –∂S(…)/∂x1 = py’ – L

• E’ = dE/dx = –εy’ – ∂L/∂x
Ha ∂L/∂x = 0: E’ = 0 —» E=áll.
A stac- megoldás mentén: ε=0 —» E’ = –∂L/∂x, azaz a stac. pályán vett teljes, a krd. szerinti deriváltja a Lagrange-fv. explicit krd.-függése szerinti deriváltjának ellentettje.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Eikonál teljes differenciálja a határpontok megváltoztatásával szemben?

A

dS(…) = p(x1)dy1 – E(x1)dx1 – p(x0)dy0 + E(x0)dx0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Láncszabály funkcionálderiváltakra?

  • Változócsere? Derivált? E-L-fv.? Hatásfunkcionál?
  • Kapcsolat a kétféle funkcionál deriváltja között?
  • Láncszabály?
A

• y(x) = Y(z(x),x), y’ = ∂(_z)Yz’ + ∂(_x)Y —> értékükben azonosak: L_z = L_y —> értékben azonos, alakban különböző: S_y[y] = S_z[z]
• Argumentumcsere esetén a funkcionál értékében nincs változás, így a funkcionálok variációja is azonos.
• Funkcionálok közöt a hagyományos láncszabállyal analóg összefüggés áll fenn:
ε_z = δS_z/δz = (δS_y/δy)∂(_z)Y = (δS_y/δy)∂y/∂z = ε_y∂y/∂z

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Euler-Lagrange-egyenlet változócsere után?

A

y(x) —> z(x): ε_y = 0 —> ε_z = 0

Általában, ha ∂(_z)Y nem zérus vagy végtelen, az y(x) fv. stacionaritási feltétele ekvivalens z(x)-ével.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Alapfeladat speciális esetei?

A
  1. L = L(y,x): p = 0 —> ε = F(x,y) = 0
  2. L = L(y’,x): F = 0 —> ε = –p’ = 0 —> p = áll., azaz a kanonikus impulzus megmaradása következik (ilyen y: ciklikus változó)
  3. L = L(y,y’): stac. y(x) fv.-re ε=0 —> E’ = 0 —> E(x) = py’ – L = áll., azaz a kanonikus energia megmarad.
  4. L = [g(y,x)]’: L teljes derivált x-ben, S = g(y(x),x) = áll. —> δS/δy = ε = 0, azaz ha két fv. teljes deriváltban különbözik, akkor a funkcionális deriváltjaik és így E-L-egyenletek is azonosak.
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Több fv. funkcionálja?

  • Euler-Lagrange-fv.?
  • Kanonikus energia? Deriváltja?
  • Vektoriális jelölések?
  • Hatásfunkcionál teljes variációs differenciálja?
  • Eikonál?
A

Több {y_k(x)}(k=1 —> K) fv.-től függő funkcionál:
S[y1,…y_k] = ∫ L(y1,…y_k,y1’,…y_k’,x) dx

  • Mindegyik y_k(x) fv. szerinti variáció eltűnik: F_k – p’_k = ε_k = 0
  • Skalár értékű fv. marad: E = Σ(k=1, K) p_k*y’_k — L. A derivált: E’ = εy’ – ∂L/∂x, stac. eset: E’ = –∂L/∂x = 0, azaz az energia megmarad HA L nem függ expliciten x-től.
  • Same thing but w/ vektorok: F = (∇_y)L, p= (∇_y’)L
  • δS = ∫(x0,x1) εδydx + p*δy’|(x0,x1), ahol ε (vektor) a funkcionálderivált
  • S[y(x),x0,y0,x1,y1] = S(x0,y0,x1,y1) = S(…), but minden y vektor. Differenciálja: δS(…) = p1(x)dy1 – E(x1)dx1 – p(x0)dy0 + E(x0)dx0
16
Q

Magasabb deriváltak a Lagrange-fv.-ben?

• Integrális tag eltűnésének feltétele?

A

A fv.-ben y^[n] magasabb deriváltak is lehetnek.
A legegyszerűbb eset: S = ∫ L(y,y’,y”,x) —> δS = ∫[(∂L/∂y)δy + (∂L/∂y’)δy’ + (∂L/∂y”)δy”]dx = ∫[(∂L/∂y)+(∂L/∂y’) + (∂L/∂y”)]δydx + határtagok

• Az Euler-Lagrange-egyenlet általánosított alakja, ami általában negyedfokú diff.egyenlet.

17
Q

Kényszerfeltételek?

• Holonom kényszerek?

A

A a hatásfunkcionál stacionárius argumentumait kényszerfeltételek mellett kell keresni.

• A kényszer a variálandó y_k fv.-ek értékeiben, de nem a derviáltjaiban ír elő megszorítást.

18
Q

LAGRANGE-MULTIPLIKÁTOR MÓDSZERE

  • Mit fejez ki?
  • Variációs problémáknál?
  • Több kényszerfeltételnél?
  • Speciális eset?
  • Példák?
A

A fv.: f(_λ)(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y), ahol λ-k a Lagrange-multiplikátorok. A stacionaritási feltétel követelve minden változóban: ∇f + λ∇φ = 0, φ=0. λ eliminálása után: ∂f/∂x + λh’(x) = 0, ∂f/∂y – λ = 0 –» ∂f/∂x + (∂f/∂y)h’(x) = 0

  • Azt, hogy ha a gradiensek “erőként” vannak értelmezve, akkor a ∇f erőnek a λ*∇φ “kényszererő” tart ellen.
  • A kényszer: φ(x,y1,..y_k) = 0. A kiegészített funkcionál: S_λ = S + ∫λφ dx = ∫(L+λφ)dx = ∫L(_λ), ahol λ függhet az x-től. A stacionaritási feltétel módosítva: δS(_λ)/δy(_k) = (ε_λ)_k = δS/δy(_k) + λ[δφ/δy(_k)] —> ε_λ = F – p’ + λ∇φ = 0
  • Minden feltételhez van egy multiplikátor.
  • Integrális feltétel: Φ = ∫φ dx = 0 —» S(_λ) = ∫L dx + λ ∫φ dx, azaz λ ftlen lesz x-től.
  • Láncgörbe, Fermat-elv.
19
Q

MECHANIKAI POTENCIÁL

• E-L-egyenlet?

A

S[r(t)] = ∫ L(r(t), r’(t)) dt = (m/2) ∫ |r’(t)|^2 dt, ahol az integrandus a mechanikai Lagrange-fv.

• Előírás, hogy S a fizikai r(t) pályán rögzített pontok mellet stac.: ε_i = –d/dt(∂L/∂r’_i) = –m*r”_i = 0, i = 1,2,3, tehát a variációs derivált eltűnése tényleg államdó sebességű mozgást ír elő.

20
Q

1D potenciálmozgás?

  • Potenciálos erőtér? Lagrange-fv.? Kanonikus erő? Kanonikus impulzus?
  • E-L-egyenlet?
A 
• F(x,t) = –∂V(x,t)/∂x
  L := mx’^2/2 – V(x,t)
  F = ∂L/∂x = –∂V(x,t)/∂x
  p = ∂L/∂x’ = mx’
• ε = F – p’ = 0
21
Q

Több részecske 3D potenciálmozgása?

  • Lagrange-fv.? Kanonikus erők? Kanonikus impulzusok? E-L-fv.?
  • Konklúzió?
A

N tömegpontból álló rendszer, but minden vektor vagy mátrix:
V(r1,r2,…,r_N,t) —> F_ ki = –∂V/∂r_ki
L(r1,…,r_N, r’1,…,r’_N,t) = Σ(k=1,N) (m_k/2)|r_k|^2 – V(r1,…,r_N, t)
F_ki = ∂L/∂r_ki —> F_k = –∂V/∂r_k = –∇(_k)V
p_ki = ∂L/∂r’_ki —> p_k = mr_k
ε_k = δS/δr_k = F_k – p’_k = –∇(_k)V – m_k*r”_k = 0
• A potenciálmozgás Newton-egyenletei előállnak a bevezetett Lagrange-fv.-ekből képzett hatásfukncionál stacionaritási feltételeként.

22
Q

HAMILTON-ELV

  • Kapcsolat a Newton-egyenletekkel?
  • Lagrange-fv.? Hatásfunkcionál?
A

A fizikailag megvalósuló mozgás mentén a hatás stacionárius, azaz a hatásnak a pályák szerinti funkcionális deriváltja eltűnik.

ε_k = δS/δr_k = F_k – p’_k = 0

  • Ekvivalens velük.
  • L = K – V, a hatásfunkcionál pedig adott kezdő és végső időpont között van (dt szerint kell integrálni).
23
Q

Általános krd.-ák bevezetése holonom kényszerekkel?

  • A rendszer szabadsági fokainak száma?
  • r_k fv.-ek deriváltja az ált. krd.-ákkal?
  • Lagrange-fv. ált. krd.-ákkal?
A

A 3N krd. között kényszerek állnak fenn, amik kifejezhető M feltétellel (holonom kényszerek): Φ_m(r1,…,r_N,t) = 0, m = 1,…,M
A választott ált. krd.-ák automatikusan teljesítik a mellékfeltételeket: q1,…,q_f —> r_k = r_k(q1,…,q_f,t), k = 1,…,N
Az ált. krd.-ákkal tehát a kényszerek azonnal eltűnnek: Φ_m(q1,…,q_f) = 0

  • f = 3N–M
  • r’_k = Σ(j=1,f) (∂r_k/∂q_j)*q’_j + ∂r_k/∂t, k = 1,…,N
  • L(r1,…,r_N,r1’,…,r_N’,t) = L(q1,…,q_f,q1’,…,q’_N,t)
24
Q

Hamilton-elv holonom kényszerekkel?

A

A hatás, mint az ált. krd.-ák trajektóriájának funkcionálja éppen az a funkcionál, ami úgy lesz az r(k)(t) descartes-i trajektóriák funkcionáljából, hogy ezen trajektóriák között az M db kényszer ki van róva. A kényszereknek automatikusan eleget tevő *q(j)(t) trajektória a stacionaritási feltétel:
δS/δq(j) = ∂L/∂q(j) – d/dt(∂L/∂q’(j)) = 0

25
Q

Hamilton-elv ált. krd.-ákkal?

A

Le lehet mondani a végpontok rögzítéséről, de a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. A variációs feltétel, amivel a mozgásegyenletek általában ekvivalensek:
δS – Σ(j=1,f) p(j)δq(j)|(t0,t) = ∫Σ(j=1,f) (F(j) – p(j))δq(j) dt = 0

Elméleti mechanika (17 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions