Merev testek

Question 1

merev testek

Tehetetlenségi nyomaték tenzor? Steiner-tétel?

Answer 1

Θ(ij) = Σ(k)m(k)(δ(ij)r(k)^2 – r(ki)r(kj)
Θ(ij) = ∫d^3r ρ(r) (δ(ij)r^2 – r(i)r(j)
Θ = I TrΓ – Γ, Γ = ∫d^3r ρ(r) r o r

• Θ szimmetrikus, ortogonális sajátrendszere van (főtengelyek): valós sajátértékek (fő tehetetlenségi nyomatékok)

Steiner-tétel: a TKP-i tehetetlenségi nyomaték felhasználásával tetszőleges origó körüli Θ kifejezhető.
Θ(TKP) +M(Ia^2 – a o a), ahol a az origóhoz képesti eltolás

Question 2

merev testek

Impulzusmomentum?

Ha ω párhuzamos az egyik főtengellyel?

Answer 2

A rotációs járulék:
J = ∫d^3r ρ(r) [r x (ω x r)] = Θ ω =
∇(ω)K(rot)

J || ω

Question 3

merev testek

Erőmentes pörgettyűk?

Answer 3

Testek szabad forgása: origó a TKP-ba, rögzített TKP, amire nézve a külső erők forgatónyomatéka zérus
* gömbi pörgettyű: A = B = C —» J = A ω
* rotátor: A = B, C = 0 —» J = A(ω1,ω2,0) = A ω(merőleges)

Question 4

merev testek

Erőmentes szimmetrikus pörgettyű?

Answer 4

J = áll., Z irányba mutat, x3 a test szimmetriatengelye

J = J(mer.) + J3, ω = ω(mer.) + ω3 —» J = A ω(mer.), J3 = C ω3

• ω, Z és x3 minden pillanatban egy S síkba esnek, ami időben változik
• ω a pillanatnyi forgástengely
• x3 tengely bármely pontjának sebessége: ω x x3 e3, merőleges az S síkra
• x3 tengely elfordulása során θ = áll. a Z tengellyel
• S sík x3 tengellyel fordul: J3 = áll. —» J(mer.) = áll. —» ω3 = áll. —» ω(mer.) = áll.
• alternatív felbontás: ω = ω(pr.) + ω(t), ahol a ω(pr.) x e3 precessziós szögsebességgel forog az x3 tengely, a precesszáló kr.-ből nézve a test a tengelye körül ω(t)-vel forog

Question 5

merev testek

Euler-egyenletek?

Answer 5

K főtengelyrendszer: nem inerciarendszer, Θ diagonális, időben állandó
L laborrendszer: inerciarendszer, J‘(M) = M(L), J(L) = O J
K-beli komponensekkel: J’ = J x ω + M, ahol az első tag a tehetetlenségi erők forgatónyomatéka
J = (Aω1,Bω2,Cω3) —» Euler-egyenletek:
Aω1’ = (B – C)ω2ω3 = M1
Bω2’ = (C – A)ω3ω1 = M2
Cω3’ = (A – B)ω1ω2 = M3

Question 6

merev testek

Euler-szögek?

Answer 6

Általános krd.-ák, az L és K rendszerek relatív helyzetét megadó φ, θ és ψ szögek.

Question 7

merev testek: súlyos pörgettyű

Lagrange-fv. ált. potenciálra? Mozgásegyenletek? Energiamegmaradással?

Answer 7

L = K(rot)(φ’,θ’,ψ’,θ,ψ) – V(φ,θ,ψ)
A mozgásegyenletek ekvivalensek a súlyos pörgettyű Euler-egyenleteivel.

EMT —» effektív 1D mozgás: Aθ” = –V’(eff)(θ)