Csillapított mozgások

Question 1

csillapított harmonikus oszcillátor

Mozgásegyenlet? Karakterisztikus egyenlet? Általános megoldás?

Answer 1

mx” = –kx – γx’ —» x” + ω0^2x + αx’ = 0
λ^2 + αλ + ω0^2 = 0 —» λ = –α/2 +/– √(α^2/4 –ω0^2)
x(t) = A(+)e^(λ(+)t) + A(–)e^(λ(–)t)

Question 2

csillapított harmonikus oszcillátor

Gyenge csillapítás?
Jósági tényező? Fázistér?

Answer 2

2ω0 > α
A két ráta komplex, egymás konjugáltjai, képzetes részük a +/– sajátfrekvencia: λ(+/–) = –α/2 +/– iω(s)
x(t) = e^(–(α/2)t)[A1cos(ω(s)t) + A2sin(ω(s)t)]
* Q = |Im(λ)/2Re(λ)| = ω(s)/α, a mozgás frekvenciájnak és a csillapítási tényezőnek a viszonya
* Fázistér: a mozgás az egyensúlyi helyzethez tart, vonzó fixpont van, csigavonal

Question 3

csillapított harmonikus oszcillátor

Erős csillapítás?

Answer 3

2ω0 < α
A két ráta valós: λ(+/–) = –α/2 +/– β
x(t) = e^(–(α/2)t)x0ch(βt) + e^(–(α/2)t)β^(–1)(v0+αx0/2)sh(βt)

Question 4

csillapított harmonikus oszcillátor

Anharmonikus határeset? Megoldás határátmenettel? Fázistér?

Answer 4

2ω0 = α
Egy ráta, nincs automatikusan két lin. ftlen megoldás: λ(+/–) = –α/2
A gyenge csillapítások megoldásából ω(s) —» 0 limeszben: x(t) = x0e^(–(α/2)t) + te^(–(α/2)t)(v0 + αx0/2)
* Fázistér: weird sideboob

Question 5

gerjesztett harmonikus oszcillátor

Mozgásegyenlet?

Answer 5

x” + αx’ + ω0^2x = f(t)

Question 6

gerjesztett harmonikus oszcillátor: harmonikus gerjesztés

Harmonikus gerjesztés általános frekvenciával?
* Komplex, valós amplitúdó?
* Partikuláris megoldás?
* Inhomogén egyenlet megoldása?

Answer 6

f(t) = F0cos(Ωt) = F0(e^(iΩt)+e^(–iΩt))/2
Első taghoz tartozó partikuláris megoldás: x(~)(t) = Xe^(iΩt)
* x(~)(t) visszahelyettesítése a mozgásegyenletbe —» komplex amplitúdó: X = F0/(ω0^2 – Ω^2 + iαΩ)
* δ fázistolást bevezetve: X = Ae^(–iδ) —» valós amplitúdó: A = F0/((ω0^2 – Ω^2)^2 + α^2Ω^2) —» x(~)(t) = Ae^(i(Ωt–δ))
* x(t) = Acos(Ωt–δ)
* x(t) = Acos(Ωt–δ) + e^(–(α/2)t)[Bcos(ω(s)t)+Csin(ω(s)t)]

Question 7

gerjesztett harmonikus oszcillátor: harmonikus gerjesztés

Harmonikus gerjesztés rezonáns frekvenciával?

Answer 7

Azaz milyen Ω = Ω0 gerjesztő frekvencia mellett maximális az amplitúdó?
A gyök alatti kifejezés minimális (deriválni kell Ω^2 szerint): Ω0 = √(ω0^2 – α^2/2) —» A(Ω0) = F0/(αω(s))

Question 8

gerjesztett harmonikus oszcillátor: általános gerjesztés

Megoldás?

Answer 8

Green-fv. módszere: x(t) = [G(R) csillag f] (t)
1. integrálás –τ és τ között τ —» 0 mellett
2. KF-ek: G(R)(0) = 0 és G’(R)(0+) = 1
3. általános megoldás: G(R)(t) = θ(t)e^(–(α/2)t)(1/ω(s))sin(ω(s)t), ha ω0 > α/2 és G(R)(t) = θ(t)e^(–(α/2)t)(1/β)sh(βt), ha ω0 < α/2

A Green-fv. behelyettesítésével x(t) tetszőleges gerjesztésre előállítja a trajektóriát.