3D-s rugalmas kontinuum

Question 1

3D-s rugalmas kontinuum

Deformációtenzor? “deformáció” vektor differenciáloperátora?

Answer 1

Olyan elmozdulások, amelyek révén az anyagban lévő távolságok (helytől és iránytól függően) általában megváltoznak, ezt jellemzi a tenzor.

ε = (1/2)[∇ o u + (∇ o u )^T + (∇ o u )(∇ o u )^T]

Lineáris rugalmasságtanban: ε = (1/2)[∇ o u + (∇ o u )^T] = def(u)

• szimmetrikus
• ε(i) jelentése relatív megnyúlás
• relatív térfogatváltozás: div(u)
• eltolásra: ε = 0
• forgatás kicsi szöggel, állandó elemek: u = Δφ x r
• diagonális elemek: nyújtás, nemdiagonális elemek: nyírás

Question 2

3D-s rugalmas kontinuum

Rugalmas energiasűrűség?

Answer 2

Φ = (1/2)ε(ij)C(ijkl)ε(kl) = (1/2)ε:C:ε
Harmonikus közelítésben:
Φ = (λ/2)(Trε)^2 + μTrε^2, ahol λ és μ a Lamé-állandók.

Question 3

3D-s rugalmas kontinuum: mozgásegyenletek

Feszültségtenzor?

Answer 3

Rugalmasságtanban: σ(ij) = ∂φ/∂ε(ij) —» σ = ∂φ/∂ε —» σ = C ε

A három kanonikus feszültségvektor a rugalmas feszültség tenzorát adja: [σ(i)] (j) = ∂Φ/∂u(i)(j)

A kettő definíció között azonosság van.

Question 4

3D-s rugalmas kontinuum: mozgásegyenletek

Mozgásegenlet a kanonikus mennyiségekből?

Answer 4

ρ(r): időben áll. sűrűség
v(u): külső térfogati erők potenciális energiasűrűsége
Λ(u,u(t),ε) = (ρ/2)|u|^2 – Φ(ε) – v(u)
Kanonikus mezők:
f(i) = –∂v/∂u(i), p(i) = ρu(i)(t), σ(i) = ∂Φ/∂∇u(i)

p(i)(t) = f(i) + ∇σ(i) —» ρu(i)(tt) = –∂v/∂u(i) + (∂Φ/∂u(i)(j))(j)

Question 5

3D-s rugalmas kontinuum: mozgásegyenletek

Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete?

Answer 5

ρ u(tt) = f + μΔu + (μ + λ)∇(∇u)
* egyensúlyban: f + μΔu + (μ + λ)∇(∇u) = 0
* rotációmentes elmozdulásnál (∇ x u = 0): ∇(∇u) = Δu —» f + (2μ + λ)Δu = 0