Gyorsuló koordináta-rendszerek

Question 1

Forgó rendszer azonos origóval

Vektorok transzformációja forgó (azonos origójú) rendszerek esetén?

• Mi marad változatlan elforgatott kr.-ben? Következmény?

Answer 1

r-t és r’-t lin. transzformáció köti össze: r = O_r_’
(r és r‘: ugyanazon vektor különböző reprezentációi)

• A vektorok hossza és a bezárt szögeik. Következmény: O a skalárszorzatra invariáns: r1 r2 = O_r1’O_r2’ _* = *_r1’_O(T)O_r2’ _* = *_r1’_O^(–1)O_r2’ _* = *_r1’ r2’

Question 2

Forgó rendszer azonos origóval

Sebességek átszámítása?

• Általános (nem hely-) vektor esetén?
• Ha b együtt forog K’-vel?

Answer 2

Vektor sebessége az ω-val forgó kr.-hez viszonyított sebességének és a forgásból származó sebességnek az összege.

Ha v időfüggő: v = r(.) = (O_r_’)(.) = v(‘) + O(.)O(T)r = v(‘) + Ω_r_ = v(‘) + ω x r, ahol
v(‘) = O_r’(.)* : *_r’(.) sebesség a K-beli komponensekkel
Ω = O(.)O(T) antiszimmetrikus mátrix

• Ftlen, hogy milyen vektor, ugyanez igaz: b —> b(.) = v(b) = v(‘)(b) + ω x b
• v(‘)(b) = 0 —> b(.) = ω x b, azaz a forgás adott pillanatban a szögsebesség vektorával jellemezhető, nem csak az O forgásmátrixtól és a deriváltjától függ

Question 3

Forgó rendszer azonos origóval

Gyorsulások átszámítása?

• Gyorsulásvektor?

Answer 3

A forgó K’-beli észlelt gyorsulás megegyezik a K’-höz viszonyított sebesség K’-höz viszonyított deriváltjával a K-beli komponensével értve.

a = r() = (Or’)() = d/dt[Or’() + O()r’] = Or’() + 2O()r’() + O(**)r’ = a(‘) + 2Ωv(‘) + O()O(T)r = a(‘) + 2Ωv(‘) + Ω()r + Ω(^2)r —> a = a0 + a(‘) + 2ω x v(‘) + β x r + ω x (ω x r), ahol
a(‘): K’-beli gyorsulás K-beli reprezentációja
a0: K’ transzlációs gyorsulása K-hoz képest

• β = ω() = Oω’() + ω x ω = Oω’(*) = β(‘)
  Tehát a K és K’-beli β ugyanaz a “fizikai” vektor, az O mátrix transzformálja egymásba a K és K’-beli komponenseket.

Question 4

tehetetlenségi erők

EÖTVÖS-EFFEKTUS

• Magyarázatok?

Answer 4

NY «—» K irányú mozgás hatására változik a mozgás.

• A Földhöz rögzített rendszerben a felszínre merőleges Coriolis-erő komponens jelent meg. Illetve, azon rendszer szögsebessége, ahol a test nyugszik, módosult az ω_F-hez képest, ezért a centrifugális erő változott.

Question 5

tehetetlenségi erők

Coriolis-erő hatásai?

Answer 5

— É–D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el
— Örvények keletkezése: ciklon (felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomás, pozitív forgásirány), anticiklon (lefelé áramlás körül alakul ki, magas nyomás, negatív forgásirány)
— tipikus szélirányok: passzátszél (Föld felszínén), futóáramlat (7-16 km magasságban)

Question 6

tehetetlenségi erők

Tehetetlenségi erők?

Answer 6

a0*m : tehetetlenségi transzlációs
r x β : Euler
2m v(‘) x ω : Coriolis
–m ω x (ω x r) : centrifugális