Csillagos tételek Flashcards
ekvivalens variációs feladatok: ált. potenciálban függő kötél
Kiindulás, stacionarizálandó funkcionál?
3D, V(r) ált. potenciál, ν homogén tömegeloszlás, l0 adott hosszú kötél, r0 és r1 végpontok
A hatás: ívhosszal paraméterezett r(s) funkcionálja
S[r(s)] = ∫(r0,r1) V(r) ds + λ(∫(r0,r1) ds – l0)
• első tag: v-vel osztott potenciális energia
• második tag: a hosszt rögzítő Lagrange-multiplikátoros tag
ekvivalens variációs feladatok: ált. potenciálban függő kötél
Mi az alapgondolat és miért helytelen a dolog? Megoldás?
Alapgondolat: a szélsőérték meghatározása az r(s) szerint képzett variációs funkcionált nullával egyenlővé téve. Ez helytelen eredményt ad, mert az s ívhossz nem ftlen krd., hanem a görbe variálásakor ez is megváltozik. Megoldás áttérni egy hipotetikus, de ftlen másik (pl. u) paraméterre.
ekvivalens variációs feladatok: ált. potenciálban függő kötél
Áttérés az u paraméterre?
ds = |d_r_| = |r‘(u)|du —» u eleme [0,u1]
S[r(u)] = ∫(r0,r1) (V(r) + λ) ds – λl0 = ∫(0,u1) (V(r) + λ)|r‘(u)|du – λl0 = ∫(0,u1) L(u) du – λ*l0 = S[r(u)]
ekvivalens variációs feladatok: ált. potenciálban függő kötél
Erő, impulzus, Euler-Lagrange?
λ szerepe?
le nem írom ide ezeket
A potenciál additív állandója, ami a külső erőt nem befolyásolja, de az l0 hossz rögzített értékéhez kell.
ekvivalens variációs feladatok: ált. potenciálban függő kötél
Visszatérve u-ról s-re az EL-egyenlet?
insert egyenlet here
ekvivalens variációs feladatok
Funkcionál és kényszerfeltétel felcserélhetősége? Paraméterek illesztése? Euler-Lagrange?
Például a csere megfeleltetése gravitációs potenciálnál?
Stacionarizálandó funkcionál és globális kényszerfeltétel szerepei felcserélhetők, azaz az integrálnál lehet V(r) integrálja beszorozva λ-val.
A megoldások paramétereinek illesztése a megoldásban különbözőek, de a szerepek felcserélése esetén az Euler-Lagrange-kifejezés azonos marad.
Adott hossz, minimális energia «—» adott energia, legrövidebb hossz
ekvivalens variációs feladatok: brahisztokron probléma ált. potenciálban
Kiindulás, kérdés?
A kérdés megfordítva?
Adott E teljes energia, nem feltétlenül nyugalomból indított TP, súrlódásmentes siklás lejtőn lefele, r0 és r1 között, V(r) potenciál.
Kérdés: Milyen alakú görbe mentén lesz a legrövidebb a menetidő?
Stac. menetidőhöz tartozó görbe alakja?
ekvivalens variációs feladatok: brahisztokron probléma ált. potenciálban
Görbe paraméterezése? Sebesség számítása?
Paraméterezés az s ívhossz szerint. A v sebesség az EMT alapján számítható:
E = mv^2/2 + V(r) —» v = √[(2/m)(E–V(r))]
ekvivalens variációs feladatok: brahisztokron probléma ált. potenciálban
A menetidő számítása?
Menetidő számításának módja adott:
T = ∫ds/v = S[r(s)] = √(m/2) ∫ ds/√(E–V(r)) = T = 1/√(2g) ∫√(1+y’^2)dx/√(E/mg–(y0–y))
Integrálási tartomány végig: [r0; r1]
ekvivalens variációs feladatok: brahisztokron probléma ált. potenciálban
Összefüggés a köteles problémával?
A brahisztokronos funkcionál a kötelesnél kapott kifejezéssel azonos típusú, így függő kötél egyensúlyi alakjára vonatkozó összefüggések analóg módon tekinthetők brahisztokronnak.
ekvivalens variációs feladatok: Fermat-elv
Mit mond ki az elv? Kiindulás, kérdés?
Fermat-elv: az elérési idő és az optikai úthossz stacionaritását mondja ki.
v = c/n közegbeli sebesség, elérési idő, utóbbi c-szerese az optikai úthossz.
Kérdés: Fény minimális menetidejű pályája?
ekvivalens variációs feladatok: Fermat-elv
Optikai úthossz funkcionálja?
S[r(s)]= cT = c∫ds/v = c∫ds/(c/n(r)) = ∫ n(r) ds = S[r(s)]
ekvivalens variációs feladatok: Fermat-elv
Különbség a brahisztokronhoz képest?
Szoros az analógia, de itt a fénysebesség helyfüggését az anyag polarizálhatósága határozza meg és a fényterjedés törvénye szerint választódik a legrövidebb menetidejű pálya. Ezzel szemben mechanikai brahisztokron esetén a sebesség helyfüggése a potenciálból jön és én mondom meg a pályát, ami mentén a legrövidebb idő alatt végighalad.
ekvivalens variációs feladatok
Összefoglalva a három probléma közötti összefüggés?
kötél: V(r)+λ ~ brahisztokron: 1/√(E–V(r)) ~ Fermat: n(r)
Az utóbbi kettőnél nincs rögzített pálya, így nincs hozzájuk Lagrange-multiplikátor. Az összesre fennáll a Snellius-Descartes-törvény.
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Kvadratikus potenciál + kis perturbáció?
V(x) = (k/2)*x^2+εv(x)
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Periódusidő sorbafejtésének lépései?
- Feltevések, feltételek: |V(x)|»|εv(x)|, v(x) energiadimenziójú, ε dimenziótlan
- Fordulópontok: A+, A– —» E = V(A+) = V(A–), ezek függenek ε-tól
- Periódusidő felbontása: x >/< 0 tartományokban eltöltött “féloldalas” idők:
T(E) = T+(E) + T–(E) - ε kiküszöbölése a felső határokból
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Periódusidő számítása?
- EMT —» |x•| = √[(2/m)(E–V(x))]
- t–t0 = √(m/2)∫|dx|/√(E–V(x))
- útvonalfüggő integrál: |dx| = ds, ahol ds az 1D-s pálya elemi útvonala
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Fordulópont?
A legközelebbi olyan elért x(F) hely, ahol E=V(x(F)) —» x•|x(F) = 0
• x• f.pontban válthat előjelet, monoton a következőig
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Véges mozgás?
Az x0 kiindulópont mindkét oldalán min. egy-egy fordulópont van.
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Periódusidő? Potenciál a fordulópontban és ennek eredménye?
Harmonikus oszcillátor definíciója?
A két fordulópont között eltöltött idő duplája.
T = √(2m)∫(xF-,xF+) dx/√(E–V(x))
A potenciál lehet:
* közel lineáris —» parabolikus időfüggés
* kvadratikus maximum —» exponenciális időfüggés
Kvadratikus potenciálban mozgó részecske.
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
ε kiküszöbölése a felső határokból?
ε = 0?
Egyenként a féloldalas időkből:insert számolás here
1. E = V(A+) = (k/2)A+^2 + εv(A+)
2. x := A+ sin(u) —» dx = A+ cos(u)du helyettesítés [0, π/2] határokkal
3. ω = √(k/m) és α = ε/(kA+^2) helyettesítések
Végeredmény:
** T+ = √(2m)∫(0,A+) dx/√(E–V(x)) = (2/ω)∫(0,π/2) cos(u)/√(cos^2(u) + 2α[v(A+)–v(A+ sin(u))])**
Harmonikus oszcillátor félperiódusideje.
anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás
Periódusidő sorbafejtése, vezető korrekció? Konklúziók?
- Felhasználandó összefüggés: (1+y)^(-1/2) = 1– y/2 + O(α^2)
- Kitérés a korrekcióban: közelíthető a perturbálatlan értékkel: A+ ≈ A– ≈ A0 = √(2E/k)
- A periódusidó korrekcióval: insert számolás here
T = (2π/ω)[1 + 2ε/(πkA0^2)*I(A0)]
Páratlan v(x) az ε-ban elsőrendben nem módosítja a periódusidőt.
A potenciál perturbációja a periódusidő energiafüggését eredményezi.
anharmonikus oszcillátor periódusideje: dimenzióanalízis
- Kiindulási potenciál?
- Energia?
- Paraméterek dimenziója?
- Periódusidő mivel arányos?
- β értékileg?
- Páros, pozitív kitevőjű potenciál.
- E = mv^2/2 + b*|x|^β
- Egy idődimenziójú kombináció:
* hossz: (β√)(E/b)
* sebesség: √(E/m)
* idő: hossz/sebesség = E^(1/β-1/2)b^(–1/β)m^(1/2) - A periódusidó arányos: T(E) ~ E^(1/β-1/2)b^(–1/β)m^(1/2)
- β > 2: keményedő potenciál —» T(E) csökken, β < 2: lágyuló potenciál —» T(E) nő
variációs elv disszipatív rendszerekre: súrlódási erő sűrű közegben
Kiindulás? Súrlódási erő? Mozgásegyenlet?
kis kiterjedésű TP, amire közegellenállásból származó súrlódási erő hat
* súrlódási erő: F = –γ_v_, sűrű közegben kis sebességre közel lineáris
* mozgásegyenlet: mx(**) = –γx() – V’(x)* 1D potenciálmozgás esetén
variációs elv disszipatív rendszerekre: súrlódási erő sűrű közegben
Disszipált teljesítmény?
A súrlódási erő által a TP-on végzett teljesítmény.
E() = d/dt((m/2)x()^2 + V(x)) = –γx()^2* = F(s)x() = E()
variációs elv disszipatív rendszerekre: Descartes krd.-ákkal
Disszipációs/Rayleigh-függvény?
Disszipatív mozgásegyenlet?
3D-ben minden?
R(v) = γv^2/2 —» R = (1/2)Σ(k=1,N)γ(k)|v(k)|^2
F(s) = –R’(v)
(d/dt)(∂L/∂x) = (∂L/∂x) – (∂R/∂x)
*mx** = –V’(x) – γx**
r vektor k-adik komponense kell mindenhol.
variációs elv disszipatív rendszerekre: Descartes krd.-ákkal
Disszipatív mozgásegyenletek variációs alakja?
A Hamilton-elv disszipatív rendszerekre való kiterjesztése, ami már nem áll elő egyetlen funkcionál stacionaritási feltételeként.
S = ∫ L dt, D = ∫ R dt
δS/δr(k) = δD/δr*(k)
variációs elv disszipatív rendszerekre: általános krd.-ákkal
Hatás kiegészítése Lagrange-multiplikátoros tagokkal?
Φ(m)(r1,r2,…,rN,t) = 0, m = 1,2,…,M
L(λ) = L + Σ(l=1,M) λ(l)Φ(l)
S(λ) = ∫ L(λ) dt —» δS(λ)/δ_r_(k) = δD/δ_r_*(k)
variációs elv disszipatív rendszerekre: általános krd.-ákkal
- Descartes-krd.-ák előállítása ált. krd.-ák függvényeiként?
- λ-kat nem tartalmazó mozgásegyenlet?
- A láncszabály alkalmazva a variációs deriváltakra?
Fontos alkalmazandó reláció?
- r(k)(q1,q2,…,qf,t)
- A funkcionálok differenciális alakja beszorozva kétféle alakú de ekvivalens derivált tenzorral mindkét oldalon:
Σ(k) (δS(λ)/δ_r_(k))(∂r(k)/∂q(j)) = Σ(k) (δD/δ_r_•(k))(∂r•(k)/∂q•(j)) - δS(λ)/δq(j) = δD/δq•(j) = ∂R/∂q•(j) —» R a sebességek deriváltjaitól nem függ, így D variációja az R parciális deriváltja
variációs elv disszipatív rendszerekre: általános krd.-ákkal
Euler-Lagrange-egyenlet?
Általános/kanonikus súrlódási erők definiálása?
ε(j) = ∂L/∂q(j) – (d/dt)(∂L/∂q•(j)) = F(j) – p•(j) = ∂R/∂q•(j)
F(s)(j) = –∂R/∂q•(j) = δD/δq•(j)
kényszererők számításának módszere
Megoldás általános módszere?
Kiindulás a kényszer valódi elmozdulásokra: Σ(k) a(jk)(q,t) dq(k) + a(j0)(q,t) dt, j = 1,…,M, a(jk): Φ(j) deriváltjai
1. Kiindulás deriválása t szerint: Σ(k)a(jk)q’(k) + a(j0) = 0
2. Előző deriválása q és t szerint is: Σ(k) a(jk)q”(k) + Σ(k,l)(∂a(jk)/∂q(l))q’(k)q’(l) + Σ(k) (∂a(j0)/∂q(k))q’(k) + ∂a(j0)/∂t = 0
3. q”(k) kifejezése a mozgásegyenletből a λ, q, q’ változókkal, visszahelyettesítés a teljes deriváltba. M db egyenlet λ, q és q’ között.
4. λ-k kifejezése q és q’ változókkal, visszahelyettesítése a mozgásegyenletbe. f db q, q’ és q”-öt tartalmazó mozgásegyenlet.
5. q(t)-k meghatározása (innen λ(t)-k expliciten adódnak a 4) miatt)
kényszererők számításának módszere: síkgörbe
Kényszererő számításának elkerülése ált. krd.-ákkal?
effektív 1D mozgás:
x ált. krd. —» y = f(x) —» v^2 = x’^2 + y’^2 = x’^2(1 + f’^2)
Lagrange-fv.: L = K – V = mv^2/2 – V(x,y(x)) = (m(eff)/2)x’^2 – V(eff)(x) = L
kényszererők számításának módszere: síkgörbe
Kényszererő számítása multiplikátorral?
Konklúzió?
Holonom kényszer: Φ(x,y) = y – f(x) = 0
Mozgásegyenletek: mr” = F(sz) + F(k) = –∇V + λ∇Φ
Külső erőtér nélkül: mr” = λ∇Φ —» m(x”, y”) = λ(–f’(x), 1)
1. y = f(x) —» y’ —» y”
2. x” és y” kifejezése a két mozgásegyenletből —» visszahelyettesítés y”
3. λ kifejezése az előzőből (v^2 = x’^2(1 + f’^2) —» x’^2)
4. λ visszahelyettesítése: F(k) = λ_∇_Φ —» |F(k)| = mv^2/R —» R(x) = (1 + f’^2)^(3/2)/f”
Mechanikai alapon lett kiszámítva az általános síkgörbe görbületi sugara
kényszererők számításának módszere: síkgörbe
Hol válik el a részecske?
- y (lefelé) irányú homogén erőtér, y = f(x) alakú lejtő: m(x”,y”) = λ(–f’(x),1) + mg(0,1) —» λ < 0 esetben tartja a lejtő a lejtő a testet
- λ helyfüggése: y kétszeres deriválása, x” és y” kifejezése a mogásegyenletekből, visszahelyettesítés az elsőbe, λ kifejezése
- Felülettől való elválás: hol λ = 0 —» osztásR(x)-szel —» v^2/R centripetális gyorsulás kifejezése
kényszererők számításának módszere: felület, gravitáció
Kényszerfeltétel?
Mozgásegyenlet?
Kényszerfeltétel: Φ(x,y,z) = h(x,y) –z —» ∇Φ = (∇h(x,y), –1)
Mozgásegyenlet: mr” = mλ∇Φ –mge(z), ahol mλ egyben a multiplikátor
kényszererők számításának módszere: felület, gravitáció
Kényszer idő szerinti deriválása?
- r’∇Φ = 0 deriválása (∇ hattatása)
- r” kifejezése a mozgásegyenletből —» visszahelyettesítés az előzőbe
- λ kifejezése
- λ visszahelyettesítése a mozgásegyenletbe —» mr” = F(k) + F(sz) —» F(k) = F(szt) + F(cp)
kényszererők számításának módszere: felület, gravitáció
Meghatározott kényszererők?
- F(szt): sztatikus nyomóerő, gravitációs erő felületre normális komponense
- F(cp): centripetális erő, sebességben négyzetes nyomóerő, felületen maradáshoz szükséges
adiabatikus invariáns
Vizsgálat tárgya? Kiindulás?
Kérdés: hogy változik az energia, ha a rendszer egy külső λ paramétere az időben lassan változik, miközben a többi állandó.
f = 1 szabadsági fok, H(q,p,λ) Hamilton-fv. periodikus mozgást határoz meg állandó λ és H(q,p,λ) = E mellett, λ lassú változása megengedett
adiabatikus invariáns
Fázistérbeli terület?
állandó λ, (q,p) fázistérbeli pálya: p = p(q,E,λ), feltevés, hogy a fordulópontokban p = 0
adiabatikus invariáns: a periodikus mozgás fázistérbeli pályája által közrefogott terület, mint E és λ függvénye:
I(E,λ) = ∮ p dq = 2∫(q(min),q(max)) p(q,E) dq
ahol q(min) és q(max) a fordulópontok.
adiabatikus invariáns
Energia szerinti derivált?
E = H(q,p,λ) —» 1 = (∂H/∂p)(∂p/∂E) = q’(∂p/∂E) —» dq(∂p/∂E) = dt
∂I(E,λ)/∂E = (∂/∂E)∮p dq = ∮ dt = T = ∂I(E,λ)/∂E
adiabatikus invariáns
Külső paraméter szerinti deriválás?
E = H(q,p,λ) —» 0 = ∂H/∂λ + (∂H/∂p)(∂p/∂λ) = ∂H/∂λ + q’(∂p/∂λ) —» dq(∂p/∂λ) = –(∂H/∂λ)dt
∂I(E,λ)/∂λ = (∂/∂λ)∮p dq = ∮ dq(∂p/∂λ) = –∫(T)(∂H/∂λ)dt = ∂I(E,λ)/∂λ
adiabatikus invariáns
I teljes integrálja?
dI = (∂I/∂E)dE + (∂I/∂λ)dλ
adiabatikus invariáns: lassan változó paraméter
Kiindulás?
λ = λ(t), állandó λ’, elég lassú változás ahhoz, hogy λ egy periódus alatt közel állandó, periódus alatt: ΔE, Δλ = Tλ’ kicsi növekmények
adiabatikus invariáns: lassan változó paraméter
Vezető rendben a terület változása?
I teljes differenciálja megadja:
ΔI ≈ TΔE – ∫(T) (∂H/∂λ)dtΔλ =T(ΔE – ∫(T) H’ dt = 0
adiabatikus invariáns: lassan változó paraméter
Konklúzió(k)?
I közel állandó
* E és λ egy periódus alatt közel állandó
* ΔI-ben ΔE és Δλ egymást kompenzálják, így I ezeknél is sokkal lassabban változik
adiabatikus invariáns
Energia-adiabatikus invariáns-periódusidő kapcsolat?
Általános formula a periódusidőre: ∂I/∂E = T
Ha I(E,λ) invertálható: ∂E(I,λ)/∂I = 1/T = v
adiabatikus invariáns
Harmonikus oszcillátornál?
Fázistérbeli pálya p(q): q = Acos(ωt) (a = A), p = –Amωsin(ωt), (b = Amω)
Adiabatikus invariáns (ellipszis területe): I = ∮p dq = πab = πA^2mω = (2π/ω)(A^2mω^2/2) = (2π/ω)E = E/v = I
* itt most v a külső paraméter, ami ha lassan változik időben, I közel állandó
* E ~ v: az energia a sajátfrekvenciájával arányosan változik
* harmonikus oszcillátor energiája lineáris az adiabatikus invariánsban: E = Iv
adiabatikus invariáns
Potenciál harmonikus oszcillátornál? Innen az energia?
V(r) = –β/r egy periódus alatt közel állandó
* f = 3 szabadságfokú rendszer —» q = (r,θ,φ) —» létezik több adiabatikus invariáns
* becslés dimenzióanalízissel: E ~ (m^a)(β^b)(I^c) —» ml^2/t^2 = m^a(ml^3/t^2)^b(ml/t)^c —» a = 1, b = 2, c = –2 —» E ~ mβ^2/I^2
* a véges pályákra: *I(i) = ∮p(i) dq(i) —» E = –(2π^2mβ^2)/(I(r) + I(θ) + I(φ))^2
adiabatikus invariáns
Korrespondencia-elv kvantummechanikai értelmezése? Követelése?
Adott potenciálban magasan gerjesztett kötött állapotok “keringő” hullámcsomagként képzelhetők el.
Nagy n-re: ΔE(n)/Δn = E(n+1) – E(n) ≈ hv
Azaz a keringő részecske olyan frekvenciájú sugárzást bocsásson ki/beeső rezgésre rezonáljon, melynek energiakvantuma éppen a szomszédos pályára való ugrásnak megfelelő energiakülönbség.
adiabatikus invariáns
Bohr-Sommerfeld kvantumfeltétel?
A korrespondencia-elv összhangban van az adiabatikus invariáns kvantálási feltételével:
I = I(n) = h(n + áll.)
* ekkor ΔI(n) = h, azaz: v = ΔE(n)/ΔI(n) = [E(n+1) – E(n)]/h
rudak nagy kihajlása
Kiindulás?
gravitáció, erőfeszítés elhanyagolva, csak a hajlítási potenciális energia figyelembevétele, állandó L hossz
* V(hajl.) = (EI/2)∫(0,L) 1/R^2 dx: dx a neutrális vonal menti ívhossz, kiterjeszthető nagy hajlításokra is, ha a keresztmetszet átmérője jóval kisebb az R sugárnál
* paraméterezés ívhosszal: x —» s
* síkgörbe jellemzése: θ(s) irányszöggel, deriváltja a görbület: V(hajl.) = (EI/2)∫(0,L) θ’(s)^2 ds
rudak nagy kihajlása: befogott, oldalra húzott végű rúd
Kiindulás?
F: a feszültségmentes irányra merőlegesen y irányú húzóerő —» egyensúlyi görbe alakja?
rudak nagy kihajlása: befogott, oldalra húzott végű rúd
Teljes potenciális energia? Energia egyensúlyban? Peremfeltételek? EL-egyenlet?
V = V(hajl.) – Fy(L) = (EI/2)∫(0,L) θ’(s)^2 ds – F∫(0,L) dy = (EI/2)∫(0,L) θ’(s)^2 ds – F∫(0,L) sinθ(s) ds = V
Egyensúlyban a potenciális energia stac.:
0 = δV = ∫(0,L) (EIθ’δθ’ –Fcosθδθ) ds = ∫(0,L) (EIθ” –Fcosθ) δθds + EIθ’δθ|(0,L)
PF: befogott vég: θ(0) = 0 —» θ’(0) = 0, szabad vég: δθ(L) határozatlan —» θ’(L) = 0
L = (EI/2)θ’(s)^2 – Fsinθ(s) —» 0 = EIθ”(s) + Fcosθ(s)
rudak nagy kihajlása: befogott, oldalra húzott végű rúd
Kanonikus energia? Az ívhossz szögfüggése? Derékszögű komponensek parametrikus alakjai?
E(k) = pθ’ – L = (EI/2)θ’(s)^2 + Fsinθ = Fsinθ(L) = (EI/2)θ’(0)^2
s(θ) = √(EI/2F)∫(0,θ) dθ/√(sinθ1–sinθ) —» nem teljes, elsőfajú elliptikus integrál
Derékszögű krd.-ák: insert képlet here
rudak nagy kihajlása: befogott, visszafelé húzott végű rúd
Feszítetlen állapothoz képest? Teljes potenciális energia? Kanonikus energia? EL-egyenlet?
Feszítetlen állapothoz képest:
–F(L – x(L)) = F∫(0,L) cosθ(s) ds – FL
Teljes potenciális energia:
V = (EI/2)∫θ’(s)^2 ds + F∫ cosθ(s) ds
L = (EI/2)θ’(s)^2 + Fcosθ(s) —» EIθ”(s)^2 + Fsinθ(s) = 0
E(k) = (EI/2)θ’(s)^2 – Fcosθ(s) = –Fcosθ(L) = (EI/2)θ”(0) –F
rudak nagy kihajlása: befogott, visszafelé húzott végű rúd
Euler-stabilitás kritikus ereje?
Ingamozgás idejét alulról poz. min. idő határolja, ezzel analógia:
L ≥ (π/2)√(EI/F) —» F ≥ EIπ^2/(4L^2)
Ha ez nem teljesül, a megoldás: θ = 0 nyugalmi helyzet —» egyenes rúd
F = EIπ^2/(4L^2): egyik végén befogott, másik végén nem rögzített rúd Euler-stabilitásának kritikus ereje
rudak nagy kihajlása: befogott, visszafelé húzott végű rúd
Nagy kitérésekre a görbe alakja?
EMT —» s(θ) = √(EI/2F)∫(0,θ) dθ/√(cosθ – cosθ1) —» L = s(θ1)
rudak kis rezgései
Longitudinális rezgések?
Rúd, végén TP-tal
1. Lagrange-fv.: sűrűségfv. u1-es részének térintegrálja + M tömeg kinetikus energiája —» hatás felírása
2. Peremfeltétel: u(0,t) = 0 —» stacionaritási feltételek: p = Aρu(t), σ = EAu(x) —» δS = 0: innen a feltételek
3. EL-egyenlet: hullámegyenlet —» u(x,t) = sin(ωt)sin(kx) «— ω = ck, c = √(E/ρ) —» visszahelyettesítés az egyik feltételbe (z = kL, m = ρAL)
4. Megoldás: végtelen sok transzcendens gyök —» nagy indexre: z(n) ≈ (n –1)π —» szabad végű rúd: M = 0 —» z(n) ≈ (n –1/2)π
5. M»_space; m eset: sorfejtéssel az alapfrekvencia —» azonos a tömegtelen rúdra helyezett M(eff) tömegű test rezgésének frekvenciájával (véges idő múlva az alapmódus lesz a domináns)
rudak kis rezgései
Hajlítási rezgések?
egyik végén befogott rúd, másik végén M tömegű test, nincs erőfeszítés, nincs gravitáció
M = 0 eset: elágazás nélküli hangvilla
1. Hatás:u(x,t) transzverzális kitérés funkcionálja
2. Peremfeltételek: u(0,t) = 0, u(x)(0,t) = 0 —» stacionaritási feltételek: p = ρAu(t), μ = –EIu(xx), σ = μ(x) —» többi feltétel a hatás variációjából
3. Az egyik stac. feltétel mozgásegyenlet, aminek egyensúlyi állapotból induló megoldása: u(x,t) = aψ(x)sin(ωt) —» ψ(x) = sin(kx) + bsh(kx) + ccos(kx) + dch(kx)
4. Peremfeltételek kiegészítése az együtthatók megválasztásával: u(0,t) = 0 —» ψ(0) = 0, u(x)(0,t) = 0 —» ψ’(0) = 0, u(xx)(L,t) = 0 —» ψ”(L) = 0
5. M = 0 eset: a gyökök jó közelítéssel —» z(n) ≈ (2n – 1)π/2
belső csillapodás rugalmas közegben
Disszipáció bevezetése?
rugalms def.—» csillapodás —» mozgásegyenletek kiegészítése a D disszipációs funkcionállal
- Kontinuum: ∫R dt = D
- Euler-Lagrange általánosítva a kontinuum mechanikára: δS/δu = δD/δu(t) = δR/δu(t) —» u(t) sebességmező szeirnt van a deriválás, R a deformáció
- deformció: ε(t) = def[u(t)] —» R[ε(t)] = ∫r(ε(t)) dV
- newtoni súrlódás kis sebességre sűrű közegben: r = (1/2) ε(t) C’ ε(t), ahol C(ijkl)-ek a viszkozitási együtthatók
belső csillapodás rugalmas közegben
Súrlódási feszültségtenzor?
σ’ = δR/δ ε(t) = ∂r/∂ε(t)
Newtoni közegben: σ’ = C’ε(t)
belső csillapodás rugalmas közegben
Viszkozitási együtthatók fellépése?
Izotrop, newtoni közegben: r = (η’/2)(Trε)^2 + ηTr(ε^2)
σ’ = η’ITrε(t) + 2ηε(t)
belső csillapodás rugalmas közegben
A csillapítást tartalmazó mozgásegyenlet?
Példa?
δS/δu = δR/δu(t)
ρu(tt) = f + μΔu + (μ + λ)∇(∇u) + ηΔu(t) + (η + η’)∇(∇u(t))
ρu(tt) = f + (2μ + λ)Δu + (2η + η’)Δu(t)
Térfogati hullámok csillapodása: u —» Θ, ν = (2η + η’)/ρ
