Csillagos tételek Flashcards

Question

# variációs elv disszipatív rendszerekre: súrlódási erő sűrű közegben Disszipált teljesítmény?

Answer 1

A súrlódási erő által a TP-on végzett teljesítmény. *E(*) = d/dt((m/2)x(*)^2 + V(x)) = –γx(*)^2* = **F(s)x(*) = E(*)**

Answer 2

**R(v) = γv^2/2** —» **R = (1/2)Σ(k=1,N)γ(k)|_v_(k)|^2** *F(s) = –R'(v)* *(d/dt)(∂L/∂x*) = (∂L/∂x) – (∂R/∂x*)* *mx** = –V'(x) – γx** | *_r_* vektor *k*-adik komponense kell mindenhol.

Answer 3

A Hamilton-elv disszipatív rendszerekre való kiterjesztése, ami már nem áll elő egyetlen funkcionál stacionaritási feltételeként. *S = ∫ L dt*, *D = ∫ R dt* **δS/δr(k) = δD/δr*(k)**

Answer 4

*Φ(m)(_r1_,_r2_,...,_rN_,t) = 0*, *m = 1,2,...,M* **L(λ) = L + Σ(l=1,M) λ(l)Φ(l)** *S(λ) = ∫ L(λ) dt* —» **δS(λ)/δ_r_(k) = δD/δ_r_*(k)**

Answer 5

1. **r(k)(q1,q2,...,qf,t)** 2. A funkcionálok differenciális alakja beszorozva kétféle alakú de ekvivalens derivált tenzorral mindkét oldalon: *Σ(k) (δS(λ)/δ_r_(k))(∂_r_(k)/∂q(j)) = Σ(k) (δD/δ_r_•(k))(∂_r_•(k)/∂q•(j))* 3. **δS(λ)/δq(j) = δD/δq•(j) = ∂R/∂q•(j)** —» *R* a sebességek deriváltjaitól nem függ, így *D* variációja az *R* parciális deriváltja

Answer 6

*ε(j) = ∂L/∂q(j) – (d/dt)(∂L/∂q•(j))* = **F(j) – p•(j) = ∂R/∂q•(j)** *F(s)(j) = –∂R/∂q•(j) = δD/δq•(j)*

Answer 7

Kiindulás a kényszer valódi elmozdulásokra: *Σ(k) a(jk)(q,t) dq(k) + a(j0)(q,t) dt*, *j = 1,...,M*, *a(jk)*: *Φ(j)* deriváltjai 1. Kiindulás deriválása *t* szerint: *Σ(k)a(jk)q'(k) + a(j0) = 0* 2. Előző deriválása *q* és *t* szerint is: *Σ(k) a(jk)q"(k) + Σ(k,l)(∂a(jk)/∂q(l))q'(k)q'(l) + Σ(k) (∂a(j0)/∂q(k))q'(k) + ∂a(j0)/∂t = 0* 3. *q"(k)* kifejezése a mozgásegyenletből a *λ, q, q'* változókkal, visszahelyettesítés a teljes deriváltba. *M* db egyenlet *λ, q* és *q'* között. 4. *λ*-k kifejezése *q* és *q'* változókkal, visszahelyettesítése a mozgásegyenletbe. *f* db *q*, *q'* és *q"*-öt tartalmazó mozgásegyenlet. 5. *q(t)*-k meghatározása (innen *λ(t)*-k expliciten adódnak a 4) miatt)

Answer 8

effektív 1D mozgás: *x* ált. krd. —» *y = f(x)* —» *v^2 = x'^2 + y'^2 = x'^2(1 + f'^2)* Lagrange-fv.: *L = K – V = mv^2/2 – V(x,y(x))* = **(m(eff)/2)x'^2 – V(eff)(x) = L**

Answer 9

Holonom kényszer: *Φ(x,y) = y – f(x) = 0* Mozgásegyenletek: *mr" = _F_(sz) + _F_(k) = –∇V + λ∇Φ* Külső erőtér nélkül: *mr" = λ∇Φ* —» **m(x", y") = λ(–f'(x), 1)** 1. *y = f(x)* —» *y'* —» *y"* 2. *x"* és *y"* kifejezése a két mozgásegyenletből —» visszahelyettesítés *y"* 3. *λ* kifejezése az előzőből (*v^2 = x'^2(1 + f'^2)* —» *x'^2*) 4. *λ* visszahelyettesítése: *_F_(k) = λ_∇_Φ* —» **|_F_(k)| = mv^2/R** —» *R(x) = (1 + f'^2)^(3/2)/f"* | Mechanikai alapon lett kiszámítva az általános síkgörbe görbületi sugara

Answer 10

1. *y* (lefelé) irányú homogén erőtér, *y = f(x)* alakú lejtő: **m(x",y") = λ(–f'(x),1) + mg(0,1)** —» *λ < 0* esetben tartja a lejtő a lejtő a testet 2. *λ* helyfüggése: *y* kétszeres deriválása, *x"* és *y"* kifejezése a mogásegyenletekből, visszahelyettesítés az elsőbe, *λ* kifejezése 3. Felülettől való elválás: hol *λ = 0* —» osztás*R(x)*-szel —» *v^2/R* centripetális gyorsulás kifejezése

Answer 11

Kényszerfeltétel: *Φ(x,y,z) = h(x,y) –z* —» *∇Φ = (∇h(x,y), –1)* Mozgásegyenlet: **mr" = mλ∇Φ –mge(z)**, ahol *mλ* egyben a multiplikátor

Answer 12

1. *r'∇Φ = 0* deriválása (∇ hattatása) 2. *r"* kifejezése a mozgásegyenletből —» visszahelyettesítés az előzőbe 3. *λ* kifejezése 4. *λ* visszahelyettesítése a mozgásegyenletbe —» *mr" = _F_(k) + _F_(sz)* —» **_F_(k) = _F_(szt) + _F_(cp)**

Answer 13

* *_F_(szt)*: sztatikus nyomóerő, gravitációs erő felületre normális komponense * *_F_(cp)*: centripetális erő, sebességben négyzetes nyomóerő, felületen maradáshoz szükséges

Answer 14

Kérdés: hogy változik az energia, ha a rendszer egy külső *λ* paramétere az időben lassan változik, miközben a többi állandó. *f = 1* szabadsági fok, *H(q,p,λ)* Hamilton-fv. periodikus mozgást határoz meg állandó *λ* és *H(q,p,λ) = E* mellett, *λ* lassú változása megengedett

Answer 15

állandó *λ*, *(q,p)* fázistérbeli pálya: *p = p(q,E,λ)*, feltevés, hogy a fordulópontokban *p = 0* adiabatikus invariáns: a periodikus mozgás fázistérbeli pályája által közrefogott terület, mint *E* és *λ* függvénye: **I(E,λ) = ∮ p dq = 2∫(q(min),q(max)) p(q,E) dq** ahol *q(min)* és *q(max)* a fordulópontok.

Answer 16

*E = H(q,p,λ)* —» *1 = (∂H/∂p)(∂p/∂E) = q'(∂p/∂E)* —» **dq(∂p/∂E) = dt** *∂I(E,λ)/∂E = (∂/∂E)∮p dq = ∮ dt* = **T = ∂I(E,λ)/∂E**

Answer 17

*E = H(q,p,λ)* —» *0 = ∂H/∂λ + (∂H/∂p)(∂p/∂λ) = ∂H/∂λ + q'(∂p/∂λ)* —» **dq(∂p/∂λ) = –(∂H/∂λ)dt** *∂I(E,λ)/∂λ = (∂/∂λ)∮p dq = ∮ dq(∂p/∂λ)* = **–∫(T)(∂H/∂λ)dt = ∂I(E,λ)/∂λ**

Answer 18

**dI = (∂I/∂E)dE + (∂I/∂λ)dλ**

Answer 19

*λ = λ(t)*, állandó *λ'*, elég lassú változás ahhoz, hogy *λ* egy periódus alatt közel állandó, periódus alatt: *ΔE*, *Δλ = Tλ'* kicsi növekmények

Answer 20

*I* teljes differenciálja megadja: *ΔI ≈ TΔE – ∫(T) (∂H/∂λ)dtΔλ =T(ΔE – ∫(T) H' dt = 0*

Answer 21

*I* közel állandó * *E* és *λ* egy periódus alatt közel állandó * *ΔI*-ben *ΔE* és *Δλ* egymást kompenzálják, így *I* ezeknél is sokkal lassabban változik

Answer 22

Általános formula a periódusidőre: **∂I/∂E = T** Ha *I(E,λ)* invertálható: **∂E(I,λ)/∂I = 1/T = v**

Answer 23

Fázistérbeli pálya *p(q)*: *q = Acos(ωt)* (*a = A*), *p = –Amωsin(ωt)*, (*b = Amω*) Adiabatikus invariáns (ellipszis területe): *I = ∮p dq = πab = πA^2mω = (2π/ω)(A^2mω^2/2) = (2π/ω)E* = **E/v = I** * itt most *v* a külső paraméter, ami ha lassan változik időben, *I* közel állandó * *E ~ v*: az energia a sajátfrekvenciájával arányosan változik * harmonikus oszcillátor energiája lineáris az adiabatikus invariánsban: **E = Iv**

Answer 24

*V(r) = –β/r* egy periódus alatt közel állandó * *f = 3* szabadságfokú rendszer —» *q = (r,θ,φ)* —» létezik több adiabatikus invariáns * becslés dimenzióanalízissel: *E ~ (m^a)(β^b)(I^c)* —» *ml^2/t^2 = m^a(ml^3/t^2)^b(ml/t)^c* —» *a = 1*, *b = 2*, *c = –2* —» **E ~ mβ^2/I^2** * a véges pályákra: *I(i) = ∮p(i) dq(i) —» **E = –(2π^2mβ^2)/(I(r) + I(θ) + I(φ))^2**

Answer 25

Adott potenciálban magasan gerjesztett kötött állapotok "keringő" hullámcsomagként képzelhetők el. Nagy *n*-re: **ΔE(n)/Δn = E(n+1) – E(n) ≈ hv** Azaz a keringő részecske olyan frekvenciájú sugárzást bocsásson ki/beeső rezgésre rezonáljon, melynek energiakvantuma éppen a szomszédos pályára való ugrásnak megfelelő energiakülönbség.

Answer 26

A korrespondencia-elv összhangban van az adiabatikus invariáns kvantálási feltételével: **I = I(n) = h(n + áll.)** * ekkor *ΔI(n) = h*, azaz: *v = ΔE(n)/ΔI(n) = [E(n+1) – E(n)]/h*

Answer 27

gravitáció, erőfeszítés elhanyagolva, csak a hajlítási potenciális energia figyelembevétele, állandó *L* hossz * *V(hajl.) = (EI/2)∫(0,L) 1/R^2 dx*: *dx* a neutrális vonal menti ívhossz, kiterjeszthető nagy hajlításokra is, ha a keresztmetszet átmérője jóval kisebb az *R* sugárnál * paraméterezés ívhosszal: *x* —» *s* * síkgörbe jellemzése: *θ(s)* irányszöggel, deriváltja a görbület: **V(hajl.) = (EI/2)∫(0,L) θ'(s)^2 ds**

Answer 28

*_F_*: a feszültségmentes irányra merőlegesen *y* irányú húzóerő —» egyensúlyi görbe alakja?

Answer 29

*V = V(hajl.) – Fy(L) = (EI/2)∫(0,L) θ'(s)^2 ds – F∫(0,L) dy* = **(EI/2)∫(0,L) θ'(s)^2 ds – F∫(0,L) sinθ(s) ds = V** Egyensúlyban a potenciális energia stac.: *0 = δV = ∫(0,L) (EIθ'δθ' –Fcosθδθ) ds = ∫(0,L) (EIθ" –Fcosθ) δθds + EIθ'δθ|(0,L)* PF: befogott vég: *θ(0) = 0* —» *θ'(0) = 0*, szabad vég: *δθ(L)* határozatlan —» *θ'(L) = 0* *L = (EI/2)θ'(s)^2 – Fsinθ(s)* —» **0 = EIθ"(s) + Fcosθ(s)**

Answer 30

*E(k) = pθ' – L = (EI/2)θ'(s)^2 + Fsinθ = Fsinθ(L) = (EI/2)θ'(0)^2* **s(θ) = √(EI/2F)∫(0,θ) dθ/√(sinθ1–sinθ)** —» nem teljes, elsőfajú elliptikus integrál Derékszögű krd.-ák: *insert képlet here*

Answer 31

Feszítetlen állapothoz képest: *–F(L – x(L)) = F∫(0,L) cosθ(s) ds – FL* Teljes potenciális energia: **V = (EI/2)∫θ’(s)^2 ds + F∫ cosθ(s) ds** *L = (EI/2)θ’(s)^2 + Fcosθ(s)* —» **EIθ"(s)^2 + Fsinθ(s) = 0** *E(k) = (EI/2)θ’(s)^2 – Fcosθ(s) = –Fcosθ(L) = (EI/2)θ"(0) –F*

Answer 32

Ingamozgás idejét alulról poz. min. idő határolja, ezzel analógia: *L ≥ (π/2)√(EI/F)* —» *F ≥ EIπ^2/(4L^2)* Ha ez nem teljesül, a megoldás: *θ = 0* nyugalmi helyzet —» egyenes rúd **F = EIπ^2/(4L^2)**: egyik végén befogott, másik végén nem rögzített rúd Euler-stabilitásának kritikus ereje

Answer 33

EMT —» **s(θ) = √(EI/2F)∫(0,θ) dθ/√(cosθ – cosθ1)** —» *L = s(θ1)*

Answer 34

Rúd, végén TP-tal 1. Lagrange-fv.: sűrűségfv. *u1*-es részének térintegrálja + *M* tömeg kinetikus energiája —» hatás felírása 2. Peremfeltétel: *u(0,t) = 0* —» stacionaritási feltételek: *p = Aρu(t)*, *σ = EAu(x)* —» *δS = 0*: innen a feltételek 3. EL-egyenlet: hullámegyenlet —» **u(x,t) = sin(ωt)sin(kx)** «— *ω = ck*, *c = √(E/ρ)* —» visszahelyettesítés az egyik feltételbe (*z = kL*, *m = ρAL*) 4. Megoldás: végtelen sok transzcendens gyök —» nagy indexre: *z(n) ≈ (n –1)π* —» szabad végű rúd: *M = 0* —» *z(n) ≈ (n –1/2)π* 5. *M >> m* eset: sorfejtéssel az alapfrekvencia —» azonos a tömegtelen rúdra helyezett *M(eff)* tömegű test rezgésének frekvenciájával (véges idő múlva az alapmódus lesz a domináns)

Answer 35

egyik végén befogott rúd, másik végén *M* tömegű test, nincs erőfeszítés, nincs gravitáció *M = 0* eset: elágazás nélküli hangvilla 1. Hatás:*u(x,t)* transzverzális kitérés funkcionálja 2. Peremfeltételek: *u(0,t) = 0*, *u(x)(0,t) = 0* —» stacionaritási feltételek: *p = ρAu(t)*, *μ = –EIu(xx)*, *σ = μ(x)* —» többi feltétel a hatás variációjából 3. Az egyik stac. feltétel mozgásegyenlet, aminek egyensúlyi állapotból induló megoldása: *u(x,t) = aψ(x)sin(ωt)* —» **ψ(x) = sin(kx) + bsh(kx) + ccos(kx) + dch(kx)** 4. Peremfeltételek kiegészítése az együtthatók megválasztásával: *u(0,t) = 0* —» *ψ(0) = 0*, *u(x)(0,t) = 0* —» *ψ'(0) = 0*, *u(xx)(L,t) = 0* —» *ψ"(L) = 0* 5. *M = 0* eset: a gyökök jó közelítéssel —» *z(n) ≈ (2n – 1)π/2*

Answer 36

rugalms def. —» csillapodás —» mozgásegyenletek kiegészítése a *D* disszipációs funkcionállal * Kontinuum: *∫R dt = D* * Euler-Lagrange általánosítva a kontinuum mechanikára: *δS/δu = δD/δu(t) = δR/δu(t)* —» *_u_(t)* sebességmező szeirnt van a deriválás, *R* a deformáció * deformció: **ε(t) = def[u(t)]** —» *R[ε(t)] = ∫r(_ε_(t)) dV* * newtoni súrlódás kis sebességre sűrű közegben: **_r_ = (1/2) _ε_(t) C' _ε_(t)**, ahol *C(ijkl)*-ek a viszkozitási együtthatók

Answer 37

**σ' = δR/δ _ε_(t) = ∂r/∂_ε_(t)** Newtoni közegben: *σ' = C'ε(t)*

Answer 38

Izotrop, newtoni közegben: *r = (η'/2)(Trε)^2 + ηTr(ε^2)* **σ' = η'ITrε(t) + 2ηε(t)**

Answer 39

*δS/δu = δR/δu(t)* *ρu(tt) = f + μΔu + (μ + λ)∇(∇u) + ηΔu(t) + (η + η')∇(∇u(t))* **ρu(tt) = f + (2μ + λ)Δu + (2η + η')Δu(t)** | Térfogati hullámok csillapodása: *u —» Θ*, *ν = (2η + η')/ρ*