Kis rezgések egyensúly körül

Question 1

kis rezgések egyensúly körül

Lagrange-fv.? Mikor van egyensúly?

Answer 1

L = (1/2)q‘M(q)q’ + V(q)
Egyensúlyi helyzetben: ∇(q)V(q) = 0

Question 2

kis rezgések egyensúly körül

Egyensúlytól való kis kitérés?

Answer 2

Tömegmátrix egyensúlyban (M(q) ≈ M), potenciál sorbafejtése másodrendig:
V(q) ≈ V(q(e)) + (1/2)(q –q(e))K(q –q(e))
* K a potenciál Hesse-mátrixa: M ált. poz. def. —» stabil egyensúlyban K is poz. szemidef.
* (q –q(e)) —» q, V(q(e)) = áll. elhagyható

Question 3

kis rezgések egyensúly körül

Lagrange-fv. kis kitérésekre? Általánosított mennyiségek?

Answer 3

L = (1/2)q’ M q’ + (1/2)q K q
* p = M q‘: tömegmátrix ált. sebességvektora
* F = –K q: többD-s rugóerő, K a rugóállandó mátrixa

Question 4

kis rezgések egyensúly körül

Mozgásegyenlet? Megoldás? Sajátfrekvenciák karakterisztikus egyenletei?

Answer 4

p’ = F —» M q” = –K q —» q” = –A q
q(t) = Σ(j=1,f) c(j)e^[i(ω(j)t + δ(j)] a(j), ahol a(j)-k a normálmódusok
|A – ω^2I| = |M^(–1)K – ω^2I| = 0 ~ |K – ω^2M| = 0