Summen von Vektorräumen

Question 1

Sei V ein K-Vektorraum und W₁, …, Wᵣ ⊆ V. Wie ist die Summe von W₁, …, Wᵣ definiert?

Answer 1

W₁ + … + Wᵣ := {v ∈ V: es gibt vⱼ ∈ Wⱼ mit v = v₁ + … + vᵣ}

Question 2

Welche drei Eigenschaften gelten für eine Summe von Untervektorräumen W₁ + … + Wᵣ ⊆ V?
(V ist ein K-Vektorraum)

Answer 2

(1) W₁ + … + Wᵣ ⊆ V ist ein Untervektorraum.
(2) W₁ + … + Wᵣ = span(W₁ ∪ … ∪ Wᵣ).
(3) dim(W₁ + … + Wᵣ) ≤ dimW₁ + … + dimWᵣ.

Question 3

Was besagt die Dimensionsformel für Summen?

Answer 3

Für endlich-dimensionale Untervektorräume W₁, W₂ ⊆ V gilt:
dim(W₁ + W₂) = dimW₁ + dimW₂ - dim(W₁ ∩ W₂).

Hinweis: Schaut man z.B. zwei Ebenen in ℝ³ an, so sind die Ebenen Untervektorräume mit dim = 2 in ℝ³. Für die Dimension der beiden Ebenen addiert gilt:
dim(W₁ + W₂) = dimW₁ + dimW₂ - dim(W₁ ∩ W₂)
= 2 + 2 - (1 oder 2), also dim = 3 oder dim = 2. Dies macht Sinn, veranschaulicht man sich die zwei Ebenen, so wäre die grösstmögliche Dimension der Schnittmenge dim = 2, wenn die Ebenen genau übereinander liegen. Ansonsten ist die Schnittmenge eine Linie mit dim = 1.

Question 4

Beweise:
Für V = W₁ + W₂ gilt:
W₁ ∩ W₂ = {0} ⇒ Jedes v ∈ V ist eindeutig darstellbar als v = w₁ + w₂ mit w₁ ∈ W₁, w₂ ∈ W₂.

Answer 4

Ist v = w₁ + w₂ = w~₁ + w~₂, so folgt:

w₁ - w~₁ = w~₂ - w₂ ∈ W₁ ∩ W₂.

Question 5

Beweise:
Für V = W₁ + W₂ gilt:
Jedes v ∈ V ist eindeutig darstellbar als v = w₁ + w₂ mit w₁ ∈ W₁, w₂ ∈ W₂. ⇒ Zwei von Null verschiedene Vektoren w₁ ∈ W₁ und w₂ ∈ W₂ sind linear unabhängig.

Answer 5

Sind w₁, w₂ linear abhängig, so erhält man verschiedene Darstellungen des Nullvektors.

Question 6

Beweise:
Für V = W₁ + W₂ gilt:
Zwei von Null verschiedene Vektoren w₁ ∈ W₁ und w₂ ∈ W₂ sind linear unabhängig. ⇒ W₁ ∩ W₂ = {0}.

Answer 6

Ist 0 ≠ v ∈ W₁ ∩ W₂, so erhält man einen Widerspruch durch 1v + (-1)v = 0.

Question 7

Was bedeutet die Notation V = W₁ ⊕ W₂ und wann gilt sie?

Answer 7

V = W₁ ⊕ W₂ ⇔ Ein Vektorraum V ist die direkte Summe von zwei Untervektorräumen W₁, W₂.

Es gilt, V = W₁ ⊕ W₂,
wenn V = W₁ + W₂ und W₁ ∩ W₂ = {0}.

Question 8

Sei V endlich-dimensional mit Untervektorräumen W₁, W₂. Welche zwei Aussagen bzw. Bedingungen sind gleichwertig zu V = W₁ ⊕ W₂?

Answer 8

V = W₁ ⊕ W₂
⇔ Es gibt Basen (w₁, …, wₖ) von W₁ und (w’₁, …, w’ₙ) von W₂, so dass (w₁, …, wₖ, w’₁, …, w’ₙ) eine Basis von V ist.
⇔ V = W₁ + W₂ und dimV = dimW₁ + dimW₂.

Question 9

Sei V endlich-dimensional und W ⊆ V ein Untervektorraum. Wie ist ein direkter Summand W’ von V zu W definiert?

Answer 9

Sei V endlich-dimensional und W ⊆ V ein Untervektorraum, so gibt es dazu einen (im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmten) Untervektorraum W’ zu V, so dass:
V = W ⊕ W’.
W’ ist hierbei der direkte Summand von V zu W.

Question 10

Welche Bedingungen müssen für einen Vektorraum V und Untervektorräume W₁, …, Wₖ gelten, damit V die direkte Summe von W₁, …, Wₖ sein kann, also dass
V = W₁ ⊕ … ⊕ Wₖ gilt?

Answer 10

(DS1) V = W₁ + … + Wₖ

(DS2) Sind w₁ ∈ W₁, …, wₖ ∈ Wₖ gegeben mit w₁ + … + wₖ = 0, so folgt w₁ = … = wₖ = 0.

Question 11

Für Untervektorräume W₁, …, Wₖ eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V , welche zwei Bedingungen sind äquivalent zu: V = W₁ ⊕ … ⊕ Wₖ?

Tipp:

(1) Basis
(2) Dimension

Answer 11

V = W₁ ⊕ … ⊕ Wₖ
⇔ Ist für jedes i ∈ {1, …, k} eine Basis (v₁⁽ᶦ⁾, …, vᵣᵢ⁽ᶦ⁾) von Wᵢ gegeben, so ist 𝓑 := (v₁⁽ᶦ⁾, …, vᵣᵢ⁽ᶦ⁾, …, v₁⁽ᵏ⁾, … vᵣₖ⁽ᵏ⁾) eine Basis von V.
⇔ V = W₁ + … + Wₖ und dimV = dimW₁ + … + dimWₖ.

Die Klammern um die hochgestellten Indizes signalisieren, dass es sich hierbei um Indizes und nicht um Exponenten handelt!