Einführung, Verknüpfungen und Gruppen

Question 1

Was versteht man unter einer Verknüpfung ∘ auf einer Menge G und wie sieht die Funktion ∘ aus?

Answer 1

Eine Verknüpfung ist eine Vorschrift, die zwei gegebenen Elementen a, b ∈ G ein neues Element ∘(a, b) ∈ G zuordnet:
∘: G × G → G, (a, b) ↦ ∘(a, b)

Question 2

Wann ist eine Verknüpfung kommutativ?

Answer 2

Wenn a ∘ b = b ∘ a

Question 3

Ist die Verknüpfung (ℕ, +) kommutativ? Begründe.

Answer 3

Ja, da z.B. 2 + 4 = 4 + 2 = 6.

Question 4

Ist die Verknüpfung (ℚ, /) kommutativ? Begründe.

Answer 4

Nein, da z.B. 8 / 4 = 2 aber 4 / 8 = 0.5.

Question 5

Wann ist eine Verknüpfung assoziativ?

Answer 5

Wenn (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)

Question 6

Sind die Verknüpfungen (ℤ, +), (ℤ, -), (ℤ, *), (ℤ, /) assoziativ? Begründe.

Answer 6

(ℤ, +): Ja, da z.B. (5 + (-3)) + 2 = 4 = 5 + ((-3) + 2).
(ℤ, -): Nein, da z.B. (5 - (-3)) - 2 = 6 aber 5 - ((-3) - 2) = 10.
(ℤ, *): Ja, da z.B. (5 * (-3)) * 2 = -30 = 5 * ((-3) * 2)
(ℤ, /): Nein, da z.B. (6 / (-3)) / 2 = -1 aber 6 / ((-3) / 2) = -4.

Question 7

Was ist ein neutrales Element einer Verknüpfung? Was ist das neutrale Element in (ℤ, +), (ℤ, *) und (ℤ, ^)?

Answer 7

Ein neutrales Element ist ein Element e, das verknüpft mit einem Element a wieder a ergibt: e * a = a.
Für (ℤ, +) ist e = 0.
Für (ℤ, *) ist e = 1.
Für (ℤ, ^) ist e = 1.

Question 8

Was ist ein inverses Element einer Verknüpfung? Was ist das neutrale Element in (ℤ, +), (ℤ, *) und (ℤ, ^)?

Answer 8

Ein inverses Element a’ verknüpft mit a ergibt das neutrale Element: a’ ∘ a = e.
Für (ℤ, +) ist a’ = -a.
Für (ℤ, *) ist a’ = a^(-1).
Für (ℤ, ^) ist a’ = 0.

Question 9

Welche Verknüpfung a ∘ b würde das arithmetische Mittel (= Durchschnitt) definieren?

Answer 9

a ∘ b := (a + b) / 2

Question 10

Was ist eine Gruppe? Welches sind die zwei Axiome einer Gruppe?

Answer 10

Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∘ heisst Gruppe, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
(G1):
∀ a,b,c ∈ G: a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c (Assoziativität)
(G2):
∃! e ∈ G | ∀ a ∈ G: e ∘ a = a ∘ e = a (neutrales Element) und
∀ a ∈ G ∃! a’ ∈ G | a’ ∘ a = e (inverses Element)

Question 11

Was macht eine Gruppe zu einer abelschen Gruppe?

Answer 11

Wenn die Gruppe zusätzlich kommutativ ist, also für alle a, b ∈ G gilt: a ∘ b = b ∘ a.

Question 12

Was für Gruppen kann man aus den Mengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ zusammen mit den Verknüpfungen + und * bilden? Begründe.

Answer 12

(ℤ, +), (ℚ, +) und (ℝ, +).
Bei (ℕ, +) fehlt die Null als neutrales Element.
Bei (ℕ, *) und (ℤ, *) fehlen die Brüche als inverse Elemente.
Bei (ℚ, *) und (ℝ, *) existiert aufgrund der Null nicht zu jedem a ∈ G ein inverses Element: a’ = 1 / 0 ?

Question 13

Was ist eine Untergruppe?

Answer 13

Eine nichtleere Teilmenge G’ ⊆ G
wenn für alle a, b ∈ G’ gilt:
a ∘ b ∈ G’ und
a^(-1) ∈ G’

Question 14

Was ist ein Gruppenhomomorphismus? Was zeigt uns ein Homomorphismus? Wann ist es ein Isomorphismus?

Answer 14

Eine Abbildung φ von einer Gruppe G: (G, ∘) auf eine Gruppe H: (H, ●) mit der Eigenschaft:
φ(a ∘ b) = φ(a) ● φ(b), für alle a, b ∈ G.
Er zeigt uns, dass bei dieser Abbildung die algebraische Struktur erhalten bleibt.
Wenn diese Abbildung bijektiv ist, ist es ein (Gruppen-)Isomorphismus.

Question 15

Welche Eigenschaft weist ein Gruppenhomomorphismus φ: G → H bezüglich des neutralen Elements auf? Beweise.

Answer 15

φ(e) = e’, wenn e ∈ (G, ∘) und e’ ∈ (H, ●) die beiden neutralen Elemente sind, da:
e’ ● φ(e) = φ(e) = φ(e ∘ e) = φ(e) ∘ φ(e)

Question 16

Welche Eigenschaft weist ein Gruppenhomomorphismus φ: G → H bezüglich des inversen Elements auf? Beweise.

Answer 16

φ(a’) = φ(a’) für alle a ∈ (G, ∘), wobei a’ ∈ (H, ●) das inverse Element ist, da:
e’ = φ(e) = φ(a’ ∘ a) = φ(a’) ∘ φ(a),
wobei e’ ∈ (H, ●).

Question 17

Was stimmt bezüglich der Umkehrabbildung φ^(-1) eines Isomorphismus φ? Beweise.

a) φ^(-1) ist ebenfalls ein Isomorphismus.
b) φ^(-1) ist ein Homomorphismus.
c) φ^(-1) ist keines von beiden.

Answer 17

a)
Seien a, b ∈ (G, ∘) und c = φ(a) , d = φ(b) ∈ (H, ●). So ist:
φ(a ∘ b) = φ(a) ● φ(b) = c ● d, also:
φ^(-1) (c ● d) = a ∘ b = φ^(-1) (c) ∘ φ^(-1) (d)

Question 18

Welche Verknüpfungen auf den Gruppen G = (ℝ, ∘) und H = (ℝ+, ●) machen die Abbildung φ: G → H, x ↦ e^x zu einem Homomorphismus?

Answer 18

∘ = + und ● = *, da e^(a+b) = e^a + e^b.

Question 19

Wann liegen zwei Elemente x und x’ in der selben Restklasse einer Rechnung modulo m?

Answer 19

Wenn (x - x’) durch m teilbar ist.

z.B. liegen 9 und 5 in der selben Restklasse mod 4, da 9-5 = 4, teilbar durch 4.

Question 20

Was ist ein Repräsentant einer Restklasse? Gib ein Beispiel.

Answer 20

Eine einzelne Zahl aus einer bestimmten Restklasse, z.B. 4 aus der Restklasse [1] von ℤ/3ℤ.

Question 21

Wie definieren wir eine Restklasse [a] einer Rechnung ℤ/mℤ?

Answer 21

[a] = a + mℤ, wobei a ein beliebiger Repräsentant von [a] ist.

Question 22

Was für eine algebraische Struktur weist die Menge der Restklassen ℤ/mℤ bezüglich der Addition auf? Wie sieht es mit der Abbildung ℤ → ℤ/mℤ aus? Begründe.

Answer 22

Die Restklassenmenge ℤ/mℤ ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe und die Abbildung ℤ → ℤ/mℤ ein surjektiver Homomorphismus.
Wir betrachten die Gruppe (ℤ, ∘), welche alle Eigenschaften einer abelschen Gruppe erfüllt. Aufgrund der homomorphen Eigenschaft der Abbildung ℤ → ℤ/mℤ kann man die Gruppeneigenschaften von ℤ auf ℤ/mℤ übertragen, da die algebraische Struktur erhalten bleibt.
Bsp.: G = (ℤ, +), H = (ℤ/4ℤ, +), φ: G → H, z ↦ [z].
Seien a = 3, und b = 2. So gilt: 7+3 = [2] = [([7] + [3])] = [3+3] = [2]. Rückwärts geht das jedoch nicht, deshalb ist der Homomorphismus surjektiv.

Question 23

Was ist eine zyklische Gruppe der Ordnung m? Wann ist eine Gruppe unendlich zyklisch?

Answer 23

Die Gruppe ℤ/mℤ für m>0 ist eine zyklische Gruppe der Ordnung m. Also bei mod 4 hat die Gruppe Ordnung 4. Unendlich zyklisch ist die Gruppe für m=0, d.h. ℤ/0ℤ.