Koordinatentransformationen und Matrizenumformungen Flashcards
Welches ist das durch eine Basis 𝓑 eines Vektorraums V bestimmte Koordinatensystem in V und was sind entsprechend die Koordinaten eines Vektors v in V? Wie hängen diese Dinge zusammen?
Sei V ein Vektorraum mit einer Basis 𝓑 = (v₁, …, vₙ). Dazu gehört der Isomorphismus 𝛷ᵦ: Kⁿ → V mit 𝛷ᵦ(eⱼ) = vⱼ für j = 1, …, n, wobei e₁, …, eₙ die kanonische Basis des Kⁿ bezeichnet.
Per Definition gilt 𝛷ᵦ(x₁, …, xₙ) = x₁v₁, …, xₙvₙ. Man nennt 𝛷ᵦ das durch 𝓑 bestimmte Koordinatensystem in V und somit x = (x₁, …, xₙ) = 𝛷⁻¹ᵦ (v) ∈ K die Koordinaten vom Vektor v = x₁v₁ + … + xₙvₙ.
Was ist eine Transformationsmatrix und wozu braucht man sie?
Da es für Anwendungen wichtig ist, verschiedene Koordinaten ineinander umzurechnen, braucht man die als Abbildung angesehene Transformationsmatrix des Basiswechsels: Tᴬᵦ ∈ GL(n; K).
Seien 𝓐 = (v₁, …, vₙ) und 𝓑 = (w₁, …, wₙ) zwei Basen eines Vektorraums V, so ist Tᴬᵦ := 𝛷⁻¹ᵦ ∘ 𝛷ₐ.
Folglich gilt auch per Definition:
(y₁, …, yₙ) = Tᴬᵦ (x₁, …, xₙ).
(Man hat folglich ein Diagramm an Isomorphismen (S.154 im Skript). Die Abbildung Tᴬᵦ := 𝛷⁻¹ᵦ ∘ 𝛷ₐ, Kⁿ → Kⁿ ist also die Transformationsmatrix der einen Koordinaten (nicht des Koordinatensystems in V!) in die anderen Koordinaten bzgl. der Basen von V. Ist Tᴬᵦ also bekannt, so kann man die “neuen” Koordinaten y aus den “alten” Koordinaten x berechnen.)
Was gilt für die Transformationsmatrix Tᴬᵦ im Sonderfall V = Kⁿ?
Falls V = Kⁿ gilt, so definieren wir A := 𝛷ₐ und B := 𝛷⁻ᵦ als die Matrizen mit den Vektoren aus 𝓐 und 𝓑 als Spalten. Für die Transformationsmatrix T := Tᴬᵦ folgt also T = B⁻¹ * A.
Ist insbesondere 𝓐 die kanonische Basis, so folgt T = B⁻¹.
(Betrachte Diagramm im Skript S. 155 für mehr Klarheit).
Was gilt für die Transformationsmatrix Tᴬᵦ im Fall, dass Vektoren aus der Basis 𝓑 durch Linearkombinationen aus der Basis 𝓐 gegeben sind?
Sei ein einzelner Vektor wⱼ ∈ 𝓑 gegeben durch eine Linearkombination wⱼ = s₁ⱼv₁ + s₂ⱼv₂ + … + sₙⱼvₙ und sei S = (sᵢⱼ) die Matrix mit diesen Koeffizienten als Spalten, so gilt:
𝛷ᵦ = 𝛷ₐ ∘ S, da die Werte der beiden Abbildungen auf der kanonischen Basis des Kⁿ gleich sind:
(𝛷ₐ ∘ S)(eⱼ) = 𝛷ₐ(s₁ⱼ, …, sₙⱼ) = s₁ⱼv₁ + … + sₙⱼvₙ = wⱼ = 𝛷ᵦ(eⱼ).
Für die Transformationsmatrix gilt folglich:
Tᴬᵦ = S⁻¹, da S = 𝛷⁻¹ₐ ∘ 𝛷ᵦ = (Tᴬᵦ)⁻¹.
(Betrachte Diagramm im Skript S.155 und Beispiel S.156)
Seien V und W Vektorräume mit Basen 𝓐 und 𝓑 und sei F: V → W eine lineare Abbildung. Wie stehen die Koordinatensysteme und die darstellenden Matrizen im Zusammenhang? Was gilt im Fall V = W?
In dieser Situation kann man vier Abbildungen betrachten:
𝛷ₐ: Kⁿ → V, 𝛷ᵦ: Kⁿ → W, F: V → W und Mᴬᵦ(F): Kᵐ → Kⁿ.
(Diagramm s. Skript S.157.)
Die Abbildungen 𝛷ₐ, 𝛷ᵦ weisen den Koordinaten ihr Koordinatensystem zu. Die Abbildung F ist die Transformation zwischen den Koordinatensystemen bzw. den Vektorräumen und die Abbildung Mᴬᵦ(F) ist folglich die Transformation zwischen den Koordinaten.
Folglich gilt:
𝛷ᵦ ∘ Mᴬᵦ(F) = F ∘ 𝛷ₐ, also Mᴬᵦ(F) = 𝛷⁻¹ᵦ ∘ F ∘ 𝛷ₐ.
Ist V = W, so ist F = idᵥ und: Mᴬᵦ(idᵥ) = Tᴬᵦ.
Wann ist ein Diagramm kommutativ?
Gibt es verschiedene Wege, mit Hilfe der Abbildungen von einem “Punkt” zum anderen zu kommen, z.B. von Kⁿ nach W, so nennt man das Diagramm kommutativ.
(Dies bezieht sich auf die Diagramme im Skript auf S.154ff. Es ist also viel verständlicher, schaut man sich die Diagramme an.)
Was gilt für die darstellenden Matrizen M, wenn drei Vektorräume U, V und W mit Basen 𝓐, 𝓑 und 𝓒 existieren, die mit den Abbildungen G: U → V und F: V → W verbunden sind?
Was gilt für den Sonderfall, wenn F und G Endomorphismen sind?
Die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen entspricht dem Produkt der darstellenden Matrizen, denn es gilt:
Mᴬ𝒸 (F ∘ G) = Mᴮ𝒸(F) ∘ Mᴬᵦ(G).
(Dies folgt direkt aus dem Diagramm auf S. 157.)
Für den Sonderfall, dass in V eine Basis 𝓑 und Endomorphismen F und G gegeben sind, folgt:
Mᵦ(F ∘ G) = Mᵦ(F) * Mᵦ(G).
Daraus folgt wiederum:
Mᵦ: End(V) → M(nxn; K) ist ein Ringisomorphismus.
Was besagt die Transformationsformel und wofür ist sie wichtig?
Die Transformationsformel beantwortet die Frage, wie sich die darstellende Matrix bei Einführung neuer Basen ändert. Wir betrachten deshalb eine lineare Abbildung F: V → W, wobei V und W jeweils die zwei Basen 𝓐, 𝓐’ und 𝓑, 𝓑’ haben. Für die beteiligten Matrizen folgt:
Mᴬ’ᵦ’(F) = Tᴮᵦ’ * Mᴬᵦ(F) * (Tᴬₐ’)⁻¹.
Anders ausgedrückt: Sind A = Mᴬᵦ(F) und B = Mᴬ’ᵦ’(F) die beiden Matrizen, die F bzgl. verschiedener Paare von Basen darstellen, und sind T = Tᴬₐ’, S = Tᴮᵦ’ die Transformationsmatrizen zwischen den verschiedenen Basen, so gilt:
B = S * A * T⁻¹.
(Siehe Diagramm Skript S.157).
Was gilt für die Transformationsformel im Spezialfall, dass F endomorph ist?
Sind in V zwei Basen 𝓐 und 𝓑 sowie ein Endomorphismus F gegeben, so ist:
Mᵦ(F) = Tᴬᵦ * Mₐ(F) * Tᴮₐ,
oder anders ausgedrückt:
Wenn A = Mₐ(F), B = Mᵦ(F) und S = Tᴬᵦ, folgt:
B = S * A * S⁻¹.
(Schaut man dies im Diagramm auf S.157 an und behält im Kopf, dass beim Endomorphismus die beiden Vektorräume gleich sind, so sieht man diese Aussage recht schnell.)
Wie kann man mithilfe der Transformationsformel beweisen, dass für jede Matrix A ∈ M(mxn; K) gilt, Zeilenrang A = Spaltenrang A?
Man betrachte A: Kⁿ → Kᵐ als lineare Abbildung und wähle in Kⁿ und Kᵐ Basen 𝓐 und 𝓑 mit Mᴬᵦ(A) = B = (Eᵣ, 0 | 0, 0)*. Hier ist offensichtlich, dass Zeilenrang B = r = Spaltenrang B ist.
Es gilt nun, invertierbare Matrizen S und T zu finden, mit B = SAT.
Dazu kann man folgenden Hilfssatz verwenden:
Für A ∈ M(mxn; K), S ∈ GL(m; K) und T ∈ GL(n; K) gilt:
(1) Spaltenrang SAT = Spaltenrang A,
(2) Zeilenrang SAT = Zeilenrang A.
Da S und T beide isomorph sind, haben die linearen Abbildungen A und SAT den gleichen Rang. Somit gilt sicherlich (1). Durch Transposition erhalten wir: Zeilenrang A = Spaltenrang ᵗA. und ᵗ(SAT) = ᵗT * ᵗA * ᵗS, woraus (2) folgt.
*(wobei “|” den Wechsel auf eine neue Zeile darstellt.)
Wann sind zwei Matrizen A, B ∈ M(mxn; K) äquivalent? Wann sind sie ähnlich?
Zwei Matrizen A, B ∈ M(mxn; K) heissen äquivalent, wenn es S ∈ GL(m; K) und T ∈ GL(n; K) gibt mit:
B = SAT⁻¹.
Im Spezialfall m = n nennen wir A, B ∈ M(mxm; K) ähnlich, wenn es ein S ∈ GL(m; K) gibt mit:
B = SAS⁻¹.
Informell sind zwei Matrizen also genau dann äquivalent, wenn sie bzgl. verschiedener Paare von Basen die gleiche lineare Abbildung beschreiben. Zwei quadratische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie bzgl. verschiedener Basen den gleichen Endomorphismus beschreiben.
In welchem Verhältnis stehen die Ränge zweier Matrizen und die Tatsache, ob sie äquivalent sind?
Zwei Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Insbesondere ist jede Matrix vom Rang r äquivalent zu der Matrix (Eᵣ, 0 | 0, 0)*, wobei “|” den Wechsel auf eine neue Zeile symbolisiert.
Was sind Elementarmatrizen und wie sind sie definiert?
Eine Elementarmatrix M(m × m; K) besteht hauptsächlich aus Nullen und auf der Diagonalen Einsen. Es gibt dabei verschiedene Formen von Elementarmatrizen:
Sᵢ(𝜆) := Überall Nullen, auf der Diagonalen Einsen und an Stelle aᵢᵢ ein 𝜆.
Qʲᵢ := Überall Nullen, auf der Diagonalen Einsen und an Stelle aᵢⱼ eine zusätzliche 1.
Qʲᵢ(𝜆) := Überall Nullen, auf der Diagonalen Einsen und an Stelle aᵢⱼ ein 𝜆.
Pʲᵢ := Überall Nullen, auf der Diagonalen Einsen ausser an Stellen aᵢᵢ und aⱼⱼ (dort 0) und an Stelle aᵢⱼ ein 𝜆.
Sein eine Matrix A ∈ (m × n; K) und 𝜆 ∈ K* gegeben, so kann man diese anstatt mit dem Gaus-Algorithmus auch mit den Elementarmatrizen umformen. Wie geht das bzw. welche Elementarmatrix übernimmt welchen Schritt der Matrizenumformung?
Für eine Matrix A ∈ (m × n; K) und ein 𝜆 ∈ K* erhält man:
A₁ durch Multiplikation der i-ten Zeile mit 𝜆.
A₂ durch Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile.
A₃ durch Addition der 𝜆-fachen j-ten Zeile zur i-ten Zeile.
A₄ durch Vertauschen der i-ten und der j-ten Zeile.
Für die Elementarmatrizen gilt somit: A₁ = Sᵢ(𝜆) * A; A₁' = A * Sᵢ(𝜆) A₂ = Qʲᵢ * A; A₂' = A * Qʲᵢ A₃ = Qʲᵢ(𝜆) * A; A₃' = A * Qʲᵢ(𝜆) A₄ = Pʲᵢ * A; A₄' = A * Pʲᵢ.
Man sieht, dass bei Multiplikation von links mit Elementarmatrizen die Zeilen umgeformt werden, bei Multiplikation von rechts die Spalten.
Was gilt für die Invertierbarkeit von Elementarmatrizen?
Die Elementarmatrizen sind invertierbar und ihre Inversen sind wieder Elementarmatrizen. Es gilt: (Sᵢ(𝜆))⁻¹ = Sᵢ(1/𝜆) (Qʲᵢ)⁻¹ = Qʲᵢ(-1) (Qʲᵢ(𝜆)) = Qʲᵢ(-𝜆) (Pʲᵢ)⁻¹ = Pʲᵢ.
Weiterhin ist jede invertierbare Matrix A ∈ M(n×n; K) ein (endliches) Produkt von Elementarmatrizen.
