Lineare Gleichungssysteme und Abbildungen

Question 1

Was ist ein lineares Gleichungssystem und was ist der Unterschied zwischen einem homogenen und einem inhomogenen System?

Answer 1

Für eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und eine Spalte
b = ᵗ(b₁, …, bₘ) ∈ M(m×1; K) ergibt sich das lineare Gleichungssystem:
A * x = b, d.h.: Σⁿⱼ₌₁ aᵢⱼxⱼ = bᵢ, für i = 1, …, m. (**)

Man nennt 
A * x = 0 ⇔ Σⁿⱼ₌₁ aᵢⱼxⱼ = 0, für i = 1, ..., m
das zu (**) gehörende homogene System. Ist b ≠ 0, so nennt man das System (**) inhomogen.

Question 2

Was sind Lösungsräume eines linearen Gleichungssystems?

Answer 2

Lösungsräume sind definiert als die Mengen

Lös(A, b) := {x ∈ Kⁿ: A * x = b} ⊆ Kⁿ.

Question 3

Was gilt allgemein für die Lösungsräume Lös(A, b) der linearen Abbildung F: Kⁿ → Kᵐ, x ↦ A * x ?

Answer 3

Für die Abbildung F: Kⁿ → Kᵐ, x ↦ A * x gilt:
Lös(A, b) = F⁻¹(b) und
Lös(A, 0) = Ker(F).

Question 4

Wie wird die Grösse der Lösungsräume eines linearen Gleichungssystems festgelegt?

Answer 4

Die Grösse der Lösungsräume ist festgelegt durch

r := rang(F) = rang(A) = Spaltenrang A.

Question 5

Sei A * x = b ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen, n Unbekannten und r = rang(A). Welche zwei Korollare gelten für die Lösungsräume?

Answer 5

(1) Lös(A, 0) ⊆ Kⁿ ist ein Untervektorraum mit dim = n - r.
(2) Lös(A, b) ⊆ Kⁿ ist entweder leer oder ein affiner Raum mit dim = n - r. Ist Lös(A, b) beliebig, so gilt:
Lös(A, b) = v + Lös(A, 0).

Anders ausgedrückt, erhält man die sog. allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems durch die Addition einer sog. speziellen Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

Question 6

Wann ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems nicht leer?

Answer 6

Der Lösungsraum eines linearen GLS A * x = b ist genau dann nicht leer, wenn gilt:
rang(A) = rang(A, b)

Question 7

Was ist der Zeilenrang eines GLS (A, b) und wie kann man ihn leicht berechnen?

Answer 7

Man bringt (A, b) auf Zeilenstufenform. Der Zeilenrang ist gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.

Anmerkung: Jede Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen (vgl. Kapitel 0) auf Zeilenstufenform bringen und der Lösungsraum ändert sich dadurch nicht, d.h.: Lös(A~, b~) = Lös(A, b)

Question 8

Sei (A, b) in Zeilenstufenform mit r = Zeilenrang A und b ∈ Kʳ. Welche drei Eigenschaften hat die von b abhängige Parametrisierung 𝛷ᵦ: Kⁿ⁻ʳ → Lös(A, b) ⊆ Kⁿ?

(Achtung: 𝛷ᵦ soll heissen “𝛷 index b”, da das Unicode-Alphabet so geil ist und nur einen Teil der Buchstaben als Index zur Verfügung stellt, gibt es kein b, aber Hauptsache ein fucking beta…)

Answer 8

(1) 𝛷₀: Kⁿ⁻ʳ → Lös(A, 0) ⊆ Kⁿ ist ein Vektorraumisomorphismus.
(2) 𝛷ᵦ: Kⁿ⁻ʳ → Lös(A, b) ⊆ Kⁿ ist für jedes b ∈ Kʳ bijektiv.

(3) Es gibt einen Homomorphismus 𝜑: Kʳ → Kⁿ, so dass für alle b ∈ Kʳ gilt:
𝛷ᵦ = 𝜑(b) + 𝛷₀ und Lös(A, b) = 𝜑(b) + Lös(A, 0).

Question 9

Was ist der Unterschied zwischen einem universell lösbaren Gleichungssystem und einem speziell lösbaren Gleichungssystem?

Answer 9

Sei A ∈ M(m×n; K) eine Matrix von Rang m, so ist die lineare Abbildung A: Kⁿ → Kᵐ surjektiv und der Lösungsraum von A * x = b für jedes b ∈ Kᵐ nicht leer. Ein solches GLS nennt man universal lösbar.
Ist der Rang von A kleiner als m, so ist das System nur für spezielle b lösbar.

Question 10

Was ist der Unterschied zwischen einem universell lösbaren Gleichungssystem und einem speziell lösbaren Gleichungssystem?

Answer 10

Sei A ∈ M(m×n; K) eine Matrix von Rang m, so ist die lineare Abbildung A: Kⁿ → Kᵐ surjektiv und der Lösungsraum von A * x = b für jedes b ∈ Kᵐ nicht leer. Ein solches GLS nennt man universal lösbar.
Ist der Rang von A kleiner als m, so ist das System nur für spezielle b lösbar.

Question 11

Was ist der Unterschied zwischen einem universell lösbaren Gleichungssystem und einem speziell lösbaren Gleichungssystem?

Answer 11

Sei A ∈ M(m×n; K) eine Matrix von Rang m, so ist die lineare Abbildung A: Kⁿ → Kᵐ surjektiv und der Lösungsraum von A * x = b für jedes b ∈ Kᵐ nicht leer. Ein solches GLS nennt man universal lösbar.
Ist der Rang von A kleiner als m, so ist das System nur für spezielle b lösbar.

Question 12

Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume mit v₁, …, vᵣ ∈ V und w₁, …, wᵣ ∈ W. Was gilt für die linearen Abbildungen, wenn…?

(1) v₁, …, vᵣ sind linear unabhängig.
(2) (v₁, …, vᵣ) ist eine Basis.

Answer 12

(1) Sind v₁, …, vᵣ linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r.

(2) Ist (v₁, …, vᵣ) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r, mit folgenden Eigenschaften:
a) Im(F) = span(w₁, …, wᵣ).
b) F ist injektiv ⇔ w₁, …, wᵣ sind linear unabhängig.

Question 13

Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume mit v₁, …, vᵣ ∈ V und w₁, …, wᵣ ∈ W. Was gilt für die linearen Abbildungen, wenn…?

(1) v₁, …, vᵣ sind linear unabhängig.
(2) (v₁, …, vᵣ) ist eine Basis.

Answer 13

(1) Sind v₁, …, vᵣ linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r.

(2) Ist (v₁, …, vᵣ) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r, mit folgenden Eigenschaften:
a) Im(F) = span(w₁, …, wᵣ).
b) F ist injektiv ⇔ w₁, …, wᵣ sind linear unabhängig.

Question 14

Welche zwei Korollare folgen aus dem Satz über die Erzeugung von linearen Abbildungen?

Tipp:

(1) Isomorphismus
(2) Matrix

Answer 14

(K1) Ist V ein Vektorraum mit einer Basis 𝓑 = (v₁, …, vₙ), so gibt es dazu genau einen Isomorphismus:
𝛷ᵦ: Kⁿ → V mit 𝛷ᵦ(eⱼ) = vⱼ für j = 1, …, n, wobei (e₁, …, eₙ) die kanonische Basis von Kⁿ bezeichnet.

(K2) Zu jeder linearen Abbildung F: Kⁿ → Kᵐ gibt es genau eine Matrix A ∈ M(m×n; K), so dass F(x) = A * x gilt für alle Spaltenvektoren x ∈ Kⁿ.
Man braucht also in diesem Fall nicht mehr zwischen linearen Abbildungen und Matrizen zu unterscheiden.

Question 15

Wie ist die Matrix zu einer linearen Abbildung F: V → W definiert, wann gibt es eine zu jeder linearen Abbildung und welche Eigenschaften gelten für die Matrix?

Answer 15

Seien V und W K-Vektorräume mit Basen 𝓐 = (v₁, …, vₙ) und 𝓑 = (w₁, …, wₙ).
Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F: V → W genau eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K), so dass gilt:
F(vⱼ) = Σᵐᵢ₌₁ aᵢⱼwᵢ für j = 1, …, n.

Man erhält die Abbildung:
Mᴬᵦ: Hom(V, W) → M(m×n; K), F ↦ A = Mᴬᵦ(F)
Diese ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen und es gilt:
Mᴬᵦ(F + G) = Mᴬᵦ(F) + Mᴬᵦ(G) und
Mᴬᵦ(𝜆F) = 𝜆Mᴬᵦ(F).

Question 16

Wie ist die Matrix zu einer linearen Abbildung F: V → W definiert, wann gibt es eine zu jeder linearen Abbildung und welche Eigenschaften gelten für die Matrix?

Answer 16

Seien V und W K-Vektorräume mit Basen 𝓐 = (v₁, …, vₙ) und 𝓑 = (w₁, …, wₙ).
Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F: V → W genau eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K), so dass gilt:
F(vⱼ) = Σᵐᵢ₌₁ aᵢⱼwᵢ für j = 1, …, n.

Man erhält die Abbildung:
Mᴬᵦ: Hom(V, W) → M(m×n; K), F ↦ A = Mᴬᵦ(F)
Diese ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen und es gilt:
Mᴬᵦ(F + G) = Mᴬᵦ(F) + Mᴬᵦ(G) und
Mᴬᵦ(𝜆F) = 𝜆Mᴬᵦ(F).

Question 17

Wie kann man mit Hilfe einer Basis Vektoren eindeutig als Linearkombinationen darstellen?

Answer 17

Man kann Abbildungen als Vektoren betrachten und mit Hilfe zweier Basen analog verfahren. Dazu sei
Fʲᵢ: V → W erklärt durch Fʲᵢ(vₖ) = wᵢ, falls k = j, und 0 sonst.
Dann ist Mᴬᵦ(Fʲᵢ) = Eʲᵢ und die m * n Abbildungen Fʲᵢ bilden eine Basis von Hom(V, W). Die zur Linearkombination eines beliebigen F nötigen Skalare stehen an passender Stelle in Mᴬᵦ(F).

Question 18

Wie bildet man die Einheitsmatrix aus einer Abbildung F: V → W und was sind die Voraussetzungen?

Answer 18

Sei F: V → W linear, n = dim(V), m = dim(W) und r = dim(Im(F)). Dann gibt es Basen 𝓐 von V und 𝓑 von W, so dass Mᴬᵦ(F) = (Eᵣ 0 ; 0 0) die r-reihige Einheitsmatrix darstellt.

(Anmerkung: (Eᵣ 0 ; 0 0) ist die Darstellung der Matrix mit (Eᵣ 0) in der ersten Zeile und (0 0) in der zweiten Zeile.)

Question 19

Wie geht man beim Finden einer Einheitsmatrix zu einer Abbildung F: V → W vor, wenn der Bildraum W gleich dem Urbildraum V ist?

Answer 19

Ist der Bildraum W gleich dem Urbildraum V, so hat man einen Endomorphismus. Zur Vereinfachung setzt man 𝓐 = 𝓑 und Mᵦ = Mᴬᵦm sowie End(V) = Hom(V, V). Der Vektorraumisomorphismus Mᵦ: End(V) → M(m×n; K) ist dann charakterisiert durch die Gleichung
F(vⱼ) = Σⁿᵢ₌₁ aᵢⱼvᵢ für j = 1, …, n, wenn gilt:
𝓑 = (v₁, …, vₙ) und A = (aᵢⱼ) = Mᵦ(F).
Folglich beschreibt die n-reihige Einheitmatrix Eₙ = (𝛿ᵢⱼ) die identische Abbildung Mᵦ(idᵥ) = Eₙ.

Question 20

Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können?

Answer 20

Die Spaltenzahl einer Matrix A muss mit der Zeilenzahl einer Matrix B übereinstimmen (da immer Spalte mal Zeile gerechnet wird).

Question 21

Seien A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) Matrizen. Wie ist das Produkt A * B definiert?

Answer 21

A * B = (cᵢₖ) ∈ M(m×r; K) ist gegeben durch:

cᵢₖ = Σⁿⱼ₌₁ aᵢⱼbⱼₖ.

Question 22

Wie stehen die Grössen zweier Matrizen A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) im Verhältnis zu ihrem Produkt?

Answer 22

Die Matrix C = A * B hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B, im Beispiel A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) hätte C somit r Spalten und m Zeilen.

Question 23

Was gilt für das Prudukt A * B, falls m = r = 1 gilt für zwei Matrizen A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K)?

Answer 23

Das Produkt A * B = C ∈ M(1x1; K), besteht also nur aus einer Zahl.
Hier gilt es aufzupassen, dass wirklich die Zeilenzahl von A und die Spaltenzahl von B gleich 1 sind und nicht umgekehrt, denn ansonsten gälte C ∈ M(1x1; K).

Question 24

Was gilt für das Produkt zweier Matrizen A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) zu beachten, wenn m = n = r gilt?

Answer 24

Man kann in diesem Fall sowohl das Produkt von A * B als auch von B * A nehmen, da für die jeweiligen Lösungsmatrizen C und D gilt:
C, D ∈ M(mxm; K).
Jedoch gilt zu beachten, dass in den meisten Fällen A * B ungleich B * A ist.

Question 25

Welche fünf Rechenregeln gelten für Matrizen?

Answer 25

Sind Matrizen A, A’ ∈ M(mxn; K) und B, B’ ∈ M(nxr; K) und C ∈ M(rxs; K) sowie ein 𝜆 ∈ K gegeben, so gilt:

(1: Distributivgesetz) A * (B + B’) = A * B + A * B’ und
(A + A’) * B = A * B + A’ * B.

(2) A * 𝜆B = 𝜆A * B = 𝜆(A * B).
(3: Assoziativgesetz) (A * B) * C = A * (B * C).
(4) ‘(A * B) = ‘B * ‘A, aber (!) ‘(A * B) ≠ ‘A * ‘B
(5: Neutralität der Einheitsmatrix) Eₘ * A = A * Eₙ = A.

(Für Beweise s. Skript S. 147f.)

Question 26

Was gilt für die Menge aller quadratischen Matrizen?

Tipp: Algebraische Struktur

Answer 26

Die Menge M(nxn; K) mit der Addition und der Multiplikation ist ein Ring.

Question 27

Wie hängt der Rang der Produktmatrix von den Rängen der Faktoren ab?

Answer 27

Ist A ∈ M(mxn; K) und B ∈ M(nxr; K), so gilt:

rangA + rangB - n ≤ rang(A * B) ≤ min{rangA, rangB}.

Question 28

Wann ist eine Matrix per Definition invertierbar?

Answer 28

Eine Matrix A ∈ M(nxn; K) heisst invertierbar, wenn es ein A’ ∈ M(nxn; K) mit:
A * A’ = A’ * A = Eₙ.

Question 29

Was ist die “allgemeine lineare Gruppe” GL?

Answer 29

Die Menge
GL(n; K) = {A ∈ M(nxn; K): A invertierbar}
mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung ist eine Gruppe mit neutralem Element Eₙ und heisst “allgemeine lineare Gruppe”.

Question 30

Welche vier Aussagen sind für eine Matrix A ∈ M(nxn; K) gleichwertig?
Tipp: Invertierbarkeit und Rang

Answer 30

(1) A ist invertierbar.
(2) ‘A ist invertierbar.
(3) Spaltenrang A = n.
(4) Zeilenrang A = n.