Basis und Dimension Flashcards
Sei V ein Vektorraum. Was ist ein Erzeugendensystem von V?
Eine Familie 𝓑 = (vᵢ) für i ∈ I in V heisst Erzeugendensystem von V, falls gilt:
V = span(vᵢ) für i ∈ I,
also wenn jedes v ∈ V eine Linearkombination von endlich vielen vᵢ ist.
Was ist eine Basis eines Vektorraums V?
Eine Familie 𝓑 = (vᵢ) für i ∈ I in V heisst Basis von V, wenn sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
Wann ist ein Vektorraum V endlich erzeugt und was ist die Länge einer Basis?
Ein Vektorraum V heisst endlich erzeugt, falls es ein endliches Erzeugendensystem, d.h. eine endliche Familie 𝓑 = (v₁, …, vₙ) mit V = span(vᵢ) gibt. Ist 𝓑 eine endliche Basis, so nennt man die Zahl n die Länge der Basis.
Für eine Familie 𝓑 = (v₁, …, vₙ) von Vektoren eines K-Vektorraums V ≠ {0} sind welche drei Bedingungen gleichwertig zu der Aussage:
“𝓑 ist eine Basis, d.h. ein linear erzeugendes Gleichungssystem”?
(2) 𝓑 ist ein “unverkürzbares” Erzeugendensystem, d.h.
(v₁, …, vᵣ₋₁, vᵣ₊₁, …, vₙ) ist für jedes r ∈ {1, …, n} kein Erzeugendensystem mehr (da vᵣ “gekürzt” wurde).
(3) 𝓑 ist ein Erzeugendensystem und zusätzlich eindeutig, d.h. zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte λ₁, …, λₙ ∈ K mit v = λ₁v₁ + … + λₙvₙ.
(4) 𝓑 ist unverlängerbar linear unabhängig, d.h. 𝓑 ist linear unabhängig und für jedes v ∈ V wird die Familie (v₁, …, vₙ, v) linear abhängig.
Was sagt der Basisauswahlsatz und wie lässt er sich beweisen?
Der Basisauswahlsatz sagt, dass man aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines Vektorraums eine Basis auswählen kann. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis.
Um dies zu beweisen, nehme man vom gegebenen Erzeugendensystem solange einzelne Vektoren weg, bis es unverkürzbar geworden ist. Da am Anfang nur endlich viele da waren, führt das Verfahren zum Ziel.
Was sagt das Austauschlemma und wozu braucht man es?
Sei V ein K-Vektorraum mit der Basis:
𝓑 = (v₁, …, vᵣ) und w = λ₁v₁ + … + λᵣvᵣ ∈ V.
Ist k ∈ {1, …, r} mit λₖ ≠ 0, so ist
𝓑’ := (v₁, …, vₖ₋₁, w, wₖ₊₁, …, vᵣ) wieder eine Basis von V. Man kann also vₖ gegen w austauschen.
Dies ist hilfreich, wenn man die Längen verschiedener Basen vergleichen will, da man dafür systematisch Vektoren austauschen muss.
Was sagt der Austauschsatz?
In einem K-Vektorraum V seien eine Basis 𝓑 = (v₁, …, vᵣ) und eine linear unabhängige Familie (w₁, …, wₙ). Dann ist n ≤ r und es gibt Indizes i₁, …, iₙ ∈ {1, …, r} derart, dass man nach Austausch von vᵢ₁ gegen w₁, …, vᵢₙ gegen wₙ wieder eine Basis von V erhält. Nummeriert man so um, dass i₁ = 1, …, iₙ = n ist, so bedeutet das, dass
𝓑* = (w₁, …, wₙ, vₙ₊₁, …, vᵣ) eine Basis von V ist.
Beweise das Korrolar:
“Hat ein K-Vektorraum V eine endliche Basis, so ist jede Basis von V endlich.”
Sie (v₁, …, vᵣ) eine endliche Basis und (wᵢ) für i ∈ I eine beliebige Basis von V.
Wäre I unendlich, so gäbe es i₁, …, iᵣ₊₁ ∈ I derart, dass wᵢ₁, …, wᵢᵣ₊₁ linear unabhängig wären. Das widerspricht aber dem Austauschsatz.
Beweise das Korrolar:
“Je zwei endliche Basen eines K-Vektorraumes haben gleiche Länge.”
Sind (v₁, …, vᵣ) und (w₁, …, wₖ) zwei Basen, so kann man den Austauschsatz zweimal anwenden, was k ≤ r und r ≤ k, also r = k ergibt.
Wie ist die Dimension eines K-Vektorraums V?
Die Dimension von V über K ist definiert als:
dimₖV := ∞, falls V keine endliche Basis besitzt;
dimₖV := r, falls V eine Basis der Länge r besitzt.
Beweise das Korrolar:
“Ist W ⊆ V Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraumes V, so ist auch W endlich erzeugt und es gilt dimW ≤ dimV. Aus dimW = dimV folgt W = V.”
Wäre W nicht endlich erzeugt, gäbe es eine unendliche linear unabhängige Familie, was dem Austauschsatz widerspricht. Also hat W eine endliche Basis, und wieder nach dem Austauschsatz ist ihre Länge höchstens gleich dimV.
Sei n = dimW = dimV und w₁, …, wₙ Basis von W. Ist W ≠ V, so gibt es ein v ∈ V \ W und w₁, …, wₙ, v sind linear unabhängig im Widerspruch zum Austauschsatz.
Was besagt der Basisergänzungssatz?
In einem endlich erzeugten Vektorraum V seien linear unabhängige Vektoren w₁, …, wₙ gegeben. Dann kann man wₙ₊₁, …, wᵣ finden, so dass
𝓑 = (w₁, …, wₙ, wₙ₊₁, …, wᵣ) eine Basis von V ist.
Was ist die Einheitsmatrix, wie sieht sie aus und wofür ist sie von Bedeutung?
Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix bestehend aus Einsen - auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten - und Nullen überall sonst. Der Sinn ist, dass ein aᵢⱼ in der Matrix 1 ist, wenn i = j, und 0, wenn i ≠ j, also die “Zeile und Spalte nicht gleich ist”.
Sie wird als neutrales Element bezüglich der Matrizenmultiplikation gebraucht.
Welche vier verschiedenen Arten der elementaren Zeilenumformung in einer Matrix gibt es?
Für i ≠ j und Zeilen a₁, …, aₘ:
- Multiplikation der i-ten Zeile mit 𝜆 ∈ K*.
- Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile.
- Addition der 𝜆-fachen j-ten Zeile zur i-ten Zeile.
- Vertauschen der i-ten Zeile mit der j-ten Zeile.
Wie ist der Zeilenraum einer Matrix definiert?
Ist A ∈ M(m × n; K) mit Zeilen a₁, …, aₘ, so heisst:
ZR(A) := span(a₁, …, aₘ) ⊆ Kⁿ der Zeilenraum von A.
