Lineare Abbildungen: Übersicht

Question 1

Wann nennt man eine Abbildung F: V → W zwischen K-Vektorräumen V und W linear?

Answer 1

Eine Abbildung F: V → W ist linear, falls gilt:
(L1) F(v + w) = F(v) + F(w)
(L2) F(𝜆v) = 𝜆F(v)
für alle v, w ∈ V und alle 𝜆 ∈ K.

Zusammengefasst, falls gilt:
F(𝜆v + 𝜇w) = 𝜆F(v) + 𝜇F(w),
für alle v, w ∈ V und alle 𝜆, 𝜇 ∈ K.

Question 2

Sei F: V → W eine lineare Abbildung. Wann ist F ein…

(1) … Homomorphismus?
(2) … Isomorphismus?
(3) … Endomorphismus?
(4) … Automorphismus?

Answer 2

(1) Jede lineare Abbildung ist ein Homomorphismus (Definition von “Lineare Abbildung”).
(2) Wenn F zusätzlich bijektiv ist.
(3) Wenn V = W gilt.
(4) Wenn V = W gilt und F bijektiv ist.

Question 3

Welche sechs Eigenschaften gelten für lineare Abbildungen F: V → W?

Hinweise:

(1) Null
(2) Skalarmultiplikation
(3) Familie
(4) Untervektorräume
(5) Dimension
(6) Isomorphismus

Answer 3

Ist F: V → W eine lineare Abbildung, so gilt:

(1) F(0) = 0 und F(v - w) = F(v) - F(w)
(2) F(𝜆₁v₁ + … + 𝜆ₙvₙ) = 𝜆₁F(v₁) + … + 𝜆ₙF(vₙ).
(3) Ist die Familie (vᵢ) in V linear abhängig, so ist F(vᵢ) in W linear abhängig.
(4) Sind V’ ⊆ V und W’ ⊆ W Untervektorräume, so sind auch F(V’) ⊆ W und F⁻¹(W’) ⊆ V Untervektorräume.
(5) dimF(V) ≤ dimV
(6) Ist F ein Isomorphismus, so ist auch F⁻¹: W → V linear.

(Beweise s. Skript S. 110)

Question 4

Was gilt für die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen?

Answer 4

Für drei Vektorräume U, V, W und zwei Abbildungen G: U → V, F: V → W gilt:
Sind F und G linear, so ist auch F ∘ G: U → W linear.
(Beweis s. Skript S. 111)

Question 5

Wie steht ein Homomorphismus Homₖ(V, W) zweier Vektorräume V und W über einem Körper K und eine Abbildung Abb(V, W) im Zusammenhang?

Answer 5

Homₖ(V, W) ⊆ Abb(V, W), also ist Homₖ(V, W) ein Untervektorraum von Abb(V, W).