Determinanten: Existenz und Eindeutigkeit Flashcards
Was repräsentiert eine Determinante?
Die Determinante ist ein Skalar, der einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die quadratische Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert (Wikipedia).
Wie kann man die Determinante mittels Zeilenvertauschung berechnen?
Man bringt die Matrix A durch Zeilenumformungen auf eine Dreiecksgestalt B, wobei die Pivots von B gegeben sind durch 𝜆₁, …, 𝜆ₙ. Braucht man zur Umformung k Zeilenvertauschungen, so gilt:
det A = (-1)ᵏ * det B = (-1)ᵏ * 𝜆₁ * … * 𝜆ₙ.
Wie ist die symmetrische Gruppe Sₙ für jede natürliche Zahl n > 0 definiert und wie heissen die Elemente von Sₙ?
Die symmetrische Gruppe Sₙ von {1, …, n} für n > 0 ist die Gruppe aller bijektiven Abbildungen
𝜎: {1, …, n} → {1, …, n}.
Die Elemente von Sₙ nennt man Permutationen.
Welches ist das neutrale Element der symmetrischen Gruppe?
Als neutrales Element von Sₙ ist die identische Abbildung gegeben 𝜎(x) = x.
Wieviele Elemente enthält die symmetrische Gruppe Sₙ und weshalb?
Die symmetrische Gruppe Sₙ enthält in jedem Fall n! Elemente. Dies folgt daraus, dass es für das erste Element von Sₙ n verschiedene Permutationsmöglichkeiten gibt, für das zweite nur noch (n-1) Möglichkeiten, usw.
Betrachte die Permutationen für n = 3 Elemente der symmetrischen Gruppe mit {1, 2, 3} als Elemente. Sei 𝜎 eine Permutation, die 2 und 3 vertauscht und 𝜏 eine Permutation, die 1 und 2 vertauscht. Was gilt für 𝜎(𝜏(1))?
𝜏(1) = 2, da 1 und 2 vertauscht werden.
𝜎(2) = 3, da 2 und 3 vertauscht werden.
Folglich gilt also:
𝜎(𝜏(1)) = 𝜎(2) = 3.
Was ist eine Transposition 𝜏 ∈ Sₙ?
Falls eine Permutation 𝜏 ∈ Sₙ zwei Elemente von {1, …, n} vertauscht und die anderen fest hält, dann heisst 𝜏 eine Transposition.
Bsp.:
Seien k, l ∈ {1, …, n} und 𝜏 eine Transposition in Sₙ, so gilt:
𝜏(k) = l, 𝜏(l) = k, aber 𝜏(i) = i für alle i ∈ {1, …, n} \ {k, l}.
Was muss gegeben sein, dass eine (“sinnvolle”) Transposition existieren kann?
Sei n ≥ 2, so gibt es zu jedem 𝜎 ∈ Sₙ Transpositionen 𝜏₁, …, 𝜏ₖ ∈ Sₙ mit:
𝜎 = 𝜏₁ * … * 𝜏ₖ.
(Wäre n ≤ 2, so würden die Transpositionen immer wieder in den ursprünglichen Zustand zurückführen.)
Was ist ein Fehlstand einer Permutation 𝜎?
Ist 𝜎 ∈ Sₙ, so nennt man jedes Paar i, j ∈ {1, …, n} einen Fehlstand von 𝜎, wenn gilt:
i < j aber 𝜎(i) > 𝜎(j).
Betrachte z.B. die Permutation, die folgende Vertauschungen macht:
1 → 2, 2 → 3, 3 → 1.
Es gilt: 1 < 3 aber 𝜎(1) > 𝜎(3) und 2 < 3 aber 𝜎(2) > 𝜎(3). Somit haben wir hier zwei Fehlstände.
Wie ist das Signum von 𝜎 definiert?
Das Vorzeichen bzw. das Signum von 𝜎 ist gegeben durch:
sign𝜎 := +1, falls 𝜎 gerade Anzahl von Fehlständen hat;
sign𝜎 := -1, falls 𝜎 ungerade Anzahl von Fehlständen hat.
Daraus folgt die eigentliche Formel:
sign𝜎 = 𝜫(i
Inwiefern ist das Signum mit der Hindereinanderschaltung mehrerer Permutationen definiert?
Für alle 𝜎, 𝜏 ∈ Sₙ gilt sign(𝜏 * 𝜎) = (sign𝜏) * (sign𝜎). Insbesondere gilt sign𝜎⁻¹ = sign𝜎 für jedes 𝜎 ∈ Sₙ.
Weswegen gilt das folgende Korollar?
“Für jede Transposition 𝜏 ∈ Sₙ gilt sign𝜏 = -1”
Ist 𝜏₀ die Transposition, die 1 und 2 vertauscht, so ist sign𝜏₀ = -1, denn 𝜏₀ hat genau einen Fehlstand. Es gibt folglich ein 𝜏 = 𝜎 * 𝜏₀ * 𝜎⁻¹, so dass folgt:
sign𝜏 = sign𝜎 * sign𝜏₀ * (sign𝜎)⁻¹ = sign 𝜏₀ = -1.
Inwiefern kann man die Determinante aus Permutationen folgern?
Für jede Permutation 𝜎 ∈ Sₙ gilt:
det(e(𝜎(1), …, e𝜎(n)) = sign𝜎.
Dies gilt, da für 𝜎 = 𝜏₁ * … * 𝜏ₖ kann man Eₙ durch k Zeilenvertauschungen (sprich Transpositionen) in die gegeben Matrix überführen.
In welche zwei Klassen zerfällt die symmetrische Gruppe Sₙ und wie sind sie formal definiert bzw. wie ist ihre Vereinigung und Schnittmenge definiert?
Die Gruppe Sₙ zerfällt in zwei nahezu gleichberechtigte Klassen: die der ungeraden und die der geraden Permutationen.
Die Untergruppe der geraden Permutationen
Aₙ := {𝜎 ∈ Sₙ: sign𝜎 = +1} ⊆ Sₙ wird auch alternierende Gruppe genannt.
Weiter haben wir für 𝜏 ∈ Sₙ mit sign𝜏 = -1 die Untergruppe der ungeraden Permutationen:
Aₙ𝜏 := {𝜎 * 𝜏: 𝜎 ∈ Aₙ und sign𝜏 = -1}.
Daraus folgt für Vereinigung und Schnittmenge:
Sₙ = Aₙ ∪ Aₙ𝜏 sowie ∅ = Aₙ ∩ Aₙ𝜏.
Wie lautet die Formel von Leibnitz zu Permutationen und der Determinante?
Ist K ein Körper und n ≥ 1, so gibt es genau eine Determinante det: M(n×n; K) → K,
und zwar ist für A = (aᵢⱼ) ∈ M(n×n; K) gegeben:
detA = Σ(𝜎 ∈ Sₙ) sign𝜎 * a_1𝜎(1) * … * a_n𝜎(n).
(Man kann mithilfe dieses Theorems die Axiome D1 - D3 beweisen. Siehe dazu Skript S. 192ff.)
