Ringe und Körper Flashcards
Ringe und Körper sowie deren Eigenschaften kennen lernen.
Was ist ein Ring? Welches sind die drei Axiome eines Rings? In welche zwei algebraischen Unterstrukturen kann man einen Ring folglich zerlegen?
Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen: R = (R, +, *).
(R1) R zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe.
(R2) Die Multiplikation ist assoziativ.
(R3) Distributivität:
∀ a,b,c ∈ R: a * (b + c) = a * b + a * c und
∀ a,b,c ∈ R: (a + b) * c = a * b + b * c.
Somit zerlegt sich ein Ring in eine abelsche Gruppe (bzgl. Addition) sowie Monoid (bzgl. Multiplikation).
Was sind Eins- und Nullelement eines Rings?
Ein Element 1 ∈ R heisst Einselement, wenn für alle a ∈ R gilt: 1 * a = a * 1 = a.
Ein Element 0 ∈ R heisst Nullelement, wenn für alle a ∈ R gilt: 0 * a = a * 0 = 0, da 0 * a = (0 + 0) * a = 0 * a + 0 * a.
Was für eine algebraische Struktur hat die Menge der reellwertigen Funktionen X := {f: I → ℝ} für einen Intervall I ⊆ ℝ?
Kommutativer Ring, da:
f + g)(x) := f(x) + g(x) und (f * g)(x) = f(x) * g(x
Zeige, wie man die Restklassengruppe ℤ/mℤ anhand ihrer multiplikativen Eigenschaften zu einem Ring machen kann.
Seien a, a’ ∈ [a] und b, b’ ∈ [b], so folgt:
(a - a’) = mk und (b - b’) = ml = a’ * b’ + m(b’k + a’l + mkl).
Dies zeigt, dass die Multiplikation ebenfalls (wie die Addition) unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten ist: [a] * [b] = [([a * b])], z.B. für ℤ/4ℤ:
[5] * [7] = 1 * 3 = 3 = [([5 * 7])] = [35] = 3.
Wann ist ein Ring nullteilerfrei? Wann trifft dies auf den Restklassenring ℤ/mℤ zu?
Nullteilerfrei heisst, dass für alle a, b ∈ R aus a * b = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt.
Der Restklassenring ℤ/mℤ ist genau dann nullteilerfrei, wenn m eine Primzahl ist, denn ansonsten kann z.B. bei ℤ/4ℤ aus 2 * 2 = 0 folgen, was die obige Definition verletzt.
Wann ist eine Teilmenge R’ ⊆ R ein Unterring? Was wäre R, wenn R’ den Restklassenring ℤ/mℤ sei?
Wenn R’ bezüglich der Addition eine Untergruppe ist (also für a, b ∈ R’ auch (a + b) ∈ R’ und -a ∈ R’) sowie bezüglich der Multiplikation für a, b ∈ R’ auch (a * b) ∈ R’. Der Restklassenring ℤ/mℤ ist Unterring von ℤ.
Wann ist eine Abbildung von zwei Ringen φ: R → S homomorph?
Seien R = (R, +, *) und S = (S, ∘, ●) Ringe. Eine Abbildung φ: R → S ist homomorph, wenn für alle a, b ∈ R gilt:
φ(a + b) = φ(a) ∘ φ(b) und φ(a * b) = φ(a) ● φ(b).
Was ist ein Körper? Welches sind die drei Axiome eines Körpers?
Ein Körper ist eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpungen: K = (K, +, *), für den folgendes gilt:
(K1) K zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe.
(K2) Für alle a, b ∈ K \ {0} gilt auch (a * b) ∈ K \ {0} und K \ {0} ist zusammen mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
(K3) Für a * (b + c) = a * b + a * c und
(a + b) * c = a * b + b * c (Distributivgesetz).
Was unterscheidet einen Ring von einem Körper?
In einem Ring ist nicht jedes Element invertierbar bezüglich der Multiplikation (im Ring ℤ: Was ist das multiplikative Inverse von 0??). Ist die Teilmenge R \ {0} mit der Multiplikation eine Gruppe und darüber hinaus der Ring kommutativ, so ist es ein Körper.
Welche fünf Rechenregeln folgen in einem Körper aus den Axiomen?
a) 1 ≠ 0 (ein Körper hat mind. zwei Elemente)
b) 0 * a = a * 0 = 0
c) a * b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
d) a(-b) = - (ab) und (-a)(-b) = -ab
e) x * a = 0 und x’ * a = 0 ⇒ x = x’ (wobei x’ das Inverse zu x ist).
Wie konstruiert man aus der Menge der reellen Zahlen ℝ den Körper der komplexen Zahlen ℂ?
Wie sind Addition und Multiplikation definiert in ℂ?
Was sind neutrale Elemente und Inversen von ℂ?
Man führt auf der reellen Ebene ℝ × ℝ = {(a, b): a, b ∈ ℝ} eine Addition und Multiplikation ein.
Addition ist definiert durch: (a, b) + (x, y) := (a + x, b + y)
Multiplikation durch: (a, b) * (x, y) = (ax - by, ay + xb)
Neutr. El. der Addition: (0, 0)
Inverses der Addition: (-a, -b)
Neutr. El. der Multiplikation: (1, 0)
Inverses der Multiplikation: (a/a^2+b^2, -b/a^2+b^2).
Warum kann man bei der Konstruktion komplexer Zahlen ℝ → ℝ × ℝ = ℂ sagen, ℝ sei Teilmenge von ℂ und man brauche nicht zwischen ℝ und ℝ × {0} zu unterscheiden?
Da gilt:
(a, 0) + (x, 0) = (a + x, 0) und (a, 0) * (x, 0) = (a * x, 0). So gelten die selben additiven und multiplikativen Regeln bei ℂ wie auch bei ℝ. Weiterhin nennt man die Elemente a ∈ ℝ komplexer Zahlen (a, b) ∈ ℂ = a + bi den Realteil von (a, b) und b den Imaginärteil. Da i = √-1, kann man den Imaginärteil gar nicht mit reellen Zahlen beschreiben (deshalb steht er senkrecht zur Achse der reellen Zahlen). Somit sind die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen.
Was ist die Charakteristik eines Rings?
Falls möglich, das Minimum an Schritten, die man benötigt, um aus konstanter Addition des multiplikativen neutralen Elementes 1 das neutrale Element der Addition 0 zu erhalten. Falls nicht möglich, ist die Charakteristik 0:
char(R) := 0, falls n * 1 ≠ 0 für alle n ≥ 1,
sonst: min {n ∈ ℕ \ {0}: n * 1 = 0
Beweise, dass die Charakteristik eines Körpers char(K) entweder null oder eine Primzahl ist.
Angenommen, char(K) = m = k * l ≠ 0 mit 1 < k, l < m. Aus 0 = m * 1 = (k * l) * 1 = (k * 1)(l * 1) folgt wegen der Nullteilerfreiheit k * 1 = 0 oder l * 1 = 0, was im Widerspruch zur Minimalität von m führt.
Was ist ein “Primkörper der Charakteristik” und wie steht er im Verhältnis zu einem Körper?
Ist p eine Primzahl, so nennt man ℤ/pℤ den Primkörper der Charakteristik p. Dies macht Sinn, denn die Charakteristik von ℤ/pℤ ist wiederum p, da es die Anzahl an Schritten repräsentiert, die benötigt werden, um durch konstante Addition eines Elements des Körpers mit sich selber null zu erreichen. ℤ/pℤ ist somit ein Unterkörper von K, und die Anzahl der Elemente von K sind eine Potenz von p.
