Polynome Flashcards
Polynome und ihre Eigenschaften kennen lernen.
Sei K ein Körper. Was versteht man unter einem Polynom mit Koeffizienten in K bzw. einem Polynom über K?
Für einen Körper K und eine Unbestimmte t ist ein Polynom über K ein formaler Ausdruck der Gestalt:
f(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + … + aₙtⁿ, wobei a₀, …, aₙ ∈ K.
Was ist ein Nullpolynom?
Falls alle Koeffizienten aᵥ = 0, so spricht man vom Nullpolynom und schreibt f = 0
Wann ist ein Polynom f normiert?
Wenn aₙ = 1.
Was ist der Grad eines Polynoms f?
deg (f) := -∞, falls f = 0
max{v ∈ ℕ: aᵥ ≠ 0}, sonst.
Setzt man für die Unbestimmte t ein λ ∈ K ein, was für eine Abbildung f~ für ein Polynom f erhält man? Was für eine Abbildung ist ~?
f~: K → K, λ ⟼ f(λ).
Die Funktion ~ ist schliesslich die Abbildung vom Polynom auf die Funktion des Polynoms:
~: K[t] → Abb(K, K), f ⟼ f~.
Seien f, g ∈ K[t] Polynome mit m = n und
f = a₀ + a₁t + … + aₙtⁿ und g = b₀ + b₁t + … + bₘtᵐ.
Wie sind Addition f + g sowie Multiplikation f * g definiert?
Addition:
f + g := (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)t + … + (aₙ + bₙ)tⁿ
Multiplikation (formales ausmultiplizieren):
f * g := c₀ + c₁t + … + cₙ₊ₘtⁿ⁺ᵐ mit cₖ = Σᵢ₊ⱼ₌ₖ (aᵢbⱼ),
dabei ist:
c₀ = a₀b₀,
c₁ = a₀b₁ + a₁b₀
c₂ = a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀
cₙ₊ₘ = aₙbₘ.
Was ist ein Polynomring?
Sei K ein Körper, so ist die Menge K[t] aller Polynome über K ein kommutativer Ring, genannt Polynomring, für dessen Elemente f und g gilt: deg(f * g) = deg(f) + deg(g).
Was ist allgemein gesehen der Mangel eines Rings gegenüber eines Körpers und wie wirkt sich dies auf den Polynomring aus?
Man kann bei einem Ring i. A. nicht dividieren. Für ganze Zahlen hat man als Ersatz die Division mit Rest, die man analog auch für Polynome anwenden kann:
Seien f, g ∈ K[t] und ist g ≠ 0, so gibt es dazu eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[t], so dass gilt:
f = q * g + r (wobei q der Quotient und r der Rest ist), und deg r < deg g.
Praktische Aufgabe.
Teile: 3t³ + 2t + 1 : (t² + 4t).
Was sind die Schritte?
Was sind q und r (Quotient und Rest)?
Wir teilen wie bei einer schriftlichen Division:
3t³ + 2t + 1 : (t² - 4t) = (3t + 12 + (50t + 1)) : (t² - 4t)
-3t³ + 12t²
--------------
12t² + 2t + 1
-12t² + 48t
--------------------
50t + 1.
Somit ist q = 3t + 12 und r = 50t + 1.Was ist eine Nullstelle?
Nullstellen sind λ ∈ K mit f(λ) = 0, sprich sie sind x-Werte (Argumente), die für f(x) eingesetzt y-Werte von null ergeben.
Sei λ ∈ K eine Nullstelle von f ∈ K[t]. Beweise, dass ein eindeutig bestimmtes g ∈ K[t] existiert mit folgenden Eigenschaften:
(1) f = (t - λ) * g
(2) deg g = (deg f) - 1
Wir dividieren f durch (t - λ) mit Rest. Es gibt also eindeutig bestimmte g, r ∈ K[t] mit
f = (t- λ)g + r und deg r < deg(t - λ) = 1. Also ist r = a₀ mit a₀ ∈ K. Aus f(λ) = 0 folgt durch Einsetzen:
0 = (λ - λ) * g(λ) + r = 0 + a₀, also ist a₀ = r = 0 und (1) ist bewiesen.
Wegen deg f = deg (t - λ) + deg g = 1 + deg g folgt (2).
Sei K ein beliebiger Körper, f ∈ K[t] ein Polynom und k die Anzahl Nullstellen von f. Wie steht k und der Grad von f im Zusammenhang, falls f nicht ein Nullpolynom ist?
k ≤ deg f
Beweis s. Skript S. 65
Beweise, dass die Funktion ~: K[t] → Abb(K, K), f ⟼ f~ injektiv ist, wenn K unendlich ist.
Seien f₁, f₂ ∈ K[t] und g := f₂ - f₁. Ist f~₁ = f~₂, so folgt g~ = 0, d.h. g(λ) = 0 für alle λ ∈ K. Also hat g unendlich viele Nullstellen, und daraus folgt g = 0 (vgl. Korollar 1, Skript S. 65). Somit ist f₁ = f₂.
Was ist die Vielfachheit einer Nullstelle λ ∈ K einer Funktion f ∈ K[t] und wie ist sie definiert?
Was ist die Vielfachheit einer Funktion mit f(λ) ≠ 0?
Die Vielfachheit μ einer Nullstelle λ gibt an, wie oft der Faktor (t - λ) in f enthalten ist.
μ(f; λ) := max{r ∈ ℕ: f = (t - λ)ʳ * g mit g ∈ K[t]}.
Falls f(λ) ≠ 0, besitzt f keine Nullstelle und somit ist μ(f; λ) = 0.Wie ist die Vielfachheit μ einer Funktion f ∈ K[t] definiert, falls K = ℝ oder ℂ?
Man kann die Vielfachheit der Nullstelle λ in besagtem Fall durch die r-te Ableitung von f in Beziehung bringen:
μ(f; λ) := max{r ∈ ℕ: f(λ) = f’(λ) = f’‘(λ) = … = f⁽ʳ⁻¹⁾(λ) = 0}.
Was besagt der Fundamentalsatz der Algebra?
Jedes Polynom f ∈ ℂ[t] mit deg f > 0 hat mindestens eine Nullstelle.
Was sind Linearfaktoren eines Polynoms?
Jedes Polynom f ∈ ℂ[t] zerfällt in Linearfaktoren (t - λₙ), so dass für ein a, λₙ ∈ ℂ mit n = deg f gilt:
f = a(t - λ₁) * … * (t - λₙ).
Wie kann man aus dem Fundamentalsatz der Algebra Aussagen über die Nullstellen λ ∈ ℂ eines reellen Polynoms f folgern?
Tipp: Komplexe Konjugation
Ist f ∈ ℝ[t] und λ ∈ ℂ eine Nullstelle von f, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl λ¯ ∈ ℂ eine Nullstelle von f. Ebenfalls gilt: μ(f; λ) = μ(f; λ¯).
Bsp.: Man betrachte f = t² + 1. Für reelle Werte hat das Polynom offensichtlich keine Nullstellen, da aber λ ∈ ℂ, ist λ = i = √(-1). Hier kommt es also nicht darauf an, ob λ = i oder λ¯ = -i die Nullstelle ist, da beide quadriert -1 ergeben.
Wie lässt sich laut dem Theorem der Polynomzerlegung (Skript S. 69) ein Polynom zerlegen?
Jedes Polynom f ∈ ℝ[t] mit deg f = n ≥ 1 gestattet eine Zerlegung:
f = a(t - λ₁) * … * (t - λᵣ) * g₁ * … * gₘ, wobei
a, λ₁, …, λᵣ reell sind, a ≠ 0 und g₁, …, gₘ ∈ ℝ[t] normierte Polynome vom Grad 2 ohne reelle Nullstellen sind. Insbesondere ist n = r + 2m.
Wie berechnet man die Nullstellen von Polynomen f mit deg f = 2 und der Form at² + bt + c ∈ ℂ[t]?
Wenn da ned weisch chasch grad ipacke.
Tipp: (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Was besagt der Wurzelsatz von Vieta?
Der Wurzelsatz von Vieta gibt an, wie man “ganz einfach” die Koeffizienten eines Polynoms f aus seinen Nullstellen berechnet:
Seien λ ∈ ℂ die Nullstellen eines Polynoms f ∈ ℝ[t], so definieren wir die elementarsymmetrischen Funktionen:
sₖ(λ₁, …,λₙ) := Σ(1 ≤ i₁ ≤ … ≤ iₖ ≤ n) von λᵢ₁ * … * λᵢₖ.
Die Summe hat so viele Summanden, wie es Möglichkeiten gibt, k verschiedene Indizes i₁, …, iₖ ∈ {1, …, n} auszuwählen, also nCk Summanden. Für die Koeffizienten von f gilt dann: aₖ = (-1)ⁿ⁻ᵏ sₙ₋ₖ(λ₁, …,λₙ).
Welches sind die zwei zentralen Aussagen der Vorzeichenregel für reelle Polynome f mit reellen Nullstellen λ₁, …, λₙ?
Für das Polynom f gilt:
(a) Genau dann sind alle Nullstellen negativ, wenn alle Koeffizienten aⱼ positiv sind.
(b) Genau dann sind alle Nullstellen positiv, wenn die Vorzeichen der Koeffizienten aⱼ alternierend sind, d.h.: (-1)ⁿ⁻ʲaⱼ > 0 für j = 0, …, n-1.
Was besagt die Vorzeichenregel von Descartes?
Sei f(t) ∈ ℝ[t] ein Polynom mit a₀ ≠ 0, N₊(f) die Anzahl der positiven Nullstellen und N₋(f) die Anzahl der negativen Nullstellen von f, Z(f) die Zahl der Zeichenwechsel innerhalb f und f_ := f(-t) Die Vorzeichenregel besagt nun, dass: N₊(f) ≤ Z(f) und N_(f) ≤ N₋(f). Ausserdem gilt: Z(f) - N₊(f) ist immer gerade. (Beweis s. Skript S. 73)
