Polynome

Question 1

Sei K ein Körper. Was versteht man unter einem Polynom mit Koeffizienten in K bzw. einem Polynom über K?

Answer 1

Für einen Körper K und eine Unbestimmte t ist ein Polynom über K ein formaler Ausdruck der Gestalt:
f(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + … + aₙtⁿ, wobei a₀, …, aₙ ∈ K.

Question 2

Was ist ein Nullpolynom?

Answer 2

Falls alle Koeffizienten aᵥ = 0, so spricht man vom Nullpolynom und schreibt f = 0

Question 3

Wann ist ein Polynom f normiert?

Answer 3

Wenn aₙ = 1.

Question 4

Was ist der Grad eines Polynoms f?

Answer 4

deg (f) := -∞, falls f = 0

max{v ∈ ℕ: aᵥ ≠ 0}, sonst.

Question 5

Setzt man für die Unbestimmte t ein λ ∈ K ein, was für eine Abbildung f~ für ein Polynom f erhält man? Was für eine Abbildung ist ~?

Answer 5

f~: K → K, λ ⟼ f(λ).
Die Funktion ~ ist schliesslich die Abbildung vom Polynom auf die Funktion des Polynoms:
~: K[t] → Abb(K, K), f ⟼ f~.

Question 6

Seien f, g ∈ K[t] Polynome mit m = n und
f = a₀ + a₁t + … + aₙtⁿ und g = b₀ + b₁t + … + bₘtᵐ.
Wie sind Addition f + g sowie Multiplikation f * g definiert?

Answer 6

Addition:
f + g := (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)t + … + (aₙ + bₙ)tⁿ

Multiplikation (formales ausmultiplizieren):
f * g := c₀ + c₁t + … + cₙ₊ₘtⁿ⁺ᵐ mit cₖ = Σᵢ₊ⱼ₌ₖ (aᵢbⱼ),
dabei ist:
c₀ = a₀b₀,
c₁ = a₀b₁ + a₁b₀
c₂ = a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀
cₙ₊ₘ = aₙbₘ.

Question 7

Was ist ein Polynomring?

Answer 7

Sei K ein Körper, so ist die Menge K[t] aller Polynome über K ein kommutativer Ring, genannt Polynomring, für dessen Elemente f und g gilt: deg(f * g) = deg(f) + deg(g).

Question 8

Was ist allgemein gesehen der Mangel eines Rings gegenüber eines Körpers und wie wirkt sich dies auf den Polynomring aus?

Answer 8

Man kann bei einem Ring i. A. nicht dividieren. Für ganze Zahlen hat man als Ersatz die Division mit Rest, die man analog auch für Polynome anwenden kann:
Seien f, g ∈ K[t] und ist g ≠ 0, so gibt es dazu eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[t], so dass gilt:
f = q * g + r (wobei q der Quotient und r der Rest ist), und deg r < deg g.

Question 9

Praktische Aufgabe.
Teile: 3t³ + 2t + 1 : (t² + 4t).
Was sind die Schritte?
Was sind q und r (Quotient und Rest)?

Answer 9

Wir teilen wie bei einer schriftlichen Division:
3t³  +             2t + 1 : (t² - 4t) = (3t + 12 + (50t + 1)) : (t² - 4t)
-3t³ + 12t²
--------------
          12t² +   2t + 1
         -12t² + 48t
         --------------------
                    50t + 1.
Somit ist q = 3t + 12 und r = 50t + 1.

Question 10

Was ist eine Nullstelle?

Answer 10

Nullstellen sind λ ∈ K mit f(λ) = 0, sprich sie sind x-Werte (Argumente), die für f(x) eingesetzt y-Werte von null ergeben.

Question 11

Sei λ ∈ K eine Nullstelle von f ∈ K[t]. Beweise, dass ein eindeutig bestimmtes g ∈ K[t] existiert mit folgenden Eigenschaften:

(1) f = (t - λ) * g
(2) deg g = (deg f) - 1

Answer 11

Wir dividieren f durch (t - λ) mit Rest. Es gibt also eindeutig bestimmte g, r ∈ K[t] mit
f = (t- λ)g + r und deg r < deg(t - λ) = 1. Also ist r = a₀ mit a₀ ∈ K. Aus f(λ) = 0 folgt durch Einsetzen:
0 = (λ - λ) * g(λ) + r = 0 + a₀, also ist a₀ = r = 0 und (1) ist bewiesen.
Wegen deg f = deg (t - λ) + deg g = 1 + deg g folgt (2).

Question 12

Sei K ein beliebiger Körper, f ∈ K[t] ein Polynom und k die Anzahl Nullstellen von f. Wie steht k und der Grad von f im Zusammenhang, falls f nicht ein Nullpolynom ist?

Answer 12

k ≤ deg f

Beweis s. Skript S. 65

Question 13

Beweise, dass die Funktion ~: K[t] → Abb(K, K), f ⟼ f~ injektiv ist, wenn K unendlich ist.

Answer 13

Seien f₁, f₂ ∈ K[t] und g := f₂ - f₁. Ist f~₁ = f~₂, so folgt g~ = 0, d.h. g(λ) = 0 für alle λ ∈ K. Also hat g unendlich viele Nullstellen, und daraus folgt g = 0 (vgl. Korollar 1, Skript S. 65). Somit ist f₁ = f₂.

Question 14

Was ist die Vielfachheit einer Nullstelle λ ∈ K einer Funktion f ∈ K[t] und wie ist sie definiert?
Was ist die Vielfachheit einer Funktion mit f(λ) ≠ 0?

Answer 14

Die Vielfachheit μ einer Nullstelle λ gibt an, wie oft der Faktor (t - λ) in f enthalten ist.
μ(f; λ) := max{r ∈ ℕ: f = (t - λ)ʳ * g mit g ∈ K[t]}.
Falls f(λ) ≠ 0, besitzt f keine Nullstelle und somit ist μ(f; λ) = 0.

Question 15

Wie ist die Vielfachheit μ einer Funktion f ∈ K[t] definiert, falls K = ℝ oder ℂ?

Answer 15

Man kann die Vielfachheit der Nullstelle λ in besagtem Fall durch die r-te Ableitung von f in Beziehung bringen:
μ(f; λ) := max{r ∈ ℕ: f(λ) = f’(λ) = f’‘(λ) = … = f⁽ʳ⁻¹⁾(λ) = 0}.

Question 16

Was besagt der Fundamentalsatz der Algebra?

Answer 16

Jedes Polynom f ∈ ℂ[t] mit deg f > 0 hat mindestens eine Nullstelle.

Question 17

Was sind Linearfaktoren eines Polynoms?

Answer 17

Jedes Polynom f ∈ ℂ[t] zerfällt in Linearfaktoren (t - λₙ), so dass für ein a, λₙ ∈ ℂ mit n = deg f gilt:
f = a(t - λ₁) * … * (t - λₙ).

Question 18

Wie kann man aus dem Fundamentalsatz der Algebra Aussagen über die Nullstellen λ ∈ ℂ eines reellen Polynoms f folgern?
Tipp: Komplexe Konjugation

Answer 18

Ist f ∈ ℝ[t] und λ ∈ ℂ eine Nullstelle von f, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl λ¯ ∈ ℂ eine Nullstelle von f. Ebenfalls gilt: μ(f; λ) = μ(f; λ¯).

Bsp.: Man betrachte f = t² + 1. Für reelle Werte hat das Polynom offensichtlich keine Nullstellen, da aber λ ∈ ℂ, ist λ = i = √(-1). Hier kommt es also nicht darauf an, ob λ = i oder λ¯ = -i die Nullstelle ist, da beide quadriert -1 ergeben.

Question 19

Wie lässt sich laut dem Theorem der Polynomzerlegung (Skript S. 69) ein Polynom zerlegen?

Answer 19

Jedes Polynom f ∈ ℝ[t] mit deg f = n ≥ 1 gestattet eine Zerlegung:
f = a(t - λ₁) * … * (t - λᵣ) * g₁ * … * gₘ, wobei
a, λ₁, …, λᵣ reell sind, a ≠ 0 und g₁, …, gₘ ∈ ℝ[t] normierte Polynome vom Grad 2 ohne reelle Nullstellen sind. Insbesondere ist n = r + 2m.

Question 20

Wie berechnet man die Nullstellen von Polynomen f mit deg f = 2 und der Form at² + bt + c ∈ ℂ[t]?

Answer 20

Wenn da ned weisch chasch grad ipacke.

Tipp: (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Question 21

Was besagt der Wurzelsatz von Vieta?

Answer 21

Der Wurzelsatz von Vieta gibt an, wie man “ganz einfach” die Koeffizienten eines Polynoms f aus seinen Nullstellen berechnet:

Seien λ ∈ ℂ die Nullstellen eines Polynoms f ∈ ℝ[t], so definieren wir die elementarsymmetrischen Funktionen:
sₖ(λ₁, …,λₙ) := Σ(1 ≤ i₁ ≤ … ≤ iₖ ≤ n) von λᵢ₁ * … * λᵢₖ.
Die Summe hat so viele Summanden, wie es Möglichkeiten gibt, k verschiedene Indizes i₁, …, iₖ ∈ {1, …, n} auszuwählen, also nCk Summanden. Für die Koeffizienten von f gilt dann: aₖ = (-1)ⁿ⁻ᵏ sₙ₋ₖ(λ₁, …,λₙ).

Question 22

Welches sind die zwei zentralen Aussagen der Vorzeichenregel für reelle Polynome f mit reellen Nullstellen λ₁, …, λₙ?

Answer 22

Für das Polynom f gilt:

(a) Genau dann sind alle Nullstellen negativ, wenn alle Koeffizienten aⱼ positiv sind.
(b) Genau dann sind alle Nullstellen positiv, wenn die Vorzeichen der Koeffizienten aⱼ alternierend sind, d.h.: (-1)ⁿ⁻ʲaⱼ > 0 für j = 0, …, n-1.

Question 23

Was besagt die Vorzeichenregel von Descartes?

Answer 23

Sei f(t) ∈ ℝ[t] ein Polynom mit a₀ ≠ 0, N₊(f) die Anzahl der positiven Nullstellen und N₋(f) die Anzahl der negativen Nullstellen von f, Z(f) die Zahl der Zeichenwechsel innerhalb f und f_ := f(-t)
Die Vorzeichenregel besagt nun, dass:
N₊(f) ≤ Z(f) und N_(f) ≤ N₋(f).
Ausserdem gilt:
Z(f) - N₊(f) ist immer gerade.
(Beweis s. Skript S. 73)