Determinanten: Axiome Flashcards
Dieses Set deckt nur die Eigenschaften der Determinanten (D1) bis (D11) ab. Für die Beweise dazu siehe Skript S. 180ff.
Ergänze die Lücke (-) in folgender Definiton:
“Sei K ein Körper und n eine von Null verschiedene natürliche Zahl.
(-) heisst Determinante, falls folgendes gilt: …”
(Es folgen die 11 Eigenschaften einer Determinante)
“Sei K ein Körper und n eine von Null verschiedene natürliche Zahl.
Eine Abbildung det: M(n×n; K) → K, A ↦ det A
heisst Determinante, falls folgendes gilt: …”
Was ist die erste Eigenschaft (D1), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “linear”
(D1) det ist linear in jeder Zeile. Genauer heisst das, dass für jeden Index i ∈ {1, …, n} gilt:
a) Ist aᵢ = aᵢ’ + aᵢ’’, so ist
det( – aᵢ – )ᵀ = det( – aᵢ’ – )ᵀ + det( – aᵢ’’ – ).
b) Ist aᵢ = 𝜆aᵢ’, so ist
det( – aᵢ – )ᵀ = 𝜆 * det( – aᵢ’ – )ᵀ.
Was ist die zweite Eigenschaft (D2), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “alternierend”
(D2) det ist alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Zeilen, so ist det A = 0.
Was ist die dritte Eigenschaft (D3), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “normiert”
(D3) det ist normiert, d.h. det Eₙ = 1.
Was ist die vierte Eigenschaft (D4), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Skalarmultiplikation”
(D4) Für jedes 𝜆 ∈ K ist det(𝜆A) = 𝜆ⁿ * det A.
Was ist die fünfte Eigenschaft (D5), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Nullzeile”
(D5) Ist eine Zeile von A gleich Null, so ist det A = 0.
Was ist die sechste Eigenschaft (D6), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Zeilenvertauschung”
(D6) Entsteht B aus A durch eine Zeilenvertauschung, so ist det B = - det A.
Die Determinante ändert also bei Zeilenumformungen vom Typ IV ihr Vorzeichen.
Was ist die siebente Eigenschaft (D7), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Zeilenaddition”
(D7) Ist 𝜆 ∈ K und entsteht B aus A durch Addition der 𝜆-fachen j-ten Zeile zur i-ten Zeile (i ≠ j), so ist det B = det A.
Die Determinante bleibt also bei Zeilenumformungen vom Typ III unverändert.
Was ist die achte Eigenschaft (D8), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Dreiecksmatrix”
(D8) Ist A eine obere Dreiecksmatrix (rechts oberhalb der Diagonalen Einträge, Einträge auf der Diagonalen 𝜆₁ bis 𝜆ₙ, links unterhalb der Diagonalen überall Nullen), so ist det A = 𝜆₁ * … * 𝜆ₙ.
Was ist die neunte Eigenschaft (D9), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Mehrere Matrizen”
(D9) Sei n ≥ 2 und A ∈ M(n×n; K) von der Gestalt
A = (A₁ C | 0 A₂), wobei A₁ und A₂ quadratisch sind.
Dann gilt: det A = (det A₁) * (det A₂).
Was ist die zehnte Eigenschaft (D10), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Rang A < n”
(D10) det A = 0 ist gleichbedeutend mit rang A < n.
Was ist die elfte Eigenschaft (D11), die eine Determinante erfüllen muss?
Stichwort: “Determinanten-Multiplikationssatz”
(D11) Es gilt der Determinanten-Multiplikationssatz:
det (A * B) = det A * det B für alle A, B ∈ M(n×n; K).
Insbesondere gilt für A ∈ GL(n; K): det A⁻¹ = (det A)⁻¹.
