Bild, Fasern, Kern und Quotientenvektorräume Flashcards
Sei F: V → W eine lineare Abbildung. Definiere…
(1) … das Bild von F.
(2) … die Faser über w ∈ W.
(3) … den Kern von F.
Für eine lineare Abbildung F: V → W ist…
(1) … ImF := F(V) das Bild von F.
(2) … F⁻¹(w) := {v ∈ V: F(v) = w} die Faser über w ∈ W.
(3) … KerF = F⁻¹(0) den Kern von F.
Sei F: V → W eine lineare Abbildung. Was gilt für ImF und KerF?
ImF ⊆ W und KerF ⊆ V sind Untervektorräume.
Sei F: V → W eine lineare Abbildung. Wann ist F surjektiv, wann Injektiv?
(Bezüglich Bild und Kern von F)
F ist surjektiv ⇔ ImF = W.
F ist Injektiv ⇔ KerF = {0}.
Was gilt für die Bilder der Vektoren eines Vektorraums, wenn die Vektoren linear unabhängig sind?
Ist F: V → W eine Injektive Abbildung und sind v₁, …, vᵣ ∈ V linear unabhängig, so sind auch die Bilder F(v₁), …, F(vᵣ) linear unabhängig.
Was ist der Rang einer linearen Abbildung?
Die Dimension ihres Bildes:
rang F := dim(Im(F)).
Sei F: X → Y eine beliebige Abbildung zwischen Mengen (können also auch Vektorräume sein). Erkläre den Satz: “X wird durch die Fasern in disjunkte Teilmengen zerlegt.”
Da die Faser nichts anderes ist als das Urbild von einem Element in der Bildmenge, also das Urbild eines Elements in Y (ist folglich ein Element in X) , gilt folglich:
X = ∪(y ∈ Im(F)) F⁻¹(y),
sprich: Die Menge X ist die Vereinigung der Urbilder aller Elemente im Bild von F.
So kann man also sagen, dass die Fasern die Definitionsmenge X in disjunkte Teilmengen zerlegt.
In welchem Verhältnis stehen Faser, Bild und Kern einer linearen Abbildung F: V → W?
Ist w ∈ Im(F) und u ∈ F⁻¹(w) beliebig, so gilt:
F⁻¹(w) = u + Ker(F) = {u + v: v ∈ Ker(F)}
(Beweis s. Skript S. 116)
Was ist ein affiner Unterraum eines K-Vektorraums V?
Ein affiner Unterraum ist eine Teilmenge X eines K-Vektorraums, falls es ein v ∈ V und einen Untervektorraum W ⊆ V gibt, so dass gilt:
X = v + W := {u ∈ V: es gibt ein w ∈ W mit u = v + w}.
Informell:
Ein affiner Unterraum ist eine Teilmenge bzw. ein Untervektorraum, den man durch “Parallelverschiebung” eines Untervektorraums erhält, deshalb auch “X = v + W”, da v den Verschiebungsvektor bezeichnet, um den der Untervektorraum W verschoben wird.
Welche zwei Eigenschaften gelten für einen affinen Unterraum X = v + W ⊆ V?
(1) Für ein beliebiges v’ ∈ X ist X = v’ + W.
(2) Ist v’ ∈ V und W’ ⊆ V ein Untervektorraum mit
v + W = v’ + W’, so folgt W = W’ und v’ - v ∈ W.
Informell:
Zu einem affinen Unterraum v + W ist der Untervektorraum W eindeutig bestimmt, und der Aufhängepunkt v kann beliebig in X gewählt werden.
(Beweis s. Skript S. 117)
Was besagt die Dimensionsformel und wie kann man sie anwenden, um Basen für eine lineare Abbildung zu wählen?
Sei F: V → W eine lineare Abbildung und dim(V) < ∞.
Sind ausserdem gegeben:
(v₁, …, vₖ) als Basen von Ker(F);
(w₁, …, wᵣ) als Basen von Im(F);
u₁ ∈ F⁻¹(w₁), …, uᵣ ∈ F⁻¹(wᵣ),
so folgt für eine Basis A von V:
A := (u₁, …, uᵣ, v₁, …, vₖ).
Dies entspricht der Dimensionsformel:
dim(V) = dim(Im(F)) + dim(Ker(F)).
(Beweis s. Skript 117)
Welche drei Korollare folgen unmittelbar aus der Dimensionsformel?
(K1) Ist V endlichdimensional und F: V → W linear, so gilt für alle nichtleeren Fasern:
dim(F⁻¹(w)) = dim(V) - dim(Im(F)).
(K2) Zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen V und W gibt es genau dann einen Isomorphismus, wenn dim(V) = dim(W).
(K3) Sei dim(V) = dim(W) < ∞ und F: V → W linear, dann sind die Bedingungen “F ist injektiv”, “F ist surjektiv” und “F ist bijektiv” gleichwertig.
Was besagt der Faktorisierungssatz (drei Aussagen)?
Sei F: V → W eine lineare Abbildung und
A = (u₁, …, uᵣ, v₁, …, vₖ) eine Basis von V mit
Ker(F) = span(v₁, …, vₖ) und U := span(u₁, …, uᵣ), so gilt:
(1) V = U ⨁ Ker(F)
(2) Die Einschränkung F|U: U → Im(F) ist isomorph.
(3) Bezeichnet P: V = U ⨁ Ker(F) → U, v = u + v’ ↦ u die Projektion auf den ersten Summanden, so ist
F = (F|U) ∘ P.
Was folgt aus dem Faktorisierungssatz über Fasern und Schnittpunkte?
Sei F: V → W eine lineare Abbildung und
A = (u₁, …, uᵣ, v₁, …, vₖ) eine Basis von V mit
Ker(F) = span(v₁, …, vₖ) und U := span(u₁, …, uᵣ), so gilt:
Jede nichtleere Faser F⁻¹(w) hat mit U genau einen Schnittpunkt, nämlich:
P(v) = F⁻¹(F(v)) ∩ U.
Was bedeutet es , wenn zwei Punkte v, v’ ∈ V äquivalent sind? Erkläre am Beispiel V = ℝ².
Zwei Punkte v, v’ ∈ ℝ² sind äquivalent, wenn die Differenz zwischen den Punkten in U ⊆ V liegt:
v ~ᵤ v’ ⇔ v’ - v ∈ U. (“Äquivalenz modulo U”)
Geometrisch interpretiert, sind v und v’ gleich weit von U entfernt, wobei die Entfernung von Punkten links von U negativ und rechts von U positiv gerechnet sein soll.
In V wird somit eine Äquivalenzrelation erklärt, wobei die zu U parallelen Geraden die Äquivalenzklassen darstellen und aus “gleich” wird “gleich weit entfernt” (vgl.: Restklassen mod m, wo “gleich” zu “kongruent” wird).
Warum ist die Äquivalenzklasse eines v ∈ V gleich einem affinen Unterraum?
Da die Äquivalenzklassen geometrisch interpretiert die um v parallel verschobenen Unterräume (affine Unterräume) darstellen:
{v’ ∈ V: v’ ~ᵤ v} = v + U.
